第4章矩陣的因子分解

4.1

初等矩陣

4.2

滿秩分解

4.3

三角分解

4.4

QR分解

4.5

Schur定理與正規(guī)矩陣

4.6

奇異值分解

矩陣的各種分解在矩陣計(jì)算中也扮演相當(dāng)重要的角色。由于變換即矩陣，所以各種分解從根本上看是各種變換，其目的是將矩陣變換成特殊的矩陣，比如將分解用于數(shù)值計(jì)算。注

一般可取w=(a-e)/||a-e||解由定理4.2.1

=||a||=3,

w=(a-e)/||a-e||,所以得在用行、列初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形式過

例4.2.1

求矩陣

的一種滿秩分解。

解

程中，

求出相應(yīng)的初等變換矩陣具體變換過程如下：

到此知的秩為2，行、列變換矩陣分別為：

求出

的逆矩陣為

取的前兩列為

取的前兩列為

則得的一種滿秩分解

例4.2.2

求下面矩陣的滿秩分解解

對(duì)此矩陣只實(shí)施初等行變換可以得到由此可知，且該矩陣第一列，第三列是線性無關(guān)的。選取同樣，我們也可以選取

由上述例子可以看出矩陣的滿秩分解形式并不唯一。一般地我們選取階梯型矩陣主元所在的列對(duì)應(yīng)的列向量構(gòu)成列滿秩矩陣，將階梯型矩陣全為零的行去掉后即可構(gòu)成行滿秩矩陣。但是不同的分解形式之間有如下聯(lián)系：注：如果均為矩陣的滿秩分解，那么存在矩陣滿足例4.3.1求下列矩陣的LU

分解：解：從而得這里因?yàn)樗岳?/p>

4.4.1

利用Gram-Schmidt方法將下列矩陣進(jìn)行QR分解：解

先將的三個(gè)列向量正交化與單位化：所以的QR分解為：Gram-Schmidt方法實(shí)質(zhì)上是一種投影類方法，它將正交投影到空間。在標(biāo)準(zhǔn)Gram-Schmidt方法中，是逐步計(jì)算出來的，需要計(jì)算時(shí)，才用到，此前不需要改動(dòng)的值。從而第一步，當(dāng)時(shí)，存在Householder矩陣，使得（為方便說明，不妨取負(fù)號(hào)）如果，則，直接進(jìn)行下一步。QR分解的Householder變換法從而第二步，對(duì)，當(dāng)時(shí)，存在Householder矩陣，使得使得即有如果，則，直接進(jìn)行下一步。使得第三步，對(duì)繼續(xù)類似的變換，如此最多步，也即至多可以找到個(gè)矩陣令，則為酉矩陣，從而上述算法確實(shí)得到QR分解例4.4.2

利用Householder變換將下列矩陣進(jìn)行QR分解：對(duì)向量，令解：從而得Householder矩陣使得（注意，即被反射到而實(shí)際上是鏡射平面的法向量）對(duì)向量，令（實(shí)際上是平面的法向量）可得Householder矩陣因此取從而有所求的QR分解為4.6矩陣的奇異值分解從Beltrami（1873）和Jordan（1874）提出奇異值分解（SVD）至今，SVD及其推廣已經(jīng)成為矩陣計(jì)算中最有用和最有效的工具之一，并在最小二乘問題、最優(yōu)化、統(tǒng)計(jì)分析、信號(hào)與圖像處理、系統(tǒng)理論與控制等領(lǐng)域被廣泛使用。一、從幾何觀測(cè)說起

圓經(jīng)過變換，變成橢圓。圓的正交方向變成橢圓的長(zhǎng)、短軸方向

假定矩陣是列滿秩矩陣。

一般地，維空間中的單位球面經(jīng)過變換變成超橢圓。正交方向變成超橢圓的主半軸方向。稱的個(gè)主半軸的長(zhǎng)度為的奇異值，對(duì)應(yīng)的單位向量為的左奇異向量(leftsingularvector)，對(duì)應(yīng)的原象為的右奇異向量。相應(yīng)的空間稱為奇異空間矩陣在多元統(tǒng)計(jì)分析中稱為協(xié)方差矩陣，這說明SVD可以在其中大展拳腳，事實(shí)上也確實(shí)如此。

從變換的角度理解，酉變換V

保持球面不變，對(duì)角矩陣將球面拉伸到一個(gè)有標(biāo)準(zhǔn)基的超橢圓，最后酉變換旋轉(zhuǎn)或鏡射這個(gè)超橢圓，但不改變它的形狀。因此的求解為例4.6.1求下列矩陣的奇異值分解表達(dá)式解：（1）容易計(jì)算的特征值為5，0，0，所以的奇異值為。下面計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量，解得分別與5，0，0對(duì)應(yīng)的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量由這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組成矩陣，所以有再計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量，解得分別與5，0對(duì)應(yīng)的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量由這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組成矩陣那么有于是可得奇異值分解式為圖像的數(shù)字化技術(shù)與矩陣的奇異值分解

計(jì)算機(jī)處理圖像技術(shù)的第一步是圖像的數(shù)字化存儲(chǔ)技術(shù)，即將圖像轉(zhuǎn)換成矩陣來存儲(chǔ)。轉(zhuǎn)換的原理是將圖形分解成象素（pixels）的一個(gè)矩形的數(shù)陣，其中的信息就可以用一個(gè)矩陣A=(aij)m×n來存儲(chǔ)。矩陣A的元素aij是一個(gè)正的數(shù)，它相應(yīng)于象素的灰度水平（graylevel）的度量值。由于一般來講，相鄰的象素會(huì)產(chǎn)生相近的灰度水平值，因此有可能在滿足圖像清晰度要求的條件下，將存儲(chǔ)一個(gè)m×n階矩陣需要存儲(chǔ)的m×n個(gè)數(shù)減少到n+m+1的一個(gè)倍數(shù)。

壓縮數(shù)字化圖形存儲(chǔ)量的方法主要是應(yīng)用矩陣的奇異值分解和矩陣范數(shù)下的逼近。如果圖象的數(shù)字矩陣A的奇異值分解為：A=U

VT，其展開式：壓縮矩陣A的方法是取一個(gè)秩為k(k

r)的矩陣Ak來逼近矩陣A。Ak按如下方法選?。河性谥葹閗(k

n)的所有矩陣中，矩陣Ak所對(duì)應(yīng)的圖象和矩陣A所對(duì)應(yīng)的圖象最相近。一般的，k越大圖象就越清晰。經(jīng)典的方法是選取接近k，使Ak

的存儲(chǔ)量比A的存儲(chǔ)量減少20%。存儲(chǔ)矩陣Ak只需要存儲(chǔ)k個(gè)奇異值，