/安徽省宿州市多校2025～2026學(xué)年高二上學(xué)期12月教學(xué)質(zhì)量摸底檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．2．若正三棱錐的側(cè)面均為直角三角形，底面邊長為，則該正三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．3．已知拋物線的焦點(diǎn)在圓上，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A．1 B．2 C．4 D．84．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則的值為（

）A． B． C． D．5．已知直線，直線，則“”是“”的（

）A．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件6．已知，，若為a，c的等差中項(xiàng)，d為a，c的等比中項(xiàng)，則的值為（

）A．3 B．4 C．2或 D．2或47．若過點(diǎn)的直線與曲線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．直線與曲線恰有2個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知雙曲線，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的實(shí)軸長為 B．雙曲線的焦距為C．雙曲線的離心率為 D．雙曲線的漸近線方程為10．已知首項(xiàng)為2的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（

）A． B．是等差數(shù)列C．是等差數(shù)列 D．若，則n的最小值為511．已知正方體的棱長為，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BC，的中點(diǎn)，下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．直線EF與所成的角為B．若點(diǎn)P滿足，其中，則棱錐的體積為定值C．用一張正方形的紙把正方體完全包住，不考慮紙的厚度，不將紙撕開，則所需正方形紙的面積的最小值為96D．為球心，4為半徑作一個(gè)球，則該球面與三棱錐表交的交線長為三、填空題12．直線與直線平行，則它們之間的距離是．13．已知數(shù)列滿足：，且，，則的前100項(xiàng)和為．14．下列命題中的假命題為.（1）沒有公共點(diǎn)的兩平面平行；（2）已知平面?，直線，若，且，則；（3）已知平面?，直線?，若，，且與不平行，，則與異面；（4）若一個(gè)平面上有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行.四、解答題15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）若是等比數(shù)列且公比，求；（2）若是等差數(shù)列且，求的最小值.16．已知圓經(jīng)過點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)，且與圓相切的直線方程；（3）過點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程.17．如圖，四棱錐中，平面，，，，，，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.18．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列．已知．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)積為，證明：．19．已知橢圓的離心率為，長軸端點(diǎn)分別為，，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)，為橢圓的焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)為橢圓上任意一點(diǎn)（不與、重合），設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，判斷是否為常數(shù)，并說明理由.

答案1．【正確答案】C【詳解】由，易知，則，顯然、、不成立.故選C2．【正確答案】B【詳解】正三棱錐的底面邊長均相等，所以側(cè)面均為等腰直角三角形，即三條側(cè)棱兩兩垂直，所以側(cè)棱長為，所以體積.故選B.3．【正確答案】C【詳解】由于拋物線的焦點(diǎn)為正半軸上，與正半軸的交點(diǎn)為，故拋物線的焦點(diǎn)為，所以，因此拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故選C4．【正確答案】C【詳解】在數(shù)列中，，，則，，，，以此類推可知，對任意的，，因?yàn)?，所以?故選C.5．【正確答案】B【詳解】若，則，解得，或，當(dāng)時(shí)，，，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，，，符合題意，所以若“”，則“，或”，則“”是“”必要條件但不是充分條件.故選B.6．【正確答案】D【詳解】由題意可得，，所以的值為2或4.故選D.7．【正確答案】A【詳解】解：依題意直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則直線方程為，即，所以圓心到直線的距離小于等于半徑，即，解得或，即.故選A8．【正確答案】A【分析】畫出直線與曲線的圖象，結(jié)合圖象可得出答案.【詳解】解：由曲線得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；直線恒過點(diǎn)，所以直線與曲線的圖象如圖.當(dāng)直線與相切時(shí)，此時(shí)，得，解得，當(dāng)直線與平行時(shí)，，直線與曲線要恰有2個(gè)公共點(diǎn)，可得.故選:A.9．【正確答案】BC【詳解】雙曲線，則，雙曲線的實(shí)軸長為，故A錯(cuò)誤；雙曲線的焦距為，故B正確；雙曲線的離心率，故C正確；雙曲線的漸近線方程為，故D錯(cuò)誤．故選BC．10．【正確答案】ABC【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)?，，令，則，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，故，選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)椋瑒t兩邊同時(shí)除以，得：，即，且，因此是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：由的通項(xiàng)可得：，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，通項(xiàng)成立，則，所以：，所以是等差數(shù)列，選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：由，則不等式為：，（，，兩邊除以）得：，則當(dāng)時(shí)：，，，不成立，當(dāng)時(shí)：，，，成立，所以的最小值為6，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選ABC.11．【正確答案】BCD【詳解】對于A，連接因?yàn)镋，F(xiàn)分別是棱BC，的中點(diǎn)，所以所以直線EF與所成的角為因?yàn)閹缀误w是正方體，所以為等邊三角形，所以，即直線EF與所成的角為，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，其中，所以，所以，所以P點(diǎn)在線段上，又因?yàn)榕c平行，平面平面，所以P到平面的距離為定值，三角形的面積為定值，所以為定值.故B正確；對于C，由正方體的側(cè)面展開圖，結(jié)合上圖可以看出五個(gè)正方形及上下左右四個(gè)三角形組成一個(gè)正方形，可知要想把正方體完全包住，正方形即為所求正方形，對角線長為，所以面積為，故C正確；對于D，因?yàn)槭侵苯侨切?，球面與這兩個(gè)面的交線和為以為圓心，圓心角為以4為半徑的圓弧，其弧長為，是直角三角形，球面與這個(gè)面的交線是以B為圓心，圓心角，半徑為2的圓弧，其弧長為，是等邊三角形，球面與這個(gè)面的交線是以為圓心，圓心角，半徑為4的圓弧，其弧長為，所以球面與三棱錐表面的交線長為，故D正確.故選BCD.12．【正確答案】1【詳解】由直線與直線平行，可得，解之得，此時(shí)直線可化為，直線與直線平行，則它們之間的距離是13．【正確答案】5000【詳解】因?yàn)椋詳?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是以為公差的等差數(shù)列，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，故，，所以，所以的前100項(xiàng)和為.14．【正確答案】（2）（4）【詳解】由面面平行概念可知（1）為真命題；若直線，且，平面?可能相交或平行，即（2）為假命題；由兩平面平行可知，分別在兩個(gè)平面內(nèi)的直線沒有交點(diǎn)，又與不平行，故與異面，（3）真命題；若一個(gè)平面上有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，這三個(gè)點(diǎn)可以分布在另一個(gè)平面的兩側(cè)，此時(shí)兩平交，（4）假命題.15．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）設(shè)首項(xiàng)為，由題意得，且是等比數(shù)列，故，解得，則，（2）設(shè)首項(xiàng)為，公差為，且是等差數(shù)列，故，解得，故，，由二次函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)，取得最小值，但一定為正整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí).16．【正確答案】（1）；（2）或；（3）或．【詳解】（1）設(shè)圓的圓心，由，得，解得，故圓心．圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為．②當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，整理得．由圓與切線相切，得，解得，故所求切線方程為，整理得，故過點(diǎn)，且與圓相切的直線方程為或．（3）由，得圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，圓心到直線的距離為1，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，由圓心到直線的距離為，得，解得或，可得直線的方程為或．17．【正確答案】（1）見詳解；（2）；（3）存在，.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接、，又是的中點(diǎn)，所以，且，又，，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，，又，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，所以，，，，令平面的法向量為，則，即，令，則，，所以平面的法向量為，令平面的法向量為，則，即，令，則，，所以平面的法向量為，設(shè)平面與平面所成角為，所以，所以平面與平面所成角的余弦值為；（3）設(shè)且，則，由（2）可得，，，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以平面的法向量為，又，點(diǎn)到平面的距離為，所以，即，解得，所以在線段上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為，且.18．【正確答案】（1）；（2）；（3）見詳解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，所以．?）為奇數(shù)時(shí)，，，為偶數(shù)時(shí)，，，所以所以．（3），，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即又，所以，當(dāng)時(shí)，，所