/上海市崇明區(qū)區(qū)2026屆高三上學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試題一、填空題1．已知集合，則.2．不等式的解為．3．若復(fù)數(shù)滿足其中為虛數(shù)單位，則.4．以為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.5．投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察擲得的點數(shù)，則擲得的點數(shù)之和為7的概率是．6．的二項展開式中的常數(shù)項是．7．已知某圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為2的扇形，則該圓錐的母線與底面所成角的大小為．8．已知是等差數(shù)列的前項和，若，則的值為.9．在內(nèi)，使成立的的取值范圍為．10．已知、分別為橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于、兩點．若，則．11．如圖，某小區(qū)內(nèi)有一塊矩形區(qū)域，其中米，米，點、分別為、的中點，左右兩個扇形區(qū)域為花壇（兩個扇形的圓心分別為、，半徑均為20米），其余區(qū)域為草坪．現(xiàn)規(guī)劃在草坪上修建一個三角形的兒童游樂區(qū)，且三角形的一個頂點在線段上，另外兩個頂點在線段上，則該游樂區(qū)面積的最大值為平方米．（結(jié)果保留整數(shù)）12．已知，若存在、，且，使得成立，則的取值范圍是．二、單選題13．下列函數(shù)中，在其定義域上既是奇函數(shù)又是嚴(yán)格增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．14．已知非零空間向量和，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若則C．若，則 D．若，則15．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯用不同的平面截同一圓錐，得到了圓錐曲線，其中的一種如圖所示．用過M點且垂直于圓錐底面的平面截兩個全等的對頂圓錐得到雙曲線的一部分，已知高，底面圓的半徑為4，M為母線PB的中點，平面與底面的交線，則雙曲線的兩條漸近線所成角的余弦值為（

）．

A． B． C． D．16．已知數(shù)列滿足，其中為常數(shù)．對于下述兩個命題：①對于任意的，任意的，都有是嚴(yán)格增數(shù)列；②對于任意的，存在，使得是嚴(yán)格減數(shù)列．以下說法正確的為（

）A．①真命題；②假命題 B．①假命題；②真命題C．①真命題；②真命題 D．①假命題；②假命題三、解答題17．如圖，在直三棱柱中，E，F(xiàn)分別為，的中點，，.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.18．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求角B的大??；（2）若的面積為，請判斷的形狀，并說明理由．19．某企業(yè)招聘員工，指定“英語聽說”?“信息技術(shù)”?“邏輯推理”作為三門考試課程，有兩種考試方案.方案一：參加三門課程的考試，至少有兩門及格為通過；方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，并參加這兩門課程的考試，兩門都及格為通過.假設(shè)某應(yīng)聘者參加三門指定課程考試及格的概率分別是，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.（1）分別求該應(yīng)聘者選方案一考試通過的概率和選方案二考試通過的概率；（2）試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小，并說明理由.20．已知橢圓，拋物線與有一個相同的焦點F．過點F作互相垂直的兩條直線l與，直線l與交于點A、B，直線與交于點C、D．(1)求橢圓的離心率及拋物線的方程；(2)若直線l的傾斜角為，求AB中點M的坐標(biāo)；(3)四邊形ACBD的面積是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．21．設(shè)函數(shù)的定義域為，集合．若中有且僅有一個元素，則稱為函數(shù)的一個“值”（1）設(shè)，求的值；（2）設(shè)，且，若的函數(shù)值中不存在值，求實數(shù)取值的集合；（3）已知定義域為的函數(shù)的圖象是一條連續(xù)曲線，且函數(shù)的所有函數(shù)值均為值，若，證明：在上為嚴(yán)格增函數(shù)的一個充要條件是．

答案1．【正確答案】【詳解】因為集合，所以.2．【正確答案】【詳解】不等式的解即為，故原不等式的解為.3．【正確答案】【詳解】解:，則所以，，.4．【正確答案】【詳解】由題得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.5．【正確答案】【詳解】一枚骰子的點數(shù)有6種情況，則兩枚骰子點數(shù)所對應(yīng)總情況為36種.又注意到點數(shù)之和為7的情況有：1，6；6，1；2，5；5，2；3，4；4，3共6種，則擲得的點數(shù)之和為7的概率是.6．【正確答案】【詳解】由題的二項展開式的第項為.令，則常數(shù)項為.7．【正確答案】【詳解】令底面半徑為，則，可得，且圓錐母線為，所以該圓錐的母線與底面所成角的余弦值為，故其大小為.8．【正確答案】52【詳解】設(shè)公差為d，由，則.則.9．【正確答案】【詳解】如圖所示，找出在內(nèi)，使成立的值，由圖可知，，．根據(jù)三角函數(shù)線的變化規(guī)律得出滿足題中條件的角．10．【正確答案】【詳解】橢圓，則、，設(shè)，因為，即，即，又，解得，不妨取，則的方程為，由，解得或，所以，所以，，所以.11．【正確答案】137【詳解】設(shè)游樂區(qū)所在的三角形為，在線段上，在線段上，如圖所示，當(dāng)分別于圓弧相切時，取得最大值，由對稱性，只討論，設(shè)與圓弧相切于點，連接，設(shè)，因為≌，≌，則，，因為，所以，，，，所以，因為，所以，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以平方米，即該游樂區(qū)面積的最大值為137平方米．12．【正確答案】【詳解】因為，所以，，因為，所以，所以，即，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，成立，所以，必要條件：，解得；若，即時，必然成立；若，因為，，不妨設(shè)，則，，且，所以，，所以①，②，①②兩式聯(lián)立得，即，所以，又，所以，，當(dāng)時，，不符合條件；當(dāng)時，，則，此時；當(dāng)時，，則或，此時或，因為，所以；綜上，或，所以的取值范圍是.13．【正確答案】A【詳解】對于A，的定義域為R，且，所以為奇函數(shù)，又是嚴(yán)格增函數(shù)，正確；對于B，的定義域為R，且，所以不為奇函數(shù)，錯誤；對于C，的定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以不具有奇偶性，是嚴(yán)格增函數(shù)，錯誤；對于D，的定義域為R，且，所以為奇函數(shù)，但為周期函數(shù)，不是定義域R上的嚴(yán)格增函數(shù)，錯誤.故選A14．【正確答案】D【詳解】若，則或與不共線，故選項A與B錯誤；若，則，故選項C錯誤，選項D正確.故選D.15．【正確答案】D【詳解】如下圖建系，令雙曲線為，且，則，，如圖，，，則，故，將代入，得，可得，故漸近線為，若它們的夾角為，且，則，故.

故選D.16．【正確答案】A【詳解】對于①，時，，，時，；時，，也有，故①為真命題.對于②，時，，，當(dāng)時，，，不嚴(yán)格遞減；當(dāng)時，，，不嚴(yán)格遞減；當(dāng)時，，若，則，同理當(dāng)時，，則存在，使得，則，，不嚴(yán)格遞減.綜上所述，時，不可能是嚴(yán)格遞減數(shù)列.故②為假命題.故選A.17．【正確答案】（1）見詳解；（2）.【詳解】（1）取中點，連接，則，，又，，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）由（1）點是中點，連接，因為平面，平面，所以，又，且，平面，所以平面，平面，所以，所以，，，所以，，所以為等腰三角形，則，且，所以，設(shè)點到平面的距離為，由得，所以，所以，即點到平面的距離為.18．【正確答案】（1）（2）是等邊三角形，理由見詳解【詳解】（1）由正弦定理可得,因為，所以，,所以.（2）,所以,由余弦定理，得,即，解得,所以是等邊三角形.19．【正確答案】（1）；（2），理由見詳解【詳解】（1）記該應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的事件分別為，則.應(yīng)聘者選方案一考試通過的概率應(yīng)聘者選方案二考試通過的概率（2），因為，所以,即.故，即選方案一，該應(yīng)聘者考試通過的概率較大.20．【正確答案】(1)橢圓的離心率，拋物線；(2)；(3)存在，最小面積為8.【詳解】（1）由題設(shè)的離心率為，且右焦點，即為的焦點，所以，所以，綜上，橢圓的離心率，拋物線；（2）由題設(shè)，知，聯(lián)立，則，所以，顯然，則，則，所以AB中點M的坐標(biāo)為.（3）

依題意，若直線斜率為0，則，此時；若直線斜率不為0，設(shè)直線為，則直線為，且，聯(lián)立與，得，且，則，，所以，聯(lián)立與，得，且，則，，所以，所以，而，即等號不成立，結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)知：在上遞增，即；綜上，，且直線斜率為0，面積取得最小值為8.21．【正確答案】（1）（2）（3）見詳解【詳解】（1）由題設(shè)知：有唯一解，即有唯一解，所以，解得.所以的值為.（2），當(dāng)時，由可得：或，由可得：或，所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，且，，畫簡圖如下：若的函數(shù)值中不存在值，則不存在唯一解，即，解得：；當(dāng)時，，令，則，令，則，所以在上