/天津市南開日新學(xué)校2025?2026學(xué)年高二上學(xué)期學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測（三）數(shù)學(xué)學(xué)科試卷一、單選題1．拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，則（

）A． B．或 C． D．或2．已知曲線，從上任意一點向軸作垂線為垂足，則的中點所在曲線的方程為（

）A． B．C． D．3．已知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項分別為、，且，．設(shè)，則數(shù)列的前10項和等于（

）．A．55 B．70 C．85 D．1004．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，若，，是一個直角三角形的三個頂點，則點到軸的距離為A． B． C． D．5．已知橢圓的左、右焦點分別為，點是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點，延長與橢圓交于點，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．6．已知拋物線上任意一點到焦點F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，過點F且斜率存在的直線交拋物線C于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，直線，分別與直線相交于不同的M，N兩點，則=（

）A． B． C． D．7．設(shè)為數(shù)列的前項積，已知，則（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線：的一條漸近線方程為：，直線與交于，兩點，分別過點，作的垂線，垂足為，．若四邊形的面積為，則的虛軸長為（

）A．2 B． C．4 D．9．設(shè),是雙曲線（）的左、右焦點，是坐標(biāo)原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為A． B． C． D．10．蒙日是法國著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是圓，這個圓被稱為“蒙日圓”，且其方程為．已知橢圓的焦點在x軸上，為橢圓E上任意兩點，動點P在直線上．若恒為銳角，則橢圓E離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、填空題11．若雙曲線的離心率為3，則12．已知等差數(shù)列?的前項和分別為?，若，則.13．橢圓的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上.已知橢圓，，為其左?右焦點.動直線為此橢圓的切線，右焦點關(guān)于直線的對稱點；，則的取值范圍為.14．已知，是拋物線：上不同兩點.若直線過點，則的最小值為.15．?dāng)?shù)列的前項和為，若數(shù)列的各項按如下規(guī)律排列：，若存在正整數(shù)，使，則.16．已知橢圓上兩個不同的點關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的取值范圍是.三、解答題17．已知點，動點滿足直線與的斜率之積為，記點的軌跡為曲線（1）求曲線的方程；（2）若過點且傾斜角為的直線與曲線相交于兩點，求．18．記為數(shù)列的前項和.（1）已知為等差數(shù)列，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）已知在公差為1的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列，求的最小值.19．已知橢圓的短軸長為，是上一點．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點，是軸上不同的兩點，直線，分別交橢圓于另一點，，若，證明：橢圓在點處的切線與的外接圓相切．20．已知左焦點為的橢圓過點，過右焦點分別作橢圓的動弦，．設(shè)點，分別為線段，的中點．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求三角形面積的最大值；（3）設(shè)直線，的斜率為，，若，求證：直線經(jīng)過定點，并求出定點的坐標(biāo)．四、填空題21．已知橢圓的右焦點為,且離心率為，的三個頂點都在橢圓上，設(shè)三條邊的中點分別為，且三條邊所在直線的斜率分別為，且均不為0.為坐標(biāo)原點，若直線的斜率之和為1.則．22．已知，是雙曲線的左、右焦點，點在上，與x軸垂直，若的外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的倍，則E的離心率為.23．已知是雙曲線的右焦點，P是C左支上一點，，當(dāng)周長最小時，該三角形的面積為．24．已知等差數(shù)列，若，，且，則公差．

答案1．【正確答案】D【詳解】由題設(shè)，拋物線標(biāo)準(zhǔn)形式為，則，可得.故選D2．【正確答案】A【詳解】設(shè)，則，因為，所以，所以.故選A.3．【正確答案】C【詳解】根據(jù)已知可求出，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式即可求出數(shù)列{abn}的前10項和．【詳解】數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項分別為、，且，．設(shè)，又都是公差為1的等差數(shù)列，所以數(shù)列也成等差，則數(shù)列的前10項和等于，又，，∴，故選C．4．【正確答案】D【詳解】試題分析：由題意可知，代入橢圓方程可知考點：橢圓性質(zhì)5．【正確答案】B【詳解】設(shè)，則，于是有，由橢圓的定義可知：，，在圓中，是直徑，所以，由勾股定理可得：，，代入中，得，故選B6．【正確答案】B【詳解】由題意知拋物線上任意一點到焦點F的距離與它到直線的距離相等，因此，，拋物線的方程為.設(shè)直線的方程為，且，，,，由得，所以，，則，所以=·=.綜上，.故選B.7．【正確答案】D【詳解】由為數(shù)列的前項積，則，則由，可得當(dāng)時，有，又當(dāng)時，，則，即，則，則數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，則，故.故選D.8．【正確答案】D【詳解】記坐標(biāo)原點為，不妨設(shè)在第一象限，顯然的傾斜角為，的傾斜角為，故，而，，由對稱性易得四邊形是平行四邊形，故其面積，可得，設(shè)，由的傾斜角為，得，，于是由，得，又，則，解得，故的虛軸長為．故選D．9．【正確答案】B【詳解】分析：由雙曲線性質(zhì)得到，然后在和在中利用余弦定理可得．詳解：由題可知在中，在中,故選B.點睛：本題主要考查雙曲線的相關(guān)知識，考查了雙曲線的離心率和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．10．【正確答案】D【詳解】由題意可知，圓即為橢圓蒙日圓，因為、為橢圓上任意兩點，動點滿足恒為銳角，則點在圓外，又因為動點在直線上，則直線與圓相離，所以，解得，則，即，因此，橢圓的離心率的取值范圍是.故選D.11．【正確答案】【詳解】若焦點在軸上，則，，得，則，得，滿足題意；若焦點在軸上，則，，無解，則.12．【正確答案】【詳解】由于等差數(shù)列的前項和是關(guān)于的二次函數(shù)（且常數(shù)項為0），形式為，因此可設(shè)，，(k為非零常數(shù))；；。13．【正確答案】【詳解】

如圖，右焦點關(guān)于直線的對稱點，設(shè)切點為，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得：，，三點共線，所以，即點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，圓心到直線的距離為，則圓上的點到直線的距離最小值為，最大值為，所以點到直線的距離為，所以表示點到直線的距離的倍，則，即.14．【正確答案】【詳解】設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.15．【正確答案】/【詳解】由于，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，根據(jù)，則，即此時的.16．【正確答案】或【詳解】設(shè)，，是線段的中點，因為點是橢圓上關(guān)于直線對稱的兩個點，則，兩式相減得.因為，，所以.因為，所以，故，聯(lián)立，解得，所以.因為點M應(yīng)在橢圓的內(nèi)部，所以，即，解得或.所以實數(shù)m的取值范圍是或.

17．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）因為的坐標(biāo)為，又，，,又動點滿足直線與的斜率之積為，，即，故曲線的方程為.（2）根據(jù)已知作圖如下：直線過點且傾斜角為，直線的方程為，聯(lián)立，消去，整理得，，設(shè)，則，，故.18．【正確答案】（1）證明詳見詳解.（2）.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.又所以，所以，所以，所以，當(dāng)時，也滿足上式，所以.所以，為常數(shù)，所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2）因為等差數(shù)列的公差為1，所以.又成等比數(shù)列，所以，即，解得.所以，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)或12時，取得最小值，即的最小值為.19．【正確答案】（1）（2）見詳解【詳解】（1）由題意得，得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)橢圓在點處的切線方程為，由，可得，所以，化簡得，解得，所以的方程為，即．因為，所以直線，的傾斜角互補，所以直線，的斜率均存在且均不為零并互為相反數(shù)，設(shè)直線的方程為，由，可得，設(shè)，線段的中點為，則，，所以線段的垂直平分線的方程為．①由直線的斜率為，同理可得線段的垂直平分線的方程為．②由①+②得，由①-②得，所以的外接圓圓心的坐標(biāo)為，則直線的斜率，又，所以，故，所以的外接圓與直線相切，所以橢圓在點處的切線與的外接圓相切．20．【正確答案】（1）（2）（3）見詳解，【詳解】（1）由題意得，，，則，即，所以，即所求橢圓方程為.（2）設(shè)，，設(shè)方程為，由，得，則，，所以，令，，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且時，，則，即的最大值為.（3）下面先說明：橢圓的弦的斜率（存在的情況下）為，為弦中點的坐標(biāo)，設(shè)弦的端點為，，則，由，兩式相減得，則，所以弦的斜率（存在的情況下）為.設(shè)，，，，根據(jù)，有，則，兩式相減得，對比直線方程，即，知直線過．21．【正確答案】【詳解】由題意可得，所以，設(shè)，兩式作差得，則，，同理可得，所以，填．22．【正確答案】或【詳解】設(shè)，與x軸垂直，，代入雙曲線方程得，解得，，點在雙曲線的右支上，則，，是直角三角形，外接圓半徑，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，又，則，即，解得，的外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的倍，，即，整理得，兩邊同時除以，得，解得或.23．【正確答案】【詳解】設(shè)雙曲線的