/河南省百師聯(lián)盟2025?2026學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（北師大版）一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．下列命題中，正確的是(

).A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則3．“”是“函數(shù)是冪函數(shù)”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．某校從500名同學(xué)中用隨機(jī)數(shù)法抽取30人參加這一項(xiàng)調(diào)查．將這500名同學(xué)編號(hào)為001，002，…，500，假設(shè)從第1行第4列的數(shù)字開始，則第4個(gè)被抽到的同學(xué)的編號(hào)為（

）3484

4217

5572

1754

5560

83310474

4767

2176

3350

2583

92120676

6301

6378

5916

9555

6719A．331 B．047 C．455 D．4475．已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．6．設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．已知．若存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．某學(xué)校對(duì)高一學(xué)生選科情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生選科僅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五種組合，其中選考物化地和物化政組合的人數(shù)相等，并繪制得到如下的扇形圖和條形圖，則下列說法正確的是（

）A．該校高一學(xué)生總數(shù)為600B．該校高一學(xué)生中選考物化政組合的人數(shù)為80C．該校高一學(xué)生中選考物理的人數(shù)比選考?xì)v史的人數(shù)多D．用分層隨機(jī)抽樣的方法從該校高一學(xué)生抽取20人，則生史地組合抽取4人10．已知，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．. D．11．已知函數(shù)，的定義域均為，，是偶函數(shù)，且，若，則下列說法正確的有（

）A．B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．D．三、填空題12．樣本數(shù)據(jù)20，24，6，15，18，10，42，57，2，7的40%分位數(shù)為．13．當(dāng)生物體死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的元素含量會(huì)按確定的比率衰減.剛死亡的生物體某元素含量為，經(jīng)過天后元素含量與時(shí)間（天）的關(guān)系式為.已知生物體死亡10天后，它機(jī)體內(nèi)該元素含量變?yōu)?，則生物體死亡天后，它機(jī)體內(nèi)該元素含量變?yōu)?14．已知函數(shù)，則的最小值是.四、解答題15．已知集合．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．16．某地區(qū)有小學(xué)生人，初中生人，高中生人，教育局組織“人工智能科普”網(wǎng)絡(luò)知識(shí)問答，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取名學(xué)生，對(duì)其成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該地區(qū)所有學(xué)生中知識(shí)問答成績(jī)的平均數(shù)和眾數(shù)；（2）成績(jī)位列前%的學(xué)生平臺(tái)會(huì)生成“人工智能科普達(dá)人”優(yōu)秀證書，試估計(jì)獲得“人工智能科普達(dá)人”的成績(jī)至少為多少分；（3）已知落在內(nèi)的平均成績(jī)?yōu)椋讲钍?，落在?nèi)的平均成績(jī)是，方差是，求落在內(nèi)的平均成績(jī)和方差.附：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量，樣本平均數(shù)和樣本方差分別為.記兩組數(shù)據(jù)總體樣本平均數(shù)為，則總體樣本方差17．某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步加強(qiáng)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為100萬元，最大產(chǎn)能為80臺(tái).每生產(chǎn)臺(tái)該產(chǎn)品，需另投入成本萬元，當(dāng)年產(chǎn)量為5臺(tái)時(shí)，需另投入成本225萬元.由市場(chǎng)調(diào)研知，每臺(tái)該產(chǎn)品的售價(jià)為100萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完.（1）求出年利潤（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（單位：臺(tái)）的函數(shù)解析式（利潤銷售收入-成本）；（2）當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？18．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值.（2）若存在使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上的取值范圍是？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.19．已知函數(shù)，若對(duì)于其定義域中任意的非零實(shí)數(shù)，都有，就稱函數(shù)為“JC函數(shù)”.（1）已知，判斷是否是“JC函數(shù)”，并說明理由；（2）已知函數(shù)是定義在上的“JC函數(shù)”，函數(shù)在上單調(diào)遞增，判定并證明函數(shù)在上的單調(diào)性；（3）若函數(shù)是“JC函數(shù)”，且定義域?yàn)?，已知時(shí)，，求函數(shù)的解析式，并指出方程是否有正整數(shù)解？若有整數(shù)解，請(qǐng)求出；若沒有整數(shù)解，請(qǐng)說明理由.

答案1．【正確答案】A【詳解】由，得，故，因，則.故選A2．【正確答案】C【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，若，，則，所以，故D錯(cuò)誤.故選C.3．【正確答案】B【詳解】若函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得或，所以“”是“函數(shù)是冪函數(shù)”的充分不必要條件.故選B4．【正確答案】A【詳解】由題意，依次讀取的三個(gè)數(shù)字編號(hào)分別是442，175，572，175，455，608，331，047，剔除一個(gè)重復(fù)數(shù)據(jù)175和超過500的數(shù)據(jù)572，608，所以符合條件的前5個(gè)編號(hào)是442，175，455，331，047，所以第4個(gè)是331．故選:A5．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?又因?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，，所以，即.綜上，.故選A.6．【正確答案】B【詳解】的定義域?yàn)?，所以是偶函?shù).當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減，則等價(jià)于，所以，，解得或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選B.7．【正確答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，顯然不存在最小值，不符合題意，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則有，因?yàn)椋源藭r(shí)函數(shù)存在最小值，最小值為，符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則有，要想存在最小值，只需，而，所以；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則有，因此函數(shù)存在最小值，最小值為，綜上所述：，故選A8．【正確答案】A【詳解】由，得，所以或.作出的圖象，如圖.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)，所以有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.所以必須有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)的圖象與直線有一個(gè)交點(diǎn).由圖可知，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選A.9．【正確答案】BCD【詳解】A：由扇形圖和條形圖可知，選政史地的人數(shù)為200，占比25%，∴該校高一學(xué)生總數(shù)為人，故A錯(cuò)誤；B：由扇形圖知，選擇物化生的人數(shù)為，∴選擇物化地和物化政的人數(shù)為，又∵選考物化地和物化政組合的人數(shù)相等，∴選考物化地和物化政組合的人數(shù)均為，故B正確；C：該校高一學(xué)生中選考物理的有人，選考?xì)v史的有人，選考物理的人數(shù)比選考?xì)v史的人數(shù)多，故C正確；D：∵選考生史地的學(xué)生人數(shù)占比為，∴用分層隨機(jī)抽樣的方法從該校高一學(xué)生抽取20人，則生史地組合抽取人，故D正確．故選BCD．10．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故A正確；對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于，因?yàn)?，所以，由A知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以成立，故D正確.故選ACD.11．【正確答案】BCD【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，則，所以.選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以，由，得，所以，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，由，得，兩式相加得，化簡(jiǎn)得，即，又因?yàn)?，所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B正確；選項(xiàng)C，由B知，，即，所以，所以，故是以6為一個(gè)周期的周期函數(shù)，所以，故C正確；選項(xiàng)D，由B知，，所以，，，所以，由A知，，.由得，，所以.所以.則，故D正確.故選BCD.12．【正確答案】【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排列為2，6，7，10，15，18，20，24，42，57，共10個(gè)數(shù)，，∵4為整數(shù)，∴分位數(shù)為第四個(gè)數(shù)與第五個(gè)數(shù)的平均數(shù)．13．【正確答案】20【詳解】由題意，得，解得，則.由，即，解得.14．【正確答案】4【詳解】由，得或，故的定義域?yàn)?，因，則，所以，所以，若，則，等號(hào)成立時(shí)；若，則，等號(hào)成立時(shí)；故，等號(hào)成立時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為4.15．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，此時(shí)滿足，則，解得；當(dāng)且，則，解得，所以，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集，則，其中不同時(shí)取等號(hào)，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．16．【正確答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）一至六組的頻率分別為，所以，平均數(shù)為.由圖可知，眾數(shù)為.因此，以樣本估計(jì)總體，該地區(qū)所有學(xué)生中知識(shí)問答成績(jī)的平均數(shù)為分，眾數(shù)為分.（2）前組的頻率之和為，前組的頻率之和為，第%分位數(shù)落在第組，設(shè)為，則，解得.“人工智能科普達(dá)人”的成績(jī)至少為分.（3）的頻率為，的頻率為，所以的頻率與的頻率之比為，的頻率與的頻率之比為，設(shè)內(nèi)的平均成績(jī)和方差分別為，依題意有，解得，，解得，所以內(nèi)的平均成績(jī)?yōu)?，方差?17．【正確答案】（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為40臺(tái)時(shí)，該公司所獲年利潤最大，最大年利潤是920萬元【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.所以年利潤關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，.因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，年利潤最大，最大年利潤是920萬元.綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為40臺(tái)時(shí)，該公司所獲年利潤最大，最大年利潤是920萬元.18．【正確答案】（1）（2）（3）存在，【詳解】（1）因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，即，解得.所以.由，可知函數(shù)是奇函數(shù)，所以.（2）因?yàn)?，且是上的奇函?shù)，所以（*）.由（1）知，，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，在上恒正且單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.則由（*）得成立，即成立.設(shè)，則，所以，所以.設(shè)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）由（2）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是，則即所以方程，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.令，則，故方程有兩個(gè)不相等的正根，結(jié)合韋達(dá)定理，可得解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19