/高二上學(xué)期第二次階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A. B. C. D.【正確答案】A【詳解】分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進(jìn)而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.詳解：因?yàn)闈u近線方程為，所以漸近線方程為，選A.點(diǎn)睛：已知雙曲線方程求漸近線方程.2.若是空間的一個(gè)基底，則也可以作為該空間基底的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】利用空間向量的基底的概念結(jié)合空間向量的共面定理一一判定即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，易知，則A項(xiàng)中向量共面，不符合；對(duì)于B項(xiàng)，易知，則B項(xiàng)中向量共面，不符合；對(duì)于D項(xiàng)，易知，則D項(xiàng)中向量共面，不符合；對(duì)于C項(xiàng)，易知不共面，即C正確故選：C3.等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0.若，，成等比數(shù)列，則的前6項(xiàng)和為（）A. B. C.3 D.8【正確答案】A【分析】根據(jù)，，成等比數(shù)列，列方程可求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，所以，又，所以，整理得，因?yàn)?，所以，所以?shù)列前6項(xiàng)的和為.故選：A4.《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形，且一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬.在陽(yáng)馬中，若平面，且，異面直線與所成角的余弦值為，則（）A. B. C.2 D.3【正確答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求.【詳解】由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建系如圖，設(shè)，因?yàn)椋?，，設(shè)異面直線與所成角為，則，解得，即.故選：C5.在數(shù)列中，若，，則（）A. B. C.1 D.4【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，探求出數(shù)列的周期，再利用周期性計(jì)算即得.【詳解】在數(shù)列中，由，，得，，，因此數(shù)列是周期性數(shù)列，周期為3，所以.故選：A6.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)且斜率為的直線l與拋物線C交于A，B（A在B的上方）兩點(diǎn)，若，則的值為（）A. B. C.2 D.【正確答案】C【分析】設(shè)直線l的傾斜角為，求得．過(guò)A作準(zhǔn)線于，過(guò)B作準(zhǔn)線于，過(guò)B作于.由拋物線定義求出和.在直角三角形ABC中，利用余弦的定義表示出,即可解得．【詳解】設(shè)直線l的傾斜角為，根據(jù)條件可得，則可得．過(guò)A作準(zhǔn)線于，過(guò)B作準(zhǔn)線于，過(guò)B作于.由拋物線定義可得.因?yàn)椋?而.在直角三角形ABC中，,解得：．故選：C7.如圖，平面平面，是正三角形，四邊形是正方形，點(diǎn)是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)在正方形內(nèi)的軌跡是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，由題證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，取，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，利用長(zhǎng)度相等推得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程即可逐一判斷．【詳解】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，因平面平面，由可得，因平面平面，平面，故平面，易得，故可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨取，則，則，．由點(diǎn)在平面內(nèi)，可設(shè)，因，所以，化簡(jiǎn)得：，故點(diǎn)的軌跡是一條直線，排除C，D．又點(diǎn)不在直線上，故排除B，而點(diǎn)在直線上，故A正確．故選：A.8.數(shù)列擴(kuò)充是指在一個(gè)有窮數(shù)列中按一定規(guī)則插入一些項(xiàng)得到一個(gè)新的數(shù)列，擴(kuò)充的次數(shù)記為.擴(kuò)充規(guī)則為每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的平均數(shù).現(xiàn)對(duì)數(shù)列1，3進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，2，3；第2次得到數(shù)列1，，2，，3；…依次構(gòu)造，記第次得到的數(shù)列的所有項(xiàng)之和為，則（）A.510 B.514 C.1022 D.1026【正確答案】B【分析】先設(shè)第次構(gòu)造后得的數(shù)列為1，，3，求出此時(shí)所有項(xiàng)之和，接著得到第次構(gòu)造后得到的數(shù)列，并求出，觀察與的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列定義得到數(shù)列是等比數(shù)列即可求解.【詳解】設(shè)第次構(gòu)造后得的數(shù)列為1，，3，則，則第次構(gòu)造后得到的數(shù)列為1，，，，，…，，，3，于是，，顯然，而，因此數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，即，所以.故選：B二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】AB【分析】由遞推關(guān)系可得當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，即可依次判斷.【詳解】由，可得，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，即，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得．故選：AB.10.已知直線和圓相交于M，N兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線過(guò)定點(diǎn)B.的最小值為3C.的最小值為D.圓上到直線的距離為的點(diǎn)恰好有三個(gè)，則【正確答案】AC【分析】根據(jù)直線的定點(diǎn)、圓的相乘、向量數(shù)量積運(yùn)算、直線和圓的位置關(guān)系等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對(duì)于A，直線，即，由解得，所以定點(diǎn)坐標(biāo)為，A正確，對(duì)于B，圓的圓心為，半徑為，點(diǎn)與圓心的距離為，所以的最小值為，此時(shí)直線垂直于軸，故此時(shí)無(wú)最小值，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，設(shè)，則，當(dāng)，即直線方程為時(shí)，取得最小值為，所以C正確，對(duì)于D，若圓上到直線的距離為的點(diǎn)恰好有三個(gè)，則圓心到直線的距離為，所以，整理得，所以D錯(cuò)誤.故選：AC11.在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（）A.當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面【正確答案】BD【分析】對(duì)于A，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；對(duì)于B，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對(duì)于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對(duì)于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段，周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)?，所以，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．故選：BD．本題主要考查向量的等價(jià)替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi)．

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.達(dá)?芬奇認(rèn)為：和音樂(lè)一樣，數(shù)學(xué)和幾何“包含了宇宙的一切”，從年輕時(shí)起，他就本能地把這些主題運(yùn)用在作品中，布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚，在正六邊形上畫(huà)了具有視覺(jué)效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚形成圖2的組合，這個(gè)組合表達(dá)了圖3所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的邊長(zhǎng)為1，則點(diǎn)到直線的距離是__________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意，求得△的三條邊長(zhǎng)，在三角形中求邊邊上的高線即可.【詳解】根據(jù)題意，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，如下所示：在△中，容易知：；同理，，滿足，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由等面積法可知：，解得，即點(diǎn)到直線的距離是.故答案為.13.數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則______________.【正確答案】【分析】對(duì)為奇偶數(shù)分類討論，分別得出奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，由奇數(shù)項(xiàng)遞推公式將奇數(shù)項(xiàng)用表示，由偶數(shù)項(xiàng)遞推公式得出偶數(shù)項(xiàng)的和，建立方程，求解即可得出結(jié)論.【詳解】，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.故答案.本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及數(shù)列的并項(xiàng)求和，考查分類討論思想和數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.14.已知、、，若的周長(zhǎng)為，則的最大值為_(kāi)_________，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________．【正確答案】①.②.【分析】分析可知，點(diǎn)的軌跡為，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為直線與橢圓的交點(diǎn)，且、方向相同時(shí)，取最大值，求出該最值，然后將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，可求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】由題意可得，，所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓（除去長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），設(shè)其方程為，則，，所以，點(diǎn)的軌跡方程為，如下圖所示：因?yàn)?，故點(diǎn)在橢圓外，由橢圓的定義可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為直線與橢圓的交點(diǎn)，且、方向相同時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)椋本€的方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn).故；.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用二次曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：（1）求解橢圓、雙曲線有關(guān)的線段長(zhǎng)度和、差的最值，都可以通過(guò)相應(yīng)的圓錐曲線的定義分析問(wèn)題；（2）圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最值，可通過(guò)連接圓外的點(diǎn)與圓心來(lái)分析求解.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：．【正確答案】（1）（2）見(jiàn)解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對(duì)于也成立，得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.【小問(wèn)1詳解】∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；【小問(wèn)2詳解】∴16.已知橢圓過(guò)點(diǎn).（1）若橢圓E的離心率，求b的取值范圍；（2）已知橢圓E的離心率，M，N為橢圓E上不同兩點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)M，N兩點(diǎn)的直線與圓相切，求線段的最大值.【正確答案】（1）（2）2【分析】（1）把點(diǎn)代入橢圓方程，可得，由，可求b的取值范圍；（2）由離心率和（1）中結(jié)論，求得橢圓方程，分類討論直線的位置，聯(lián)立方程組，利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合不等式的性質(zhì)求的最大值.【小問(wèn)1詳解】∵在橢圓，∴，有，所以，又∵，所以，∵，∴；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，又，所以，橢圓因?yàn)橹本€與相切，故.若直線的斜率不存在，不妨設(shè)直線為：，代入橢圓方程可得此時(shí)線段.若直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為.由直線與相切，故，可得.聯(lián)立得，所以，線段.又因?yàn)?，所?當(dāng)且僅當(dāng)，故當(dāng)時(shí)，的最大值為2.綜上所述：當(dāng)時(shí)，線段的最大值2.17.在四棱錐中，底面．（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)?，所以四邊形等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?；【小?wèn)2詳解】解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面的法向量，

則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）仍然成等差數(shù)列?若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【正確答案】（1）（2）不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由和計(jì)算分析即可求解；（2）先由題意結(jié)合（1）中通項(xiàng)公式求出，接著假設(shè)在數(shù)列中存在三項(xiàng)，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）仍然成等差數(shù)列，結(jié)合等差中項(xiàng)公式分析計(jì)算求得得出矛盾，從而得解.【小問(wèn)1詳解】依題意得，當(dāng)時(shí)，．由，可得，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，，亦符合，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，故．【小問(wèn)2詳解】在數(shù)列中不存在不同的三項(xiàng)，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）仍然成等差數(shù)列，理由如下：由（1）可得，依題意得，假設(shè)在數(shù)列中存在三項(xiàng)，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）仍然成等差數(shù)列，則，即整理得：①又因?yàn)閙，k，p成等差數(shù)列，則，代入①式整理得：，即，化簡(jiǎn)得，即，而m，k，p成等差數(shù)列，即，又因?yàn)?，，為不同的三?xiàng)，，故假設(shè)不成立．因此，在數(shù)列中不存在不同的三項(xiàng)，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）仍然成等差數(shù)列．19.如圖，在四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，．，是棱上的動(dòng)點(diǎn)（除端點(diǎn)外），分別為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成的最大角為30°，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）取中點(diǎn)，