第2頁/共12頁2026北京延慶高二（上）期末數(shù)學（考試時間120分鐘滿分150分）一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.2.若復數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.23.已知拋物線的焦點為，則拋物線的標準方程是（）A. B. C. D.4.已知、，動點滿足，則動點的軌跡方程為（）A. B.C. D.5.已知動點到的距離與到的距離相等，則的軌跡方程為（）A. B.C. D.6.已知直線和拋物線，那么“與相切”是“與只有一個公共點”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.若雙曲線的方程為，則它的離心率和漸近線的方程分別為（）A.， B.，C.， D.，8.已知是拋物線的焦點，、是該拋物線上的兩點，，則線段的中點到軸的距離是（）A.1 B.2 C.3 D.49.已知點在拋物線上，且，則的最小值為（）A.2 B. C. D.10.過橢圓的中心作一條直線交橢圓于、兩點，是橢圓的一個焦點，則的周長的最小值為（）A.5 B.6 C.8 D.10二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.函數(shù)的定義域為______．12.雙曲線的一個焦點坐標是，且雙曲線經(jīng)過點，則雙曲線的實軸長為______，標準方程為_____．13.函數(shù)的值域為______．14.已知中，，，，則______，______．15.已知橢圓的左、右焦點分別為、，是橢圓上一點，是坐標原點.給出下列四個結論：①的最大值為；②的最大值為；③若，則的面積為；④斜率為1的直線不經(jīng)過坐標原點，而且與橢圓相交于、兩點，為線段的中點，那么直線和不能垂直.其中，所有正確結論的序號為______．三、解答題（共6小題，共85分）16.根據(jù)下列條件，求圓的標準方程．（1）圓心在，且過點；（2）以，為直徑的兩個端點的圓；（3）圓心在直線上，且過和點．17.如圖，已知點，，圓．（1）求過點的圓的切線方程；（2）設過點、的直線交圓于、兩點，求線段的長；（3）求經(jīng)過圓內(nèi)一點且被圓截得弦長最短的直線的方程．18.如圖，在棱長為2的正方體中，點是的中點．（1）求與平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值；（3）求點到平面的距離．19.已知橢圓的兩個焦點分別是、，橢圓上的點到兩焦點的距離之和等于4，為坐標原點，直線與橢圓相交于、兩點（不重合）．（1）求橢圓的標準方程；（2）求的取值范圍；（3）求的最大值．20.已知橢圓的焦點在軸上，焦距為2，離心率為，過點的直線與橢圓交于、（不重合）兩點，坐標原點為．（1）求橢圓的標準方程；（2）是否存在直線，使得線段的中點的橫坐標為1，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由；（3）若點在以為直徑的圓上，求直線的方程．21.已知集合，若存在數(shù)陣滿足：①；②．則稱集合為“好集合”，并稱數(shù)陣為集合的一個“好數(shù)陣”．（1）已知數(shù)陣是的一個“好數(shù)陣”，試寫出，，，的值；（2）已知是“好集合”，求出滿足條件的所有“好數(shù)陣”．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）題號12345678910答案ADCCDADCAB二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.【答案】令，整理為，解得：或，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：12.【答案】因為雙曲線的一個焦點坐標是，所以，設該雙曲線的方程為.由于雙曲線經(jīng)過點，所以，又，兩式聯(lián)立得，化簡得，由于，所以解得.所以，所以雙曲線的實軸長為，標準方程為.故答案為：①；②.13.【答案】在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上的值域為，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間的值域為，綜上可知，函數(shù)的值域為.故答案為：14.【答案】由正弦定理可知，可知，且，所以，所以，，所以，，.故答案為：；15.【答案】對于命題①的最大值為,故①正確；對于命題②的最大值為，此時點為右頂點，的最大值為，此時點為左右頂點，所以當點為右頂點時，的最大值為，故②正確；對于命題③設，又，則，故③錯誤；對于命題④設，，則，兩式相減得，整理為，，且，所以，因為，，所以，所以直線和不能垂直，故④正確.故答案為：①②④三、解答題（共6小題，共85分）16.【答案】（1）由條件可知，所以圓的標準方程為.（2），所以半徑，圓心為，所以圓的標準方程為；（3）設圓的標準方程為，所以，解得：，，，所以圓的標準方程為.17.【答案】（1）當過點，且斜率不存在時，直線與圓相切，當斜率存在時，設切線方程為，則圓心到切線的距離，解得：，所以切線方程為，整理為，綜上可知過點的圓的切線方程為或.（2），所以直線為，即，圓心到直線的距離，所以；（3）當點是弦的中點時，此時弦長最短，此時和所求弦所在直線垂直，，所以所求直線的斜率為，所以弦所在直線方程為，整理為，所以弦長最短的直線方程為.18.【答案】（1）如圖，在棱長為2的正方體中，以為原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則.所以.設平面的一個法向量為，則，所以有，令，則，所以.所以與平面所成角的正弦值為.（2）由（1）可知，平面的法向量為.而平面的一個法向量為，所以二面角的余弦值為.（3）因為，所以.由（1）知平面的法向量為，所以點到平面的距離為.19.【答案】（1）由條件可知橢圓的焦點在軸，，，所以，所以橢圓的標準方程為；（2）聯(lián)立，整理為，若直線與橢圓有2個不同的交點，則，解得：，所以的取值范圍是；（3）設，，，，，當時，最大，最大值為，所以的最大值為.20.【答案】（1）依題意，設橢圓標準方程為；，則，，，解得，故橢圓的標準方程為（2）由圖知，直線的斜率存在，可設直線的方程為，聯(lián)立，消元整理得，由可得,設，，由韋達定理，,因線段的中點的橫坐標為1，則，解得，因,故不存在直線.如圖：（3）因點在以為直徑的圓上，則，即（*）,由（2）中韋達定理;,,代入上式，可得,代入（*）可得，解得因此，直線的方程為；，即，.21.【答案】（1）由“好數(shù)陣”的定義知，，，則，，，，進一步得到，，故，，，.（2）當時，，由，可得，又因為，所以，聯(lián)立，解得，，因為，①若，則由可得，由可得或或，當，時，由可得，，所以，則，逐一驗證得此時沒有滿足題意的“好數(shù)陣”；當，時，由可得，，所以或，當時，，符合題意的“好數(shù)陣”為；當時，，逐一驗證得此時沒有滿足題意的“好數(shù)陣”；當，時，由可得，，所以，則，逐一驗證得此時沒有滿足題意的“好數(shù)陣”；②若，則由可得，由可得或或，當，時，由可得，，所以，則，逐一驗證得此時沒有滿足題意的“好數(shù)陣”；當，時，由可得，，所以，則，逐一驗證得此時沒有滿足題意的“好數(shù)陣”；當，時，由可得，，所以，則，符合題意的“好數(shù)陣”為；③若，則由可得，由可得或或