第一節(jié)質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩一、質(zhì)點的動量矩設(shè)質(zhì)點Q某瞬時的動量為mv，質(zhì)點相對點O的位置用矢徑r表示，如圖11-1所示。質(zhì)點Q的動量對于點O的矩，定義為質(zhì)點對于O點的動量矩，即質(zhì)點對于O點的動量矩是矢量，它垂直于r與mv組成的平面，其指向按右手規(guī)則確定，作用在點O，其大小為△OQA面積的兩倍。質(zhì)點動量mv在Oxy平面內(nèi)的投影(mv)xy對于點O的矩，定義為質(zhì)點動量對定軸z的矩，簡稱為對定軸z的動量矩。上一頁下一頁返回第一節(jié)質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩對定軸的動量矩是代數(shù)量，由圖11-1可見，質(zhì)點對定點的動量矩和對定軸的動量矩與力對定點和對定軸的矩相似，質(zhì)點對定點O的動量矩矢在通過該點的某一固定軸z上的投影等于質(zhì)點的動量對該固定軸z的動量矩，即動量矩是度量物體在任一瞬時繞固定點（或軸）轉(zhuǎn)動強弱程度的物理量。動量矩的國際制單位為kg·m2/s。二、質(zhì)點系的動量矩質(zhì)點系對某定點O的動量矩等于各質(zhì)點對同一點O的動量矩的矢量和，或稱為質(zhì)點系動量對點O的主矩，即上一頁下一頁返回第一節(jié)質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩質(zhì)點系對某定軸z的動量矩等于各質(zhì)點對同一軸動量矩的代數(shù)和，即即質(zhì)點系對某定點O的動量矩矢在通過該點的z軸上的投影等于質(zhì)點系對于該軸的動量矩。上一頁返回第二節(jié)質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩定理一、質(zhì)點的動量矩定理設(shè)質(zhì)點對定點O的動量矩為MO(mv)，作用力F對同一點的矩為MO(F)，如圖11-5所示。將式（11-1）對時間求一次導數(shù)，有式（11-11）為質(zhì)點的動量矩定理，即質(zhì)點對某定點O的動量矩對時間的一階導數(shù)等于作用于質(zhì)點上的力對該點的力矩。下一頁返回第二節(jié)質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩定理取式（11-11）的投影式，并利用對點的動量矩與對軸的動量矩的關(guān)系，得即質(zhì)點對某定軸的動量矩對時間的一階導數(shù)等于作用于質(zhì)點上的力對于同一軸的矩的代數(shù)和。質(zhì)點的動量矩守恒：如果作用于質(zhì)點的力對某定點O（或某定軸）的矩恒等于零，則由式（11-11）和式（11-12）可知，質(zhì)點對該點（或該軸）的動量矩保持不變，即上一頁下一頁返回第二節(jié)質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩定理這一結(jié)論稱為質(zhì)點動量矩守恒定律。二、質(zhì)點系的動量矩定理設(shè)質(zhì)點系內(nèi)有n個質(zhì)點，對于任意質(zhì)點Mi

有上一頁下一頁返回第二節(jié)質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩定理式（11-13）為質(zhì)點系動量矩定理，即質(zhì)點系對某定點O的動量矩對時間的一階導數(shù)等于作用于質(zhì)點系的外力對該點的矩的矢量和。具體應用時，常取其在直角坐標系上的投影式，即上一頁下一頁返回第二節(jié)質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩定理質(zhì)點系動量定理的投影形式表明，質(zhì)點系對某定軸的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的所有外力對該軸的矩的代數(shù)和。質(zhì)點系動量矩守恒：如果質(zhì)點系所受的外力對某定點O（或某定軸）的矩恒等于零，則由式（11-13）、式（11-14）可知，質(zhì)點系對該點或該軸的動量矩保持不變，即這一結(jié)論稱為質(zhì)點系動量矩守恒定律。從以上討論可知，質(zhì)點系的動量矩對時間的改變率只與外力有關(guān)，而內(nèi)力是不可能改變整個質(zhì)點系的動量矩的。例如，人坐在轉(zhuǎn)椅上，雙腳離地，僅用兩手轉(zhuǎn)動扶手是不可能使整個質(zhì)點系——人體與轉(zhuǎn)椅對轉(zhuǎn)軸的動量矩發(fā)生改變的。上一頁返回第三節(jié)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程設(shè)剛體繞固定軸z轉(zhuǎn)動，角速度為，作用于剛體上的外力有主動力及軸承約束力，受力如圖11-10所示。根據(jù)式（11-9）可知，剛體繞z軸的動量矩為下一頁返回第三節(jié)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程式（11-15）和式（11-16）為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程，即剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體的所有外力對該軸之矩的代數(shù)和。由于約束力對z軸的力矩為零，因此方程中只需考慮主動力的矩。由剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程可知：（1）如果作用于剛體的主動力對轉(zhuǎn)軸的矩的代數(shù)和不等于零，則剛體的運動狀態(tài)一定會發(fā)生改變。上一頁下一頁返回第三節(jié)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程（2）如果作用于剛體的主動力對轉(zhuǎn)軸的矩的代數(shù)和等于零，則剛體做勻速轉(zhuǎn)動；如果主動力對轉(zhuǎn)軸的矩的代數(shù)和為恒量，則剛體做勻變速運動。（3）在一定時間間隔內(nèi)，當主動力對轉(zhuǎn)軸的矩一定時，剛體的轉(zhuǎn)動慣量越大，其轉(zhuǎn)動狀態(tài)變化越??；轉(zhuǎn)動慣量越小，其轉(zhuǎn)動狀態(tài)變化越大。因此，轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性的度量。上一頁返回第四節(jié)剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量，定義為剛體內(nèi)各質(zhì)點的質(zhì)量與該點到轉(zhuǎn)軸距離的平方的乘積之和，其表達式為轉(zhuǎn)動慣量是剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣性大小的度量，表征了剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的難易程度。在工程實際中，常常需要根據(jù)某構(gòu)件的工作狀態(tài)來確定它的轉(zhuǎn)動慣量。例如，在某些機器（如沖床、剪床等）的轉(zhuǎn)軸上安裝有飛輪，設(shè)計飛輪時往往將輪緣加厚或把中間挖去一部分，使得飛輪的轉(zhuǎn)動慣量比較大，當機器受到?jīng)_擊性載荷時，使其獲得比較平穩(wěn)的運轉(zhuǎn)狀態(tài)；相反，在設(shè)計儀表中的轉(zhuǎn)動構(gòu)件時，必須使其具有盡可能小的轉(zhuǎn)動慣量，提高儀表的精確度和靈敏性。下一頁返回第四節(jié)剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量恒為正值，它與剛體質(zhì)量的大小及其分布情況有關(guān)，與剛體的運動無關(guān)。在國際單位制中其單位為kg·m2

。下面介紹計算剛體轉(zhuǎn)動慣量的幾種方法。一、簡單形狀的均質(zhì)剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算1．均質(zhì)細桿長為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)細長桿，如圖11-13所示，過質(zhì)心C且與桿的軸線相垂直的z軸的轉(zhuǎn)動慣量為上一頁下一頁返回第四節(jié)剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量2．均質(zhì)薄圓環(huán)半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)薄圓環(huán)，如圖11-14所示，過中心O與圓環(huán)平面相垂直的z軸的轉(zhuǎn)動慣量為3．均質(zhì)薄圓盤半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)薄圓盤，如圖11-15（a）所示，下面求過中心O與圓盤平面相垂直的z軸的轉(zhuǎn)動慣量。圖11-15（a）中所示圓環(huán)的質(zhì)量為于是整個圓盤對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量為上一頁下一頁返回第四節(jié)剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量一般簡單形狀的均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動慣量可以從有關(guān)手冊中查到，也可用上述方法計算。表11-1列出常見均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量和回轉(zhuǎn)半徑。上一頁下一頁返回第四節(jié)剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量二、回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑）剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量可表示為質(zhì)量與回轉(zhuǎn)半徑的平方的乘積，即上一頁下一頁返回第四節(jié)剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量三、轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理定理：剛體對任一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對通過質(zhì)心，并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積，即上一頁下一頁返回第四節(jié)剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量定理證畢。由平行軸定理可知，剛體對于諸多平行軸，以通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量最小。四、求轉(zhuǎn)動慣量的組合法例11-8鐘擺簡化如圖所示。已知均質(zhì)細桿和均質(zhì)圓盤的質(zhì)量分別為m1

和m2

，桿長為l，圓盤直徑為d。求擺對于通過懸掛點O并與鐘擺所在的平面垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量。上一頁下一頁返回第四節(jié)剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量五、求轉(zhuǎn)動慣量的實驗方法工程中對于幾何形狀復雜的剛體，常用實驗的方法測定其轉(zhuǎn)動慣量。常用的方法有扭轉(zhuǎn)振動法、復擺法、落體觀測法等。下面以復擺法和落體觀測法為例加以說明。上一頁返回第五節(jié)質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理前面闡述的動量矩定理只能以慣性參考系中的固定點或固定軸為矩心。對于一般的動點或動軸，動量矩定理具有較復雜的形式。然而，對于質(zhì)點系的質(zhì)心或通過質(zhì)心的動軸，動量矩定理仍保持其簡單的形式。一、質(zhì)點系相對于固定點O與相對于質(zhì)心C的動量矩之間的關(guān)系如圖11-21所示，O為定點，C為質(zhì)點系的質(zhì)心，以C為坐標原點建一平動參考系，質(zhì)點系中任一質(zhì)點mi的絕對速度為vi，相對速度為vir

，則質(zhì)點系對于定點O與相遇對質(zhì)心O的動量矩分別為下一頁返回第五節(jié)質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理圖11-21中C為質(zhì)點系的質(zhì)心，有上一頁下一頁返回第五節(jié)質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理式（11-21）表明：質(zhì)點系對任意點的動量矩，等于質(zhì)點系對質(zhì)心的動量矩，與將質(zhì)點系的動量集中于質(zhì)心對O點的動量矩的矢量和。二、質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點系相對于固定點O的動量矩可寫成：上一頁下一頁返回第五節(jié)質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理式（11-22）為質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理，即質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對質(zhì)心的主矩。該定理在形式上與質(zhì)點系對于固定點的動量矩定理具有相似的數(shù)學形式，而對于質(zhì)心以外的其他動點，一般并不存在這種簡單的關(guān)系，可見質(zhì)心在力學中的特殊性。上一頁返回第六節(jié)剛體平面運動微分方程面應用質(zhì)心運動定理和質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理來研究剛體的平面運動。剛體的平面運動可簡化為具有相同質(zhì)量的平面圖形在固定平面內(nèi)的運動，如圖11-22所示，而質(zhì)心C位于平面圖形內(nèi)，作用在剛體上的力有F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n

，坐標系Cx'y'隨質(zhì)心平動。如果選質(zhì)心C為基點，則剛體的平面運動可分解為隨質(zhì)心的平動與繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。剛體在相對運動中對質(zhì)心的動量矩為下一頁返回第六節(jié)剛體平面運動微分方程應用質(zhì)心運動定理和相對質(zhì)心動量矩定理得式（11-24）稱為剛體平面運動微分