中考2025年大慶市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷共8頁、28題、120分．考試時(shí)間120分鐘，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．2．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)在試卷、答題卡相應(yīng)位置填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在答題卡條形碼區(qū)域內(nèi)．3．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚．4．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效：在草稿紙、試卷上答題無效．5．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑．6．保持答題卡清潔，不要折疊、弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀．一、選擇題：本題10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求．1.的絕對(duì)值是（）A.2025 B. C. D.2.某學(xué)校開展了“共走平安路”交通安全主題教育活動(dòng)．以下交通標(biāo)識(shí)圖形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.3.近年來我國電影行業(yè)發(fā)展迅速，電影《哪吒之魔童鬧?！凤L(fēng)靡全球，據(jù)統(tǒng)計(jì)，截至2025年5月底，其票房達(dá)到約150億元．?dāng)?shù)科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.4.由若干大小相同的小立方塊搭成的幾何體如圖所示，則該幾何體的主視圖為（）A. B.C. D.5.一個(gè)圓錐的底面半徑為3，高為2，則它的體積為（）A. B. C. D.6.下列說法正確的是（）A.調(diào)查某種燈泡的使用壽命最適合采用普查的方式B.64的平方根為8C.若一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都是，那么這個(gè)多邊形是正五邊形D.甲、乙兩人在相同的條件下各射擊8次，他們射擊成績的平均數(shù)相同，方差分別是，，則乙的射擊成績較穩(wěn)定7.如圖，中，，，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)B，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D．點(diǎn)E連接．點(diǎn)D恰好落在線段上，則的長為（）A. B.4 C. D.68.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A．將正比例函數(shù)的圖象向上平移個(gè)單位后得到的圖象與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C．過點(diǎn)C作x軸的垂線，與x軸交于點(diǎn)D．線段與交于點(diǎn)E，點(diǎn)E為中點(diǎn)，則k的值為（）A. B.1 C. D.29.如圖，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊以的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)H從點(diǎn)B開始沿邊以的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊以的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P，點(diǎn)H和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另兩點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)時(shí)，t的值為（）A. B.4 C. D.10.如圖，在正方形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段上，，連接．過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作線段的垂線，垂足分別為G，H．動(dòng)點(diǎn)P在內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，四邊形，，，，的面積分別為，，，，．若點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中始終滿足，則滿足條件的所有點(diǎn)P組成的圖形長度為（）A.2 B. C.4 D.二、填空題：本題8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．11.函數(shù)的自變量的取值范圍是______．12.因式分解：x2﹣x=______．13.寫出一個(gè)圖象與y軸正半軸相交，且y的值隨x值增大而增大的一次函數(shù)表達(dá)式______．14.不等式組的整數(shù)解有_______個(gè)．15.2025年國產(chǎn)AI大模型的爆火，引發(fā)了全球科技界的廣泛關(guān)注．若小慶同學(xué)從“豆包”、“騰訊元寶”、“即夢(mèng)AI”、“文心一言”四種應(yīng)用軟件中隨機(jī)選取兩種進(jìn)行學(xué)習(xí)，則小慶同學(xué)選取的兩種軟件為“豆包”和“騰訊元寶”的概率為________．16.如圖，中，，，．在和上分別截取，，使．分別以M，N為圓心、以大于長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)F．作射線交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D到的距離為_____．17.如圖，四邊形是正方形，．執(zhí)行下面操作：第一次操作以點(diǎn)A為圓心，以為半徑順時(shí)針作弧交延長線于點(diǎn)E，得到扇形；第二次操作以點(diǎn)B為圓心，以為半徑順時(shí)針作弧交的延長線于點(diǎn)F，得到扇形；第三次操作以點(diǎn)C為圓心，以為半徑順時(shí)針作弧交的延長線于點(diǎn)G，得到扇形，依此類推進(jìn)行操作，其中，、、，…的圓心依次按A，B，C，D循環(huán)，所得曲線叫做“正方形的漸開線”，則經(jīng)過四次操作后所得到的四個(gè)扇形的面積和為_______．（結(jié)果保留π）18.定義：若點(diǎn)，點(diǎn)都在同一函數(shù)圖象上，則稱點(diǎn)A和點(diǎn)為該函數(shù)一組“奇對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”，記為．規(guī)定：與為同一組“奇對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”．例如：點(diǎn)和點(diǎn)都在一次函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)B和點(diǎn)為一次函數(shù)的一組“奇對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”，記為．下列說法正確的序號(hào)為______．①點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)A和點(diǎn)為二次函數(shù)的一組“奇對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”；②反比例函數(shù)有無數(shù)組“奇對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”；③點(diǎn)，點(diǎn)，若為函數(shù)的一組“奇對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”，則，；④由函數(shù)在范圍內(nèi)的圖象與函數(shù)在范圍內(nèi)的圖象組成一個(gè)新的函數(shù)圖象，將該圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)記為w函數(shù)，其解析式可寫為．若w函數(shù)有兩組“奇對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”，則k的取值范圍是．三、解答題：本題10小題，共66分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、計(jì)算過程、證明過程．19.求值：．20.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．21.某公司開發(fā)了兩款模型，分別為模型A和模型B．由于工作需要，公司同時(shí)使用這兩款模型處理數(shù)據(jù)．已知模型B比模型A每小時(shí)多處理數(shù)據(jù)，模型B處理數(shù)據(jù)的時(shí)間與模型A處理數(shù)據(jù)的時(shí)間相同，求模型A每小時(shí)能處理多少數(shù)據(jù)？（備注：為數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)單位）22.數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，兩個(gè)興趣小組要合作測(cè)量樓房高度．如圖，第一小組用無人機(jī)在離地面40米高的點(diǎn)D處，測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角為45度，測(cè)得樓頂C處的俯角為30度（點(diǎn)A，B，C，D都在同一平面內(nèi)，無人機(jī)在點(diǎn)A和樓房之間的點(diǎn)D處測(cè)量）；第二小組人工測(cè)量得到點(diǎn)A和大樓之間的水平距離米．請(qǐng)根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出樓房高度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）．23.開展航空航天教育對(duì)提升青少年的科學(xué)素養(yǎng)有重要的意義．某學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行了航空航天科普教育并組織全校學(xué)生參加航空航天知識(shí)競(jìng)賽，每個(gè)學(xué)生回答10道問題，每題10分，賽后發(fā)現(xiàn)所有學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽成績不低于70分，為了更好地了解本次知識(shí)競(jìng)賽的成績分布情況，從所有學(xué)生答題成績中隨機(jī)抽取部分學(xué)生答題成績作為樣本進(jìn)行整理，繪制條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖．部分信息如下：請(qǐng)根據(jù)以上信息，完成下列問題：（1）①此次抽查的學(xué)生總數(shù)為_______；②請(qǐng)補(bǔ)全抽取學(xué)生成績條形統(tǒng)計(jì)圖；③條形統(tǒng)計(jì)圖中學(xué)生競(jìng)賽成績得分的眾數(shù)為_________分；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中：______，得分為“100分”這一項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的圓心角是_____度；（3）已知該校共有3000名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該校得分不低于90分的學(xué)生有多少名？24.如圖．在四邊形中，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)．點(diǎn)B，點(diǎn)D關(guān)于所在直線對(duì)稱．（1）求證：四邊形是菱形；（2）過點(diǎn)D作的垂線交延長線于點(diǎn)E．若，，求線段長．25.為推進(jìn)我市“紅色研學(xué)”文化旅游發(fā)展，大慶博物館新推出A，B兩種文創(chuàng)紀(jì)念品．已知2個(gè)A紀(jì)念品和3個(gè)B紀(jì)念品的成本之和是155元；4個(gè)A紀(jì)念品和1個(gè)B紀(jì)念品的成本之和是135元．一套紀(jì)念品由一個(gè)A紀(jì)念品和一個(gè)B紀(jì)念品組成．規(guī)定：每套紀(jì)念品的售價(jià)不低于65元且不高于72元（每套售價(jià)為整數(shù)）．如果每套紀(jì)念品的售價(jià)為72元，那么每天可銷售80套．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每套紀(jì)念品的售價(jià)每降價(jià)1元，其銷售量相應(yīng)增加10套．設(shè)每天的利潤為W（元），每套紀(jì)念品的售價(jià)為a元（且a為整數(shù)）．（1）分別求出每個(gè)A紀(jì)念品和每個(gè)B紀(jì)念品的成本；（2）求當(dāng)a為何值時(shí)，每天的利潤W最大．26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，，點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，為等邊三角形，延長與反比例函數(shù)的圖象在第三象限交于點(diǎn)C．連接并延長與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點(diǎn)D．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求點(diǎn)D坐標(biāo)及的面積；（3）在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以A，D，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．27.如圖，為外接圓的直徑，點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)（不與D，O重合），點(diǎn)B為的延長線上一點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)M，滿足．（1）求證：平分；（2）證明：；（3）若射線與相切于點(diǎn)A，，，求的值．28.如圖，已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為軸，且過坐標(biāo)原點(diǎn)及點(diǎn)，過點(diǎn)作射線平行于軸（點(diǎn)在點(diǎn)上方），點(diǎn)坐標(biāo)為，連接并延長交拋物線于點(diǎn)，射線平分，過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）判斷直線與二次函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；（3）點(diǎn)為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且為鈍角，請(qǐng)直接寫出實(shí)數(shù)的取值范圍．

2025年大慶市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷共8頁、28題、120分．考試時(shí)間120分鐘，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．2．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)在試卷、答題卡相應(yīng)位置填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在答題卡條形碼區(qū)域內(nèi)．3．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚．4．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效：在草稿紙、試卷上答題無效．5．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑．6．保持答題卡清潔，不要折疊、弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀．一、選擇題：本題10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求．1.的絕對(duì)值是（）A.2025 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查絕對(duì)值．負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，據(jù)此即可求得答案．【詳解】解：的絕對(duì)值是2025，故選：A．2.某學(xué)校開展了“共走平安路”交通安全主題教育活動(dòng)．以下交通標(biāo)識(shí)圖形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的識(shí)別．根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．【詳解】解：A、是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意；B、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意；C、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意；D、既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，本選項(xiàng)符合題意；故選：D．3.近年來我國電影行業(yè)發(fā)展迅速，電影《哪吒之魔童鬧?！凤L(fēng)靡全球，據(jù)統(tǒng)計(jì)，截至2025年5月底，其票房達(dá)到約150億元．?dāng)?shù)科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．【詳解】解：數(shù)科學(xué)記數(shù)法表示為．故選：B．4.由若干大小相同的小立方塊搭成的幾何體如圖所示，則該幾何體的主視圖為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查三視圖．根據(jù)主視圖是從前面看到的圖形，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：題中幾何體的主視圖為：故選：D．5.一個(gè)圓錐的底面半徑為3，高為2，則它的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查圓錐的體積．根據(jù)圓錐的體積=×底面積×高，即可求解．【詳解】解：∵圓錐的底面半徑為3，高為2，∴它的體積，故選：B．6.下列說法正確的是（）A.調(diào)查某種燈泡的使用壽命最適合采用普查的方式B.64的平方根為8C.若一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都是，那么這個(gè)多邊形是正五邊形D.甲、乙兩人在相同的條件下各射擊8次，他們射擊成績的平均數(shù)相同，方差分別是，，則乙的射擊成績較穩(wěn)定【答案】C【解析】【分析】本題考查了普查與抽樣調(diào)查，平方根，多邊形的內(nèi)角和與外角和，方差的意義．根據(jù)普查與抽樣調(diào)查，平方根，多邊形的內(nèi)角和與外角和，方差的意義，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：A、調(diào)查某種燈泡的使用壽命，具有破壞性，其范圍廣，最適宜采用抽樣調(diào)查的方式，故原說法不正確，該選項(xiàng)不符合題意；B、64的平方根為，故原說法不正確，該選項(xiàng)不符合題意；C、∵一個(gè)正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都是，∴每一個(gè)外角都是，∵多邊形的外角和為，∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為，即這個(gè)多邊形是正五邊形，故原說法正確，該選項(xiàng)符合題意；D、甲、乙兩人在相同的條件下各射擊8次，他們射擊成績的平均數(shù)相同，方差分別是，，，則甲的成績較穩(wěn)定，故原說法不正確，該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．7.如圖，中，，，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)B，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D．點(diǎn)E連接．點(diǎn)D恰好落在線段上，則的長為（）A. B.4 C. D.6【答案】B【解析】【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，由等腰三角形的性質(zhì)得；再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，從而得，故可得，從而可求出結(jié)論．【詳解】解：在中，，∴；由旋轉(zhuǎn)可知，∴，由旋轉(zhuǎn)得：，∴，∴，∴，故選：B．8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A．將正比例函數(shù)的圖象向上平移個(gè)單位后得到的圖象與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C．過點(diǎn)C作x軸的垂線，與x軸交于點(diǎn)D．線段與交于點(diǎn)E，點(diǎn)E為中點(diǎn)，則k的值為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)E為中點(diǎn)，求得點(diǎn)E的坐標(biāo)為，由平移的性質(zhì)求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為，再利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】解：聯(lián)立得，解得（舍去負(fù)值），∴，則，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)E為中點(diǎn)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，由題意得，，∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，∴，解得，故選：C．9.如圖，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊以的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)H從點(diǎn)B開始沿邊以的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊以的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P，點(diǎn)H和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另兩點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)時(shí)，t的值為（）A. B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．由題意得，，，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，再利用，列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：作于點(diǎn)，如圖，∵矩形，∴四邊形是矩形，∴，由題意得，，，∴，∵，，∴，∵，∴，解得，故選：D．10.如圖，在正方形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段上，，連接．過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作線段的垂線，垂足分別為G，H．動(dòng)點(diǎn)P在內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，四邊形，，，，的面積分別為，，，，．若點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中始終滿足，則滿足條件的所有點(diǎn)P組成的圖形長度為（）A.2 B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)，勾股定理以及點(diǎn)的軌跡，由正方形的性質(zhì)得，求出，，求出，根據(jù)圖形得，根據(jù)得，可得點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是中平行于的一條線段，取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，根據(jù)三角形面積公式求出，得到，從而求出．【詳解】解：如圖，在正方形中，，，；∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴∵，∴由勾股定理得，，，∴，∴，∴，又，∴四邊形是矩形，∴，又而，∴，∵動(dòng)點(diǎn)P在內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是內(nèi)部及邊界上平行于的一條線段，則是等腰直角三角形，如圖，取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則，∵，∴，∴，∴，即點(diǎn)P組成的圖形長度為2，故選：A．二、填空題：本題8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．11.函數(shù)的自變量的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍問題，解一元一次不等式，函數(shù)自變量的范圍一般從三個(gè)方面考慮：(1)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù)；(2)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；(3)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)．根據(jù)二次根式的意義，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，得到關(guān)于的一元一次不等式，再解不等式即可．【詳解】解：由題意得，，解得：，故答案為：．12.因式分解：x2﹣x=______．【答案】x（x﹣1）【解析】【詳解】分析：提取公因式x即可．詳解：x2?x＝x（x?1）．故答案為x（x?1）．點(diǎn)解：本題主要考查提公因式法分解因式，準(zhǔn)確找出公因式是解題的關(guān)鍵．13.寫出一個(gè)圖象與y軸正半軸相交，且y的值隨x值增大而增大的一次函數(shù)表達(dá)式______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．設(shè)一次函數(shù)解析式，根據(jù)題意可得，即可寫出符合題意的一次函數(shù)解析式．【詳解】解：設(shè)一次函數(shù)解析式，當(dāng)時(shí)，，∴與y軸交點(diǎn)為，∵圖象與y軸正半軸相交，且y的值隨x值增大而增大，∴，∴解析式可以為：，故答案為：（答案不唯一）．14.不等式組的整數(shù)解有_______個(gè)．【答案】2【解析】【分析】本題考查的是解一元一次不等式組的整數(shù)解．分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集，找出整數(shù)解即可得答案．【詳解】解：，解不等式，得，解不等式，得，原不等式組的解集為，原不等式組的整數(shù)解為3，2共2個(gè)．故答案為：2．15.2025年國產(chǎn)AI大模型的爆火，引發(fā)了全球科技界的廣泛關(guān)注．若小慶同學(xué)從“豆包”、“騰訊元寶”、“即夢(mèng)AI”、“文心一言”四種應(yīng)用軟件中隨機(jī)選取兩種進(jìn)行學(xué)習(xí)，則小慶同學(xué)選取的兩種軟件為“豆包”和“騰訊元寶”的概率為________．【答案】【解析】【分析】本題考查列表法或畫樹狀圖求概率．根據(jù)題意記“豆包”、“騰訊元寶”、“即夢(mèng)AI”、“文心一言”分別用字母A，B，，表示，列出表格表示出所有等可能的結(jié)果，再找出恰好選中“豆包”和“騰訊元寶”的結(jié)果，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【詳解】解：記“豆包”、“騰訊元寶”、“即夢(mèng)AI”、“文心一言”分別用字母A，B，，表示，根據(jù)題意可列出表格如下：第一個(gè)第二個(gè)AA————由表可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選中“豆包”和“騰訊元寶”的有2種結(jié)果，小慶同學(xué)恰好選中“豆包”和“騰訊元寶”的概率為．故答案為：．16.如圖，中，，，．在和上分別截取，，使．分別以M，N為圓心、以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)F．作射線交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D到的距離為_____．【答案】##【解析】【分析】本題考查了角平分線的作法和角平分線的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)．由作圖可知，平分，求得，，解直角三角形即可求解．【詳解】解：作于點(diǎn)，則點(diǎn)D到的距離為的長，由作圖可知，平分，∵，∴，∵中，，，∴，∵，∴，∴．故答案為：．17.如圖，四邊形是正方形，．執(zhí)行下面操作：第一次操作以點(diǎn)A為圓心，以為半徑順時(shí)針作弧交的延長線于點(diǎn)E，得到扇形；第二次操作以點(diǎn)B為圓心，以為半徑順時(shí)針作弧交的延長線于點(diǎn)F，得到扇形；第三次操作以點(diǎn)C為圓心，以為半徑順時(shí)針作弧交的延長線于點(diǎn)G，得到扇形，依此類推進(jìn)行操作，其中，、、，…的圓心依次按A，B，C，D循環(huán)，所得曲線叫做“正方形的漸開線”，則經(jīng)過四次操作后所得到的四個(gè)扇形的面積和為_______．（結(jié)果保留π）【答案】【解析】【分析】本題考查了扇形的面積．先求得前三個(gè)扇形的面積，找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：第一個(gè)扇形，圓心角為，半徑為，面積為；第二個(gè)扇形，圓心角為，半徑為，面積為；第三個(gè)扇形，圓心角為，半徑為，面積為；則第四個(gè)扇形，圓心角為，半徑為，面積為；∴經(jīng)過四次操作后所得到的四個(gè)扇形的面積和為，故答案為：．18.定義：若點(diǎn)，點(diǎn)都在同一函數(shù)圖象上，則稱點(diǎn)A和點(diǎn)為該函數(shù)的一組“奇對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”，記為．規(guī)定：與為同一組“奇對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”．例如：點(diǎn)和點(diǎn)都在一次函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)B和點(diǎn)為一次函數(shù)的一組“奇對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”，記為．下列說法正確的序號(hào)為______．①點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)A和點(diǎn)為二次函數(shù)的一組“奇對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”；②反比例函數(shù)有無數(shù)組“奇對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”；③點(diǎn)，點(diǎn)，若為函數(shù)的一組“奇對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”，則，；④由函數(shù)在范圍內(nèi)的圖象與函數(shù)在范圍內(nèi)的圖象組成一個(gè)新的函數(shù)圖象，將該圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)記為w函數(shù)，其解析式可寫為．若w函數(shù)有兩組“奇對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”，則k的取值范圍是．【答案】①②④【解析】【分析】本題考查了“奇對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”的定義，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一元二次方程的判別式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)，點(diǎn)都在二次函數(shù)上，可判斷①；由，都在反比例函數(shù)上，結(jié)合的取值，可判斷②；根據(jù)定義，將點(diǎn)代入，可判斷③；不妨設(shè)和是w函數(shù)的一組“奇對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”，即和在w函數(shù)上，假設(shè)在上，那么在上，將代入，得到，然后結(jié)合一元二次方程的判別式求得答案．【詳解】解：①將代入，得到；將代入，得到；可知點(diǎn)，點(diǎn)都在二次函數(shù)上，那么點(diǎn)A和點(diǎn)為二次函數(shù)的一組“奇對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”；故①正確；②當(dāng)代入，得到，當(dāng)代入，可得，，都在反比例函數(shù)上，，為反比例函數(shù)的一組奇對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”，可以取無數(shù)個(gè)不為0的數(shù)，反比例函數(shù)有無數(shù)組“奇對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”；故②正確；③點(diǎn)，點(diǎn)，為函數(shù)的一組“奇對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”，點(diǎn)，點(diǎn)都在函數(shù)上，，，③錯(cuò)誤；④不妨設(shè)和是w函數(shù)的一組“奇對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”，即和在w函數(shù)上，假設(shè)在上，那么在上，將代入，得到，，，該函數(shù)有兩組“奇對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，，，，（符合題意），；④正確；故答案為：①②④．三、解答題：本題10小題，共66分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、計(jì)算過程、證明過程．19.求值：．【答案】【解析】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，零指數(shù)冪，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．分別計(jì)算算術(shù)平方根，零指數(shù)冪，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再進(jìn)行加減計(jì)算即可．【詳解】解：．20.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，先把小括號(hào)內(nèi)的式子通分化簡(jiǎn)，再把除法變成乘法后約分化簡(jiǎn)，最后代值計(jì)算即可得到答案．詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．21.某公司開發(fā)了兩款模型，分別為模型A和模型B．由于工作需要，公司同時(shí)使用這兩款模型處理數(shù)據(jù)．已知模型B比模型A每小時(shí)多處理數(shù)據(jù)，模型B處理數(shù)據(jù)的時(shí)間與模型A處理數(shù)據(jù)的時(shí)間相同，求模型A每小時(shí)能處理多少數(shù)據(jù)？（備注：為數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)單位）【答案】模型A每小時(shí)能處理數(shù)據(jù)【解析】【分析】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．設(shè)模型A每小時(shí)能處理數(shù)據(jù)，則模型B每小時(shí)能處理數(shù)據(jù)，根據(jù)“模型B處理數(shù)據(jù)的時(shí)間與模型A處理數(shù)據(jù)的時(shí)間相同”建立分式方程求解即可．【詳解】解：設(shè)模型A每小時(shí)能處理數(shù)據(jù)，則模型B每小時(shí)能處理數(shù)據(jù)，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，且符合題意，答：模型A每小時(shí)能處理數(shù)據(jù)．22.數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，兩個(gè)興趣小組要合作測(cè)量樓房高度．如圖，第一小組用無人機(jī)在離地面40米高的點(diǎn)D處，測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角為45度，測(cè)得樓頂C處的俯角為30度（點(diǎn)A，B，C，D都在同一平面內(nèi)，無人機(jī)在點(diǎn)A和樓房之間的點(diǎn)D處測(cè)量）；第二小組人工測(cè)量得到點(diǎn)A和大樓之間的水平距離米．請(qǐng)根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出樓房高度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）．【答案】【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，可得四邊形為矩形，在中，，則，解，可得，再由即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意得，，∴，，∵，，∴，∴四邊形為矩形，∴，∵在中，，∴，∴，∵在中，，∴，答：樓房高度約為．23.開展航空航天教育對(duì)提升青少年的科學(xué)素養(yǎng)有重要的意義．某學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行了航空航天科普教育并組織全校學(xué)生參加航空航天知識(shí)競(jìng)賽，每個(gè)學(xué)生回答10道問題，每題10分，賽后發(fā)現(xiàn)所有學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽成績不低于70分，為了更好地了解本次知識(shí)競(jìng)賽的成績分布情況，從所有學(xué)生答題成績中隨機(jī)抽取部分學(xué)生答題成績作為樣本進(jìn)行整理，繪制條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖．部分信息如下：請(qǐng)根據(jù)以上信息，完成下列問題：（1）①此次抽查的學(xué)生總數(shù)為_______；②請(qǐng)補(bǔ)全抽取的學(xué)生成績條形統(tǒng)計(jì)圖；③條形統(tǒng)計(jì)圖中學(xué)生競(jìng)賽成績得分的眾數(shù)為_________分；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中：______，得分為“100分”這一項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的圓心角是_____度；（3）已知該校共有3000名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該校得分不低于90分的學(xué)生有多少名？【答案】（1）①；②作圖見解析；③（2），（3）名【解析】【分析】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖的信息關(guān)聯(lián)，用樣本估計(jì)總體，求眾數(shù)，正確讀懂統(tǒng)計(jì)圖是解題的關(guān)鍵．（1）先由得分100分的人數(shù)除以占比求出抽查的學(xué)生總數(shù)；由總數(shù)減去得分為70分，90分，100分的人數(shù)求出得分80分的人數(shù)，即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；再根據(jù)眾數(shù)的定義結(jié)合條形統(tǒng)計(jì)圖即可求解眾數(shù)；（2）由“”減去其余三項(xiàng)占比即可求解，再由乘以得分分占比即可求解圓心角；（3）用乘以得分分和分的占比即可．【小問1詳解】解：抽查的學(xué)生總數(shù)為（人），競(jìng)賽成績?yōu)榉值娜藬?shù)為：（人），補(bǔ)全學(xué)生成績條形統(tǒng)計(jì)圖：由條形統(tǒng)計(jì)圖可得，得分為分的人數(shù)最多，故眾數(shù)為，故答案為：①；③；【小問2詳解】解：，∴，∴，故答案為：，；【小問3詳解】解：由題意得，（人），答：該校得分不低于90分的學(xué)生有人．24.如圖．在四邊形中，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)．點(diǎn)B，點(diǎn)D關(guān)于所在直線對(duì)稱．（1）求證：四邊形是菱形；（2）過點(diǎn)D作垂線交延長線于點(diǎn)E．若，，求線段長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及對(duì)稱軸的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)對(duì)稱可得，，然后證明，則可先證明四邊形是平行四邊形，再由對(duì)角線互相垂直即可證明其為菱形；（2）先對(duì)運(yùn)用勾股定理求解，再對(duì)運(yùn)用勾股定理求解，最后由面積法求解即可．【小問1詳解】證明：∵點(diǎn)B，點(diǎn)D關(guān)于所在直線對(duì)稱，∴，，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形；【小問2詳解】解：∵四邊形菱形，∴，由題意得：，∴，∵，∴，∵，∴，∴．25.為推進(jìn)我市“紅色研學(xué)”文化旅游發(fā)展，大慶博物館新推出A，B兩種文創(chuàng)紀(jì)念品．已知2個(gè)A紀(jì)念品和3個(gè)B紀(jì)念品的成本之和是155元；4個(gè)A紀(jì)念品和1個(gè)B紀(jì)念品的成本之和是135元．一套紀(jì)念品由一個(gè)A紀(jì)念品和一個(gè)B紀(jì)念品組成．規(guī)定：每套紀(jì)念品的售價(jià)不低于65元且不高于72元（每套售價(jià)為整數(shù)）．如果每套紀(jì)念品的售價(jià)為72元，那么每天可銷售80套．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每套紀(jì)念品的售價(jià)每降價(jià)1元，其銷售量相應(yīng)增加10套．設(shè)每天的利潤為W（元），每套紀(jì)念品的售價(jià)為a元（且a為整數(shù)）．（1）分別求出每個(gè)A紀(jì)念品和每個(gè)B紀(jì)念品的成本；（2）求當(dāng)a為何值時(shí)，每天的利潤W最大．【答案】（1）每個(gè)A紀(jì)念品成本元，每個(gè)B紀(jì)念品的成本元（2）【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)，二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)每個(gè)A紀(jì)念品成本元，每個(gè)B紀(jì)念品的成本元，根據(jù)“2個(gè)A紀(jì)念品和3個(gè)B紀(jì)念品的成本和是155元；4個(gè)A紀(jì)念品和1個(gè)B紀(jì)念品的成本和是135元”建立二元一次方程組并求解；（2）先根據(jù)利潤公式求出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【小問1詳解】解：設(shè)每個(gè)A紀(jì)念品成本元，每個(gè)B紀(jì)念品的成本元，由題意得：，解得：，答：每個(gè)A紀(jì)念品成本元，每個(gè)B紀(jì)念品的成本元；【小問2詳解】解：由題意得，，∵，對(duì)稱軸為直線，且a為整數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，答：當(dāng)時(shí)，每天的利潤W最大．26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，，點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，為等邊三角形，延長與反比例函數(shù)的圖象在第三象限交于點(diǎn)C．連接并延長與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點(diǎn)D．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)及的面積；（3）在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以A，D，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為，（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或【解析】【分析】（1）作軸于點(diǎn)，利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合直角三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意得到點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，聯(lián)立求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用三角形面積公式求解即可；（3）先求得，，分當(dāng)軸和當(dāng)時(shí)兩種情況討論，據(jù)此求解即可．【小問1詳解】解：作軸于點(diǎn)，∵為等邊三角形，，∴，，∴，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；【小問2詳解】解：∵延長與反比例函數(shù)的圖象在第三象限交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∵，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，聯(lián)立得，解得或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴；【小問3詳解】解：∵為等邊三角形，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴，，∴，∴，當(dāng)軸時(shí)，，，∴，∵點(diǎn)