2025年高三數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)期末試卷考試時(shí)間：120分鐘?總分：150分?年級(jí)/班級(jí)：高三年級(jí)

2025年高三數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)期末試卷

一、選擇題

1.函數(shù)f(x)=log_a(x^2-2x+3)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,+∞)

D.(0,1)∪(1,2)

2.若復(fù)數(shù)z滿足z^2+2z+4=0，則|z|的值為

A.2

B.√2

C.4

D.1

3.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=2，a_3=8，則S_6的值為

A.60

B.72

C.84

D.96

4.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，則cosA的值為

A.3/5

B.4/5

C.5/3

D.1

5.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)，則其最小正周期為

A.π

B.2π

C.π/2

D.π/4

6.設(shè)函數(shù)g(x)=x^3-ax^2+bx-1，若g(1)=0且g'(1)=0，則a+b的值為

A.1

B.2

C.3

D.4

7.已知圓O的方程為x^2+y^2=9，直線l的方程為y=kx+3，則直線l與圓O有交點(diǎn)的充要條件是

A.k<3/2

B.k>-3/2

C.k≤3/2

D.k≥-3/2

8.已知向量m=(1,2)，向量n=(3,-4)，則向量m與向量n的夾角θ的余弦值為

A.-5/10

B.5/10

C.-7/10

D.7/10

9.已知函數(shù)h(x)=e^x-x，則其在區(qū)間(0,1)上的最大值是

A.e

B.e-1

C.1

D.0

10.已知某校高三學(xué)生身高服從正態(tài)分布N(170,σ^2)，且身高在165cm以下的概率為0.2，則身高在175cm以上的概率約為

A.0.2

B.0.3

C.0.4

D.0.5

二、填空題

1.已知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，若f(1)=3，f(2)=4，f(3)=5，則a+b+c的值為

2.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=2，b=√3，A=30°，則c的值為

3.已知等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若b_1=1，q=2，則T_4的值為

4.已知函數(shù)g(x)=cos(2x-π/4)，則其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)解析式為

5.已知向量p=(1,k)，向量q=(k,1)，若向量p與向量q垂直，則k的值為

6.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4，則圓C的圓心到直線3x-4y-5=0的距離為

7.已知函數(shù)f(x)=log_2(x+1)，則其反函數(shù)f^-1(x)的解析式為

8.已知某校高三學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，成績(jī)服從正態(tài)分布N(80,16)，則成績(jī)?cè)?0分以下的學(xué)生概率約為

9.已知函數(shù)h(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)，則其在區(qū)間[0,π]上的最大值為

10.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則其在區(qū)間[-1,3]上的最大值為

三、多選題

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù)的是

A.y=x^3

B.y=-2x+1

C.y=log_3(x)

D.y=e^(-x)

2.已知向量a=(1,2)，向量b=(2,-1)，下列向量中與向量a+b平行的向量是

A.(3,1)

B.(4,-2)

C.(-2,-4)

D.(1,1/2)

3.下列命題中，真命題是

A.若a>b，則a^2>b^2

B.若a>b，則log_a(x)>log_b(x)

C.若a>b，則a^3>b^3

D.若a>b，則1/a<1/b

4.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=9，下列直線中與圓C相切的直線是

A.x=1

B.y=2

C.x-y=1

D.2x-y=4

5.下列函數(shù)中，周期為π的是

A.y=sin(2x)

B.y=cos(x/2)

C.y=tan(x)

D.y=sin(x)+cos(x)

四、判斷題

1.函數(shù)f(x)=|x-1|在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)。

2.若復(fù)數(shù)z滿足z^2=-1，則z一定是純虛數(shù)。

3.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=5，d=-2，則a_5=1。

4.在△ABC中，若a^2=b^2+c^2，則角A一定是直角。

5.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是2π。

6.若函數(shù)g(x)=x^3-ax^2+bx-1在x=1處取得極值，則a+b=3。

7.已知圓O的方程為x^2+y^2=4，直線l的方程為x+y=1，則直線l與圓O有交點(diǎn)。

8.向量m=(1,2)，向量n=(3,4)，則向量m與向量n的夾角是銳角。

9.函數(shù)h(x)=e^x-x在區(qū)間(0,+∞)上存在唯一零點(diǎn)。

10.若事件A和事件B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)。

五、問(wèn)答題

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的單調(diào)區(qū)間。

2.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=9，直線l的方程為y=kx，求直線l與圓C相切時(shí)k的值。

3.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=2，a_5=14，求等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式。

試卷答案

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：函數(shù)f(x)=log_a(x^2-2x+3)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù)，需要a>1，且x^2-2x+3在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù)。x^2-2x+3=(x-1)^2+2，在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù)。因此a>1，故選C。

2.A

解析：由z^2+2z+4=0，得(z+1)^2+3=0，則z+1=±√3i，z=-1±√3i，|z|=√((-1)^2+(√3)^2)=2，故選A。

3.B

解析：等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a_1=2，a_3=8，則2a_2=a_1+a_3=10，a_2=5，d=a_3-a_2=3。S_6=6a_1+15d=6×2+15×3=72，故選B。

4.B

解析：在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，則△ABC是直角三角形，∠C=90°。cosA=b/c=4/5，故選B。

5.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)，其最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π，故選A。

6.C

解析：函數(shù)g(x)=x^3-ax^2+bx-1，若g(1)=0且g'(1)=0，則1-a+b-1=0，3-2a+b=0。解得a=3，b=-1。a+b=3-1=2，故選C。

7.C

解析：圓O的方程為x^2+y^2=9，直線l的方程為y=kx+3。直線l與圓O有交點(diǎn)的充要條件是圓心(0,0)到直線l的距離d≤3。d=|3|/√(1+k^2)≤3，k^2≥1，k≤-1或k≥1。故選C。

8.D

解析：向量m=(1,2)，向量n=(3,-4)，向量m與向量n的夾角θ的余弦值為cosθ=(m·n)/(|m||n|)=(1×3+2×(-4))/(√(1^2+2^2)×√(3^2+(-4)^2))=-5/10=-1/2。故選D。

9.B

解析：函數(shù)h(x)=e^x-x，h'(x)=e^x-1。令h'(x)=0，得x=0。當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h'(x)>0，函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增。h(0)=1，h(1)=e-1。故函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,1)上的最大值是e-1，故選B。

10.A

解析：已知某校高三學(xué)生身高服從正態(tài)分布N(170,σ^2)，且身高在165cm以下的概率為0.2，則身高在175cm以上的概率約為0.2。故選A。

二、填空題答案及解析

1.6

解析：函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，若f(1)=3，f(2)=4，f(3)=5，則a+b+c=f(1)=3，故填6。

2.2

解析：在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=2，b=√3，A=30°，則由正弦定理得c=b*sinA/a=√3*sin30°/2=√3*1/2/2=2/2=2，故填2。

3.15

解析：已知等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若b_1=1，q=2，則T_4=b_1*(q^4-1)/(q-1)=1*(2^4-1)/(2-1)=15，故填15。

4.y=cos(2x+π/4)

解析：函數(shù)g(x)=cos(2x-π/4)，其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)解析式為g(-x)=cos(-2x-π/4)=cos(2x+π/4)，故填y=cos(2x+π/4)。

5.-1

解析：向量p=(1,k)，向量q=(k,1)，若向量p與向量q垂直，則p·q=1×k+k×1=2k=0，k=-1，故填-1。

6.√5

解析：圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4，圓心為(1,-2)，半徑為2。圓心到直線3x-4y-5=0的距離為d=|3×1-4×(-2)-5|/√(3^2+(-4)^2)=|3+8-5|/5=6/5=√5，故填√5。

7.f^-1(x)=2^x-1

解析：函數(shù)f(x)=log_2(x+1)，其反函數(shù)f^-1(x)的解析式為y=2^x-1，故填f^-1(x)=2^x-1。

8.0.0228

解析：已知某校高三學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，成績(jī)服從正態(tài)分布N(80,16)，則成績(jī)?cè)?0分以下的學(xué)生概率約為P(Z<(60-80)/4)=P(Z<-5)≈0.0228，故填0.0228。

9.√3+1

解析：函數(shù)h(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)，化簡(jiǎn)得h(x)=√3/2*sinx+1/2*sinx+1/2*cosx-√3/2*cosx=√3/2*sinx-√3/2*cosx+1/2*cosx+1/2*sinx=√3/2*(sinx-cosx)+1/2*(cosx+sinx)=√3/2*sin(x-π/6)+1/2*sin(x+π/6)。在區(qū)間[0,π]上，sin(x+π/6)的最大值為1，sin(x-π/6)的最大值為1/2。故函數(shù)h(x)在區(qū)間[0,π]上的最大值為√3/2*1/2+1/2*1=√3/4+1/2=√3/4+2/4=(√3+2)/4=√3+1，故填√3+1。

10.2

解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=0，f(3)=2。故函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值為2，故填2。

三、多選題答案及解析

1.A,C

解析：函數(shù)y=x^3在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù)。函數(shù)y=log_3(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù)。函數(shù)y=-2x+1在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù)。函數(shù)y=e^(-x)=1/e^x在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù)。故選A,C。

2.B,C

解析：向量a=(1,2)，向量b=(2,-1)，向量a+b=(3,1)。向量(4,-2)與向量a+b的比值為4/3≠k，故不平行。向量(-2,-4)與向量a+b的比值為-2/3=-k，故平行。向量(1,1/2)與向量a+b的比值為1/3≠k，故不平行。故選B,C。

3.C,D

解析：若a>b，則a^3>b^3，故C是真命題。若a>b，則1/a<1/b，故D是真命題。若a=1，b=-1，則a>b，但a^2=1，b^2=1，a^2≤b^2，故A是假命題。若a=1，b=-1，則a>b，但log_a(x)在x>0時(shí)無(wú)意義，log_b(x)在x>0時(shí)無(wú)意義，故B是假命題。故選C,D。

4.C,D

解析：圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=9，圓心為(1,2)，半徑為3。直線x=1與圓心(1,2)的距離為1<3，故相交。直線y=2與圓心(1,2)的距離為0<3，故相交。直線x-y=1即x-y-1=0，圓心到直線的距離為|1-2-1|/√(1^2+(-1)^2)=|-2|/√2=√2=3，故相切。直線2x-y=4即2x-y-4=0，圓心到直線的距離為|2×1-2-4|/√(2^2+(-1)^2)=|-4|/√5=4/√5<3，故相交。故選C,D。

5.A,C

解析：函數(shù)y=sin(2x)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。函數(shù)y=cos(x/2)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/(1/2)=4π。函數(shù)y=tan(x)的最小正周期T=π。函數(shù)y=sin(x)+cos(x)的最小正周期T=min{2π,2π}=2π。故選A,C。

四、判斷題答案及解析

1.正確

解析：函數(shù)f(x)=|x-1|在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)。故在區(qū)間[0,2]上不是增函數(shù)。故錯(cuò)誤。

2.錯(cuò)誤

解析：若復(fù)數(shù)z滿足z^2=-1，則z=±i，純虛數(shù)是實(shí)部為0的非零復(fù)數(shù)，±i是純虛數(shù)。故正確。

3.錯(cuò)誤

解析：在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=5，d=-2，則a_5=a_1+4d=5+4×(-2)=5-8=-3。故錯(cuò)誤。

4.正確

解析：在△ABC中，若a^2=b^2+c^2，則由勾股定理的逆定理知，角A一定是直角。故正確。

5.正確

解析：函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)=√2*sin(x+π/4)，其最小正周期T=2π/|ω|=2π/1=2π。故正確。

6.正確

解析：函數(shù)g(x)=x^3-ax^2+bx-1，若g(1)=0且g'(1)=0，則1-a+b-1=0，3-2a+b=0。解得a=3，b=-1。a+b=3-1=2。故正確。

7.正確

解析：已知圓O的方程為x^2+y^2=4，直線l的方程為x+y=1。圓心(0,0)到直線l的距離d=|0+0-1|/√(1^2+1^2)=1/√2<2。故直線l與圓O有交點(diǎn)。故正確。

8.錯(cuò)誤

解析：向量m=(1,2)，向量n=(3,4)，向量m與向量n的夾角θ的余弦值為cosθ=(m·n)/(|m||n|)=(1×3+2×4)/(√(1^2+2^2)×√(3^2+4^2))=11/(√5×5)=11/5>1，計(jì)算錯(cuò)誤，cosθ=11/5不在[-1,1]范圍內(nèi)，說(shuō)明計(jì)算或理解錯(cuò)誤。實(shí)際計(jì)算應(yīng)為cosθ=(1×3+2×(-4))/(√(1^2+2^2)×√(3^2+(-4)^2))=-5/(√5×5)=-1。故θ=π，是直角。故原命題“銳角”錯(cuò)誤。

9.正確

解析：函數(shù)h(x)=e^x-x，h'(x)=e^x-1。令h'(x)=0，得x=0。當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，h'(x)<0，函數(shù)h(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減。當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，h'(x)>0，函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增。h(0)=1。故函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在唯一零點(diǎn)。故正確。

10.正確

解析：若事件A和事件B互斥，則A∩B=?，P(A∩B)=0。根據(jù)概率加法公式，P(A∪B)=P(A)+P