10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算人教A版（2019）必修第二冊(cè)素養(yǎng)目標(biāo)1.了解隨機(jī)事件的包含、互斥、對(duì)立的含義，會(huì)判斷兩個(gè)隨機(jī)事件是否互斥、對(duì)立,提升邏輯推理素養(yǎng)（重點(diǎn)）2.了解隨機(jī)事件的并事件、交事件的含義，能進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算，提升邏輯推理素養(yǎng)（難點(diǎn)）新課導(dǎo)入探究思考：在擲骰子試驗(yàn)中，觀察骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，可以定義許多隨機(jī)事件，例如：Ci=＂點(diǎn)數(shù)為

i"，i=1,2,3,4,5,6;D1=＂點(diǎn)數(shù)不大于3＂；D2=＂點(diǎn)數(shù)大于3＂;E1=＂點(diǎn)數(shù)為1或2＂；E2=＂點(diǎn)數(shù)為2或3＂;F=＂點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)＂；G=＂點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)＂；......你還能寫出這個(gè)試驗(yàn)中其他一些事件嗎？請(qǐng)用集合的形式表示這些事件．借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？新課學(xué)習(xí)思考一下：用集合的形式表示事件C1=＂點(diǎn)數(shù)為1＂和事件

G=＂點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)＂，這兩個(gè)事件有什么關(guān)系嗎？它們分別是C1={1}和

G={1,3,5}，如果事件C1發(fā)生，那么事件G一定發(fā)生．事件之間的這種關(guān)系用集合的形式表示，就是{1}?{1,3,5}，即

C1?G

．這時(shí)我們說(shuō)事件

G

包含事件C1

．新課學(xué)習(xí)包含關(guān)系的概念一般地，若事件A

發(fā)生，則事件

B

一定發(fā)生，我們就稱事件

B

包含事件

A（或事件

A包含于事件

B

），記作

B?A（或

A?B

）．可以用下圖表示特殊的包含關(guān)系：兩個(gè)事件相等特別地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A且A?B，則稱事件A與事件B相等，記作A=B.新課學(xué)習(xí)思考一下：用集合的形式表示事件D1=＂點(diǎn)數(shù)不大于3＂，事件

E1=＂點(diǎn)數(shù)為1或2＂

和事件

E2=＂點(diǎn)數(shù)為2或3＂，這兩個(gè)事件有什么關(guān)系嗎？它們用集合分別表示為

D1={1,2,3}，E1={1,2}和

E2={2,3}．事件E1和事件E2至少有一個(gè)發(fā)生，相當(dāng)于事件D1發(fā)生．事件之間的這種關(guān)系用集合的形式表示，就是{1,2}∪{2,3}={1,2,3}，即E1∪E2=D1

.新課學(xué)習(xí)并事件的概念一般地，事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個(gè)事件為事件

A

與事件B的并事件（或和事件），記作

A∪B（或

A+B

）．可以用下圖表示新課學(xué)習(xí)思考一下：事件C2=＂點(diǎn)數(shù)為2＂可以用集合的形式表示為C2={2}，事件

C2

為事件E1

和E2

有什么關(guān)系？事件

E1=＂點(diǎn)數(shù)為1或2＂和事件E2=＂點(diǎn)數(shù)為2或3＂同時(shí)發(fā)生，相當(dāng)于事件

C2

發(fā)生．事件之間的這種關(guān)系用集合的形式表示，就是{1,2}∩{2,3}={2}，即

E1∩E2=C2

．新課學(xué)習(xí)交事件的概念一般地，事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中，也在事件

B

中，我們稱這樣的一個(gè)事件為事件

A

與事件

B的交事件（或積事件），記作

A∩B（或AB

）．可以用下圖中表示．新課學(xué)習(xí)思考一下：用集合的形式表示事件C3=＂點(diǎn)數(shù)為3＂和事件C4=＂點(diǎn)數(shù)為4＂，這兩個(gè)事件有什么關(guān)系？它們用集合表示為C3={3},C4={4}.事件C3

與事件C4不可能同時(shí)發(fā)生，用集合的形式表示這種關(guān)系，就是

{3}∩{4}=?

，即

C3∩C4=?.

新課學(xué)習(xí)互斥事件的概念一般地，如果事件

A

與事件

B

不能同時(shí)發(fā)生，也就是說(shuō)

A∩B

是一個(gè)不可能事件，即

A∩B=?

，則稱事件

A

與事件

B

互斥（或互不相容）．可以用下圖表示這兩個(gè)事件互斥．新課學(xué)習(xí)思考一下：用集合的形式表示事件

F=＂點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)＂，事件

G=＂點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)＂，這兩個(gè)事件有什么關(guān)系？它們用集合表示為F={2,4,6},G={1,3,5}．在任何一次試驗(yàn)中，事件

F

與事件G

兩者只能發(fā)生其中之一，而且也必然發(fā)生其中之一．事件之間的這種關(guān)系，用集合的形式可以表示為{2,4,6}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5,6}，即F∪G=Ω

，且{2,4,6}∩{1,3,5}=?

，即

F∩G=?

．新課學(xué)習(xí)對(duì)立事件的概念A(yù)Ω一般地，如果事件

A

和事件

B

在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，即

A∪B=Ω，且

A∩B=?

，那么稱事件

A與事件

B

互為對(duì)立．事件

A

的對(duì)立事件記為

，可以用下圖表示．新課學(xué)習(xí)拓展：互斥事件與對(duì)立事件區(qū)別與聯(lián)系(1)區(qū)別：兩個(gè)事件A與B是互斥事件，包括如下三種情況：①若事件A發(fā)生，則事件B就不發(fā)生；②若事件B發(fā)生，則事件A就不發(fā)生；③事件A，B都不發(fā)生.(2)聯(lián)系：互斥事件和對(duì)立事件在一次試驗(yàn)中都不可能同時(shí)發(fā)生，而事件對(duì)立是互斥的特殊情況，即對(duì)立必互斥，但互斥不一定對(duì)立.新課學(xué)習(xí)事件的關(guān)系或運(yùn)算的含義，以及相應(yīng)的符號(hào)表示：事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符合表示包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B或B?A并事件(和事件)A與B至少一個(gè)發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B=?互為對(duì)立A與B有且只有一個(gè)發(fā)生A∩B=?，A∪B=Ω類似地,可以定義多個(gè)事件的和事件以及積事件.新課學(xué)習(xí)例1

如圖，由甲，乙兩個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)電路，每個(gè)元件可能正常或失效．設(shè)事件A=＂甲元件正常＂，B=＂乙元件正常＂.（1）寫出表示兩個(gè)元件工作狀態(tài)的樣本空間；分析：注意到試驗(yàn)由甲，乙兩個(gè)元件的狀態(tài)組成，所以可以用數(shù)組(x1,x2)表示樣本點(diǎn)．這樣，確定事件A,B

所包含的樣本點(diǎn)時(shí)，不僅要考慮甲元件的狀態(tài)，還要考慮乙元件的狀態(tài)．乙甲用

x1,x2

分別表示甲，乙兩個(gè)元件的狀態(tài)，則可以用(x1,x2)表示這個(gè)并聯(lián)電路的狀態(tài)．以1表示元件正常，0表示元件失效，則樣本空間為Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.新課學(xué)習(xí)（2）用集合的形式表示事件A,B以及它們的對(duì)立事件；根據(jù)題意，可得新課學(xué)習(xí)A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)},新課學(xué)習(xí)例2

一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球（標(biāo)號(hào)為1和2），2個(gè)綠色球（標(biāo)號(hào)為3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．設(shè)事件

R1=＂第一次摸到紅球＂，R2=＂第二次摸到紅球＂，R=＂兩次都摸到紅球＂，G=＂兩次都摸到綠球＂，M=＂兩個(gè)球顏色相同＂，N=＂兩個(gè)球顏色不同＂．（1）用集合的形式分別寫出試驗(yàn)的樣本空間以及上述各事件；所有的試驗(yàn)結(jié)果如圖所示．用數(shù)組(x1

,x2

）表示可能的結(jié)果，x1

是第一次摸到的球的標(biāo)號(hào)，x2

是第二次摸到的球的標(biāo)號(hào)，則試驗(yàn)的樣本空間Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.新課學(xué)習(xí)（1）用集合的形式分別寫出試驗(yàn)的樣本空間以及上述各事件；事件

R1=＂第一次摸到紅球＂，即x1=1或2，于是R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)};事件R2=＂第二次摸到紅球＂，即x2=1或2，于是R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}.同理，有R={(1,2),(2,1)}M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)},N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)})新課學(xué)習(xí)因?yàn)?/p>

R?R1，所以事件R1包含事件R

；因?yàn)?/p>

R∩G=?，所以事件R與事件G互斥；因?yàn)?/p>

M∪N=Ω，M∩N=?

，所以事件M與事件

N

互為對(duì)立事件．（2）事件R與

R1，R與G，M與N之間各有什么關(guān)系？新課學(xué)習(xí)因?yàn)镽∪G=M

，所以事件M是事件R與事件G的并事件；因?yàn)镽1∩R2=R

，所以