/安徽省皖南八校2026屆高三上學(xué)期第二次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位，），且是純虛數(shù)，則的值為（

）A． B． C．2 D．2．已知集合，，則（

）A． B．C． D．3．已知函數(shù)，下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．4．在等比數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．5．已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在處的切線方程是（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是，為了得到的圖象，需要將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度7．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，為邊的中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，（

）A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)，其中，若對(duì)任意恒成立，則（

）A．， B．，C．， D．，二、多選題9．已知正實(shí)數(shù)滿足等式，則下列結(jié)論可能成立的是（

）A． B．C． D．10．在正四棱錐中，已知，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，滿足，則下列說法正確的有（

）A．平面B．當(dāng)時(shí)，平面平面C．不存在，使得平面D．當(dāng)時(shí)，，，，四點(diǎn)共面11．已知銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，滿足，，且的面積為，則（

）A． B．C． D．的周長(zhǎng)為三、填空題12．已知向量，，則在方向上的投影向量的模為．13．如圖，在幾何體中，側(cè)棱，，均垂直于底面，已知，，，則該幾何體的體積是.14．已知等差數(shù)列的公差為，若集合，則．四、解答題15．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的對(duì)稱軸方程；（2）若，，求的值．16．記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，且.（1）求；（2）若點(diǎn)在線段上，且滿足，求的面積.17．如圖，四邊形與為直角梯形，且平面平面，其中，，，.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的正弦值；（3）若空間中存在一點(diǎn)，滿足，且直線平面，求的長(zhǎng).18．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，對(duì)任意正整數(shù)，均有.（1）求和；（2）若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明.19．已知函數(shù)，，其中函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，在上存在極大值點(diǎn)，且；（3）證明：，使得恒成立.

答案1．【正確答案】C【詳解】，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以且，所以.故選C2．【正確答案】D【詳解】，，則或，.故選D.3．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，故的定義域?yàn)?選項(xiàng)A：，，，所以不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：，，，所以不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：，，，所以為偶函數(shù)，故C正確；選項(xiàng)D：，，，所以不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選C.4．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，，故，則數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，所以．故選A．5．【正確答案】D【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可得，則，可得，，所以曲線在處的切線方程是，即.故選D.6．【正確答案】A【詳解】依題意，得，得，所以，，了得到的圖象，需要將函數(shù)的圖象,需要將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度．故選A．7．【正確答案】C【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則、，設(shè)，則，，故，.所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，且，此時(shí).故選C.8．【正確答案】B【詳解】令，因?yàn)榈牧泓c(diǎn)為，，，可知的零點(diǎn)為，，，的零點(diǎn)為，，，又因?yàn)?，則，若，即，則，可知的零點(diǎn)與的零點(diǎn)相同，則，解得，.故選B.9．【正確答案】CD【詳解】由題意，設(shè)，則，.設(shè)冪函數(shù).當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以即.故選CD10．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A，如圖，連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樵谡睦忮F中，底面為正方形，所以，又因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面，A正確；對(duì)于B，連接，，，因?yàn)?，所以，，又，平面，，平面，，，所以平面平面，B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，又因?yàn)椋?，平面，所以平面，則平面，所以當(dāng)，即點(diǎn)與重合時(shí)，平面，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)與的交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，，，則，所以，，共線，所以，，，四點(diǎn)共面，D正確.故選ABD.11．【正確答案】BCD【詳解】選項(xiàng)A：由，得，兩式相加得，整理得，即，解得或，因?yàn)殇J角中，，所以，，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由選項(xiàng)A得，，則，所以，即，整理得，即，因?yàn)椋?，所以，則，故B項(xiàng)正確；選項(xiàng)C：由銳角的面積為，得，得，設(shè)的外接圓半徑為，則，又，，則，解得，所以，，，所以，故C項(xiàng)正確；選項(xiàng)D：由選項(xiàng)C得，的周長(zhǎng)為，故D正確.故選BCD.12．【正確答案】【詳解】因?yàn)?，，則在方向上的投影向量的模為．13．【正確答案】【詳解】如圖所示，構(gòu)造一個(gè)底面是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為4的正三棱柱，其中，，，，因此，即，根據(jù)三棱柱體積公式，，故該幾何體的體積是.14．【正確答案】/【詳解】，則，其周期為，而，即最多3個(gè)不同取值，由題可知集合有且僅有兩個(gè)元素，，則在，，中，或，或，又，即，一定會(huì)有相鄰的兩項(xiàng)相等，設(shè)這兩項(xiàng)分別為，，于是有，即有，解得，不相等的兩項(xiàng)為，，故．15．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1），令，解得，故函數(shù)的對(duì)稱軸為直線.（2）因?yàn)椋矗?，則，可得，則，則，所以．16．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）根據(jù)題意，則由正弦定理得，，因?yàn)?，所以，所以，，則，解得；（2）令，，則.又，則四邊形為菱形，為的角平分線.，，，即，由余弦定理可得：，即，解得，所以.17．【正確答案】（1）見詳解（2）（3）【詳解】（1）由，得，而平面平面，平面平面平面，則平面，又平面，所以.（2）由（1）知平面，平面，則，而，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，又，，，，則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，因此，所以平面與平面夾角的正弦值為.（3）設(shè)，依題意，，即，，，即，則，由平面，得是平面的一個(gè)法向量，于是，即，解得，，因此，所以.18．【正確答案】（1），（2）（3）見詳解【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，不妨設(shè)，由可得，故，解得，所以，，即，即，所以，解得，故，.（2）方法一：由（1）得：，當(dāng)且時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，滿足，綜上所述.方法二：由（1）得：，，，，，令，則數(shù)列為常數(shù)列，，；（3）由（1）知，，下面證明，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，所以．19．【正確答案】（1）單調(diào)遞減（2）見詳解（3）見詳解【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以在上單調(diào)遞減.（2），，其中滿足，，，令，得，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以在上存在極大值點(diǎn)，且.（3）由（2）知在上的最大值為.要證，使得對(duì)任意恒成立，即證對(duì)任意恒成立，即證對(duì)任意成立，又，所