四川外國語大學(xué)附屬中學(xué)屆高三（上）月月考（四）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效.試卷由整理排版考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.85分每題給出的四個(gè)選項(xiàng)，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，則集合的元素個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合新定義計(jì)算即可求解.【詳解】若，，則可能為，所以的元素個(gè)數(shù)為3.故選：C.2.若，則的虛部為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的周期性化簡，再利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡求出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?頁/共17頁所以，所以的虛部為，故選：D.3.已知平面內(nèi)的向量在向量上的投影數(shù)量為，且，則的值為（）A.B.1C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量投影概念和模長公式進(jìn)行推算即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得向量在向量上的投影數(shù)量為：，又，，所以，所以，故選：A.4.從分別寫有123456的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】方法一：先列舉出所有情況，再從中挑出數(shù)字之積是4的倍數(shù)的情況，由古典概型求概率即可.從6張卡片中無放回抽取2張，共有15種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有6種情況，故概率為.[方法二]：有序從6張卡片中無放回抽取2張，共有第2頁/共17頁,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12種情況，故概率為.故選：C.【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：將抽出的卡片看成一個(gè)組合，再利用古典概型的概率公式解出，是該題的最優(yōu)解；方法二：將抽出的卡片看成一個(gè)排列，再利用古典概型的概率公式解出；5..如圖為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段，作一個(gè)等邊三角形，然后以點(diǎn)B為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段的延長線于點(diǎn)DC為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段的延長線于點(diǎn)EA為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧“蚊香”恰好有15段圓弧時(shí)，“蚊香”的長度為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用扇形弧長公式及等差數(shù)列求和公式計(jì)算即可.【詳解】由題意每段圓弧的中心角都是，每段圓弧的半徑依次增加1，則第段圓弧的半徑為，弧長記為，則，所以.故選：D．6.在中，記角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則的形狀是（）第3頁/共17頁A等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由正弦定理得，進(jìn)一步討論得或即可判斷.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以符?hào)相同，若，則，而這會(huì)導(dǎo)致，這與三角形內(nèi)角和矛盾，從而只能，所以，所以或，所以或,所以的形狀是等腰三角形或直角三角形.故選：D.7.定義在上的函數(shù)滿足，；且當(dāng)時(shí)，．則方程所有的根之和為（）A.6B.12C.14D.10【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱且一個(gè)周期為4，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)分析單調(diào)性，從而畫出簡圖，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解零點(diǎn)和即可.【詳解】∵，∴為奇函數(shù)，又∵，∴的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．由，即有，第4頁/共17頁由可得，，所以的圖象關(guān)于中心對(duì)稱．函數(shù)的簡圖如下：其中，由，∴所有實(shí)根之和為.故選：D．【點(diǎn)睛】本題求零點(diǎn)之和需要掌握的方法：（1）函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用：根據(jù)條件中函數(shù)滿足的關(guān)系式推導(dǎo)函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性和在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，并運(yùn)用性質(zhì)求零點(diǎn)和；（2）數(shù)形結(jié)合：根據(jù)給定區(qū)間的函數(shù)解析式作圖，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)補(bǔ)全剩余圖象；8.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，若，，則下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，結(jié)合題意對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可.【詳解】設(shè)，則．已知，所以，則在上單調(diào)遞增．設(shè)，則．第5頁/共17頁已知，所以，則在上單調(diào)遞減．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．對(duì)于A，，所以，，，，則，，即，無法確定，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以，，，，則，即，，即，所以，無法確定，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以，，，．則，即，，即，所以，故C正確；對(duì)于D，，所以，又因?yàn)?，則，所以，無法確定，故D錯(cuò)誤.故選：C．36分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.9.一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體表面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，拋擲該正四面體兩次，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為偶數(shù)”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列說法正確的是（）A.B.事件A和事件B互為對(duì)立事件C.D.事件A和事件B相互獨(dú)立【答案】CD第6頁/共17頁【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的定義以及條件概率對(duì)有關(guān)選項(xiàng)作相應(yīng)的分析和計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A，，可得A錯(cuò)誤；對(duì)于B，事件B第一次向下的數(shù)字為偶數(shù)，第二次向下的數(shù)字為奇數(shù)，就可以使得兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)，可知事件A和事件B不是對(duì)立事件，可得B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，可得，可得C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由，可得，可知事件A和事件B相互獨(dú)立，可得D正確；故選：CD.10.已知函數(shù)，則下列命題正確的有（）A.若是曲線的一條對(duì)稱軸，則的最小值為B.若在上有且只有一個(gè)最小值點(diǎn)，則的取值范圍是C.將的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，若為偶函數(shù)，則的最小值為D.若在上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的范圍為【答案】ACD【解析】【分析】先將函數(shù)化簡為正弦型函數(shù)的形式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)逐一求解即可.【詳解】由已知．第7頁/共17頁解得．，當(dāng)時(shí)，有最小值為，故A正確；對(duì)于B，由題意知，當(dāng)時(shí)，，在上有且只有一個(gè)最小值點(diǎn)，或，解得或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，向左平移個(gè)單位長度后，得到，若為偶函數(shù)，則，，解得，，，當(dāng)時(shí)，有最小值為，故C正確；對(duì)于D，時(shí)，，若在上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則，解得，故D正確．故選：ACD．設(shè)無窮數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A.B.C.不等式的解集為第8頁/共17頁【答案】BCD【解析】且差數(shù)列的求和公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由，可得，且，即又由，可得數(shù)列是等差數(shù)列，公差，所以是遞減數(shù)列，所以是最大項(xiàng)，且隨著的增加，無限減小，即，所以A錯(cuò)誤、D正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，所以B正確；因?yàn)?，且，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以C正確.故選：BCD.三，填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知，則______.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)求項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】的通項(xiàng)為，所以展開式中的系數(shù)為，的通項(xiàng)為，所以展開式中的系數(shù)為，所以.第9頁/共17頁故答案為：3.13.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，各項(xiàng)不等的數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，且，則______________．【答案】1【解析】【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可列式求解．【詳解】解：由已知可得，，，，再由，，得，，聯(lián)立以上兩式可得：，，即．故答案為：1．14.設(shè)函數(shù)，若存在使得既是的零點(diǎn)，也是的極值點(diǎn)，則的可能取值為______________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，令導(dǎo)數(shù)為零，討論方程的根，再根據(jù)零點(diǎn)的定義即可求值.【詳解】由，得，令，則或，當(dāng)時(shí)，由，得，所以，則，當(dāng)時(shí)，由，得，由，得或，當(dāng)時(shí)，不存極值點(diǎn)，第10頁/共17頁綜上，，所以當(dāng)時(shí)，故答案為：（答案不唯一）.四，解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求的最大值以及取得最大值時(shí)的值；（2）求在上的增區(qū)間．【答案】（1）最大值為，，（2）【解析】1的最大值以及取得最大值時(shí)的值；（2）用整體代入法求得函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間．【小問1詳解】.因?yàn)楫?dāng)，即時(shí)，取得最大值1.所以當(dāng)，時(shí)，取得最大值.故的最大值為，取得最大值時(shí)的值為，；【小問2詳解】第11頁/共17頁由，可得，.令，則當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減.所以函數(shù)在單調(diào)遞增.所以函數(shù)在上的增區(qū)間為.16.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與平行．（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值.【答案】（12（2在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極小值為大值【解析】1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得，可求的值.（2）先求導(dǎo)函數(shù)，由正負(fù)得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的極值.【小問1詳解】因?yàn)椋裕深}意．【小問2詳解】因?yàn)椋裕桑挥桑?2頁/共17頁所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，且，無極大值．17.若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足（為“比差等數(shù)列”.已知為“比差等數(shù)列”，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】1）利用“比差等數(shù)列”的定義可得，令，則為常數(shù)列，可得，可求的通項(xiàng)公式；（2）分為奇數(shù)與偶數(shù)兩種情況求解可得數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問1詳解】由為“比差等數(shù)列”，得，從而.設(shè)，則，所以數(shù)列為等差數(shù)列.第13頁/共17頁所以為常數(shù)列，因此，，即，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，因此.【小問2詳解】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.綜上，.18.已知銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，．（1）求；（2）若角的平分線交于點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】1）利用正弦定理邊化角可求得，由此可得；第14頁/共17頁式求得的取值范圍.【小問1詳解】，，由正弦定理得：，，，，，.【小問2詳解】；由正弦定理得：；，，，，即，，解得：，即的取值范圍為.19.某校開展“陽光體育節(jié)”“定點(diǎn)踢足球”每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0第15頁/共17頁（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為，求的數(shù)學(xué)期望；（2）若經(jīng)過輪踢球，用表示經(jīng)過第輪踢球累計(jì)得分后乙得分高于甲得分的概率．①求，，；②規(guī)定，，的值求出A、的通項(xiàng)公式．【答案】（1）（2）①，，；②，；【解析】1）根據(jù)題意可能取值為，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，然后求出的分布列及期望即可；（2）①結(jié)合題意求出；②根據(jù)題意求出的值，再利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.【小問1詳