/四川省德陽市2026屆高三第一次診斷考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若（，且），則（

）A．4 B． C．2 D．2．復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．-3 B． C． D．3．若角的終邊過點(diǎn)，則的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．若圓錐底面半徑為1，高為，則圓錐側(cè)面展開扇形圓心角的弧度數(shù)是（

）A． B． C．2 D．35．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．6．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C．7 D．-77．若函數(shù)有且只有1個零點(diǎn)，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．28．隨著2025年央視中秋晚會選址德陽以及四川省城市足球聯(lián)賽（川超）如火如荼的開展，為德陽帶來了大量游客.10月12日，德陽體育公園迎來首個川超主場，現(xiàn)場人聲鼎沸，座無虛席.某球迷團(tuán)隊(duì)共10人（其中男7人，女3人）來現(xiàn)場觀賽，已知男球迷消費(fèi)平均數(shù)和方差都是2；女球迷消費(fèi)平均數(shù)為3，方差為1，則該團(tuán)隊(duì)總體10人消費(fèi)的平均數(shù)和方差分別是（

）（平均數(shù)單位均為千元，方差單位均為(千元)2）A．2.3，1.91 B．2.3，2.27 C．1.7，1.91 D．1.7，2.27二、多選題9．下列選項(xiàng)正確的是（

）A．； B．若，則；C．若，則； D．若，則.10．下列說法錯誤的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)0，1，2，3，5的分位數(shù)是2B．線性相關(guān)系數(shù)越大，則兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)C．經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過點(diǎn)D．殘差散點(diǎn)圖所在的帶狀區(qū)域越窄，則兩個變量的相關(guān)性越弱11．已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．是函數(shù)最小正周期為的充要條件；B．的最大值是；C．若在單調(diào)遞增，則的取值范圍是；D．若在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則的取值范圍是.三、填空題12．的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（用數(shù)字作答）.13．橢圓的長軸頂點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)且橢圓的焦點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn)，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是.14．點(diǎn)是函數(shù)的圖象上在軸右側(cè)任意一點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為，過作軸的垂線與的圖象交于另一點(diǎn)，則.四、解答題15．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式，的通項(xiàng)公式，且.（1）求，的值；（2）求的前項(xiàng)和.16．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，為中點(diǎn)，且，的角平分線交于點(diǎn)，且.（1）求；（2）求.17．已知函數(shù)（，且），函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱.（1）求；（2）若的最小值是2，求.18．大學(xué)吸引廣大學(xué)子，不僅僅靠知識的海洋，還有美味的餐廳.已知某大學(xué)有，，三個餐廳，小丁同學(xué)每天都在學(xué)校餐廳就餐，已知小丁第1天等可能性的隨機(jī)在某個餐廳就餐，若他在餐廳就餐，則下一天在，，三個餐廳就餐的概率分別為，，；若他在餐廳就餐，則下一天在，，三個餐廳就餐的概率分別為，，；若他在餐廳就餐，則他下一天到，，三個餐廳就餐的概率分別為，，.（1）求小丁同學(xué)第2天在餐廳就餐的概率；（2）求小丁同學(xué)第天在餐廳就餐的概率；（3）若小丁同學(xué)前天到餐廳就餐的天數(shù)為，求數(shù)學(xué)期望.（若小丁第天到餐廳就餐的天數(shù)為，則）19．關(guān)于在可導(dǎo)的函數(shù)，某同學(xué)通過自學(xué)高等數(shù)學(xué)得到如下正確結(jié)論：的導(dǎo)數(shù)在單調(diào)遞增在是凹函數(shù)；的導(dǎo)數(shù)在單調(diào)遞減在是凸函數(shù).已知在是凸函數(shù)，在是凹函數(shù)；.（1）求在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在是凸函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若在及是凸函數(shù)，在是凹函數(shù)；且在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，求證.

答案1．【正確答案】D【詳解】由題得到，則，因?yàn)?，且，所以；故選D2．【正確答案】C【詳解】由題復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選C3．【正確答案】D【詳解】由題可得，所以，所以的終邊與單位圓交點(diǎn)在第四象限，橫坐標(biāo)為.故選D4．【正確答案】A【詳解】由題可得圓錐側(cè)面展開扇形半徑為圓錐母線長為，圓錐側(cè)面展開扇形弧長為圓錐底面圓周長為，所以圓錐側(cè)面展開扇形圓心角的弧度數(shù)是.故選A5．【正確答案】B【詳解】解不等式，解得或，所以集合或，解得，即，所以集合，所以.故選B6．【正確答案】B【詳解】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，可知，即，化簡得，可知.故選B.7．【正確答案】C【詳解】由題可得，所以函數(shù)定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又為增函數(shù)，和均為上的增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以有最大值為，又時，，所以若函數(shù)有且只有1個零點(diǎn)，則.故選C8．【正確答案】A【詳解】由題可得總體10人消費(fèi)的平均數(shù)為，總體10人消費(fèi)的方差為.故選A9．【正確答案】AC【詳解】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以，故A正確；當(dāng)，滿足，但，故B錯誤；若，則，則即，故C正確；當(dāng)時，，故D錯誤.故選AC10．【正確答案】ABD【詳解】對于A，因?yàn)?，所以?shù)據(jù)0，1，2，3，5的分位數(shù)為第3個數(shù)和第4個數(shù)的平均數(shù)，即，故A錯誤；對于B，線性相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，則兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，故B錯誤；對于C，由線性回歸方程的性質(zhì)知，經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過樣本中心點(diǎn)，故C正確；對于D，在殘差的散點(diǎn)圖中，殘差散點(diǎn)圖所在的帶狀區(qū)域越窄，擬合精度越高，則兩個變量的相關(guān)性越強(qiáng)，故D錯誤；故選ABD.11．【正確答案】BCD【詳解】時，，函數(shù)最小正周期為，充分性成立，當(dāng)函數(shù)最小正周期為時，，必要性不成立，所以是函數(shù)最小正周期為的充分不必要條件，A錯誤；，所以的最大值是，B正確；若，則時，，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，解得，，又，所以，，解得，，所以，則，故的取值范圍是，C正確；若，因?yàn)?，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，且，所以，即的取值范圍是，故D正確.故選BCD12．【正確答案】【詳解】由題可得二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式為，所以當(dāng)時得展開式常數(shù)項(xiàng)為.13．【正確答案】【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，半焦距為，雙曲線的實(shí)半軸長為，半焦距為，可知，，則橢圓離心率，雙曲線的離心率，且所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，綜上所述的最小值為.14．【正確答案】4【詳解】由，當(dāng)時，，則時，，所以，所以，由函數(shù)定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于對稱，因?yàn)辄c(diǎn)是函數(shù)的圖象上在軸右側(cè)任意一點(diǎn)，所以設(shè)，又過作直線的垂線，則垂線的斜率為1，所以垂線方程為：，即，聯(lián)立，解得：，即，又過作軸的垂線與的圖象交于另一點(diǎn)，且函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，又，，所以.15．【正確答案】（1），（2），.【詳解】（1）由題意得，，又，即，，.（2）依題意：由（1）可得，，，.16．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)榻Y(jié)合正弦定理可得，，因?yàn)?，所以，所以，則，因?yàn)?，所以，則，得，則；（2）因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，且，，，所以，得，在中利用余弦定理得，在中利用余弦定理得，因?yàn)椋?，所以，則在中利用余弦定理得，得，因?yàn)?，所以，所以，解得，解得或，又，解得，于?17．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）依題意得；（2）由題對恒成立，當(dāng)時，為增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則函數(shù)無最小值，不符合，所以，所以為增函數(shù)，令，所以時，時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以.綜上所述，.18．【正確答案】（1）（2），；（3），.【詳解】（1）（1）依題意，第一天在任意餐廳就餐的概率均為，設(shè)第二天在B餐廳就餐的概率為于是：；（2）設(shè)小丁第天在餐廳就餐的概率為,，第天在餐廳就餐的概率為則：當(dāng)時，即，即，所以是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列；所以，于是，；（3）依題意：，.19．【正確答案】（1）（2）（3）見詳解【詳解】（1）依題意，，所以切點(diǎn)為，切線斜率為，所以在處的切線方程為；（2）令，則，所以依題意，所以，.則，若在是凸函數(shù)，則在R上單調(diào)遞減，令，則在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，即，，所以時，時，于是在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是；（3）由（2），由題在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則的