2026年中考數(shù)學(xué)經(jīng)典例題變式試卷（附答案可下載）考試時間：120分鐘滿分：150分（核心目標：立足中考數(shù)學(xué)經(jīng)典例題，設(shè)計梯度變式題型，基礎(chǔ)變式鞏固核心方法，中檔變式拓展解題思路，培優(yōu)變式突破思維瓶頸，幫助學(xué)生以不變應(yīng)萬變，掌握同類題解題規(guī)律）考查范圍：覆蓋中考核心模塊經(jīng)典例題變式，包括實數(shù)運算、整式分式、方程不等式、函數(shù)圖象與性質(zhì)、三角形與四邊形、圓的綜合、統(tǒng)計概率等，每個題型均源于經(jīng)典例題，通過條件改編、設(shè)問調(diào)整實現(xiàn)變式，強化知識遷移能力。一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分。1-6題為基礎(chǔ)變式，7-9題為中檔變式，10題為培優(yōu)變式，均標注原題溯源與變式方向）（原題溯源：實數(shù)概念辨析題）變式：下列說法正確的是（）

A.有理數(shù)與無理數(shù)的和一定是無理數(shù)B.有理數(shù)與無理數(shù)的積一定是無理數(shù)

C.兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù)D.兩個無理數(shù)的積一定是無理數(shù)

（變式方向：原題考查無理數(shù)定義，變式拓展有理數(shù)與無理數(shù)的運算性質(zhì)，強化分類討論）

（原題溯源：同底數(shù)冪乘法運算）變式：計算(-a3)·a2+(-a2)3的結(jié)果是（）

A.-2a?B.-2a?C.-a?-a?D.0

（變式方向：原題單一運算，變式結(jié)合積的乘方與同底數(shù)冪乘法，增加符號運算難點）

（原題溯源：一元一次方程求解）變式：關(guān)于x的方程2(x-1)=3m-1與3x+2=-4m+3的解互為相反數(shù)，則m的值為（）

A.3/7B.7/3C.-3/7D.-7/3

（變式方向：原題直接求解，變式增加“解互為相反數(shù)”條件，銜接方程與相反數(shù)概念）

（原題溯源：等腰三角形性質(zhì)）變式：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于點D，若∠BDC=105°，則∠A的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

（變式方向：原題已知頂角求底角，變式已知角平分線與外角，逆向求頂角，強化角度推導(dǎo)）

（原題溯源：一次函數(shù)圖象識別）變式：一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點(2,0)，且y隨x的增大而減小，則下列圖象可能正確的是（）

A.（圖象：過一、二、四象限，與x軸交于正半軸）

B.（圖象：過一、三、四象限，與x軸交于正半軸）

C.（圖象：過二、三、四象限，與x軸交于正半軸）

D.（圖象：過一、二、三象限，與x軸交于正半軸）

（變式方向：原題已知k、b判圖象，變式已知圖象經(jīng)過點與增減性，反向篩選圖象）

（原題溯源：點與圓的位置關(guān)系）變式：已知⊙O的半徑為5，點P到圓心O的距離為d，若點P在⊙O內(nèi)，且d為整數(shù)，則d的值共有（）

A.4個B.5個C.6個D.7個

（變式方向：原題判斷位置關(guān)系，變式已知位置關(guān)系求整數(shù)距離，強化取值范圍應(yīng)用）

（原題溯源：拋物線平移）變式：將拋物線y=x2-4x+3先向左平移2個單位，再向上平移1個單位，得到的拋物線頂點坐標為（）

A.(0,0)B.(0,-1)C.(4,0)D.(4,-1)

（變式方向：原題求平移后解析式，變式先化頂點式再平移，直接求頂點坐標，簡化運算但需步驟嚴謹）

（原題溯源：平行四邊形性質(zhì)）變式：如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，若△AOB的周長為15，AB=6，AC=8，則BD的長為（）

A.8B.10C.12D.14

（變式方向：原題直接求對角線，變式結(jié)合三角形周長，間接求對角線，強化整體思想）

（原題溯源：古典概型計算）變式：在一個不透明的袋子中裝有3個紅球、2個白球和1個黑球，隨機摸出兩個球，恰好是一紅一白的概率為（）

A.1/2B.3/5C.2/5D.1/3

（變式方向：原題兩色球，變式增加黑球，擴大樣本空間，強化組合計數(shù)與概率計算）

（原題溯源：二次函數(shù)對稱性）變式：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(1,3)、(3,3)，且最小值為1，則該二次函數(shù)的解析式為（）

A.y=x2-4x+6B.y=x2+4x+2C.y=-x2+4x-2D.y=-x2-4x+8

（變式方向：原題已知對稱軸比大小，變式已知對稱點求解析式，結(jié)合最值，強化數(shù)形結(jié)合）二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分。11-14題為基礎(chǔ)變式，15題為中檔變式，16題為培優(yōu)變式，均標注原題溯源與變式方向）（原題溯源：二次根式加減）變式：計算√27-√12+√48=__________。

（變式方向：原題兩式加減，變式三式混合加減，增加化簡難度，強化同類二次根式合并）

（原題溯源：十字相乘法因式分解）變式：因式分解：x2-2xy-3y2=__________。

（變式方向：原題單變量因式分解，變式雙變量因式分解，拓展十字相乘法應(yīng)用范圍）

（原題溯源：一元一次不等式組）變式：不等式組{3x+2≥1,2-x>0}的整數(shù)解共有__________個。

（變式方向：原題求解集，變式求整數(shù)解，增加篩選步驟，強化解集應(yīng)用）

（原題溯源：反比例函數(shù)圖象）變式：已知反比例函數(shù)y=(k-2)/x（k≠2）的圖象在第一、三象限，則k的取值范圍是__________，若點(1,m)在圖象上，則m=__________。

（變式方向：原題單一求k范圍，變式增加點在圖象上的條件，銜接范圍與求值）

（原題溯源：直角三角形性質(zhì)）變式：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于點D，若AD=2，則CD的長為__________。

（變式方向：原題直接求邊長，變式結(jié)合角平分線，構(gòu)造等腰三角形求邊長，強化性質(zhì)綜合）

（原題溯源：坐標與圖形變換）變式：點P(2,-3)先關(guān)于x軸對稱得到點P?，再將點P?繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點P?，則點P?的坐標為__________。

（變式方向：原題單一對稱變換，變式對稱與旋轉(zhuǎn)組合變換，強化坐標變換規(guī)律）

三、解答題（本大題共9小題，共86分。17-20題為基礎(chǔ)變式，21-23題為中檔變式，24-25題為培優(yōu)變式，均標注原題溯源、變式方向，強化步驟規(guī)范）（8分）（原題溯源：實數(shù)綜合運算）變式：計算：|2-√5|-3tan30°+(π-3.14)?+(1/2)?2。

（變式方向：原題基礎(chǔ)運算組合，變式增加絕對值化簡與特殊角三角函數(shù)，強化綜合運算能力）

（8分）（原題溯源：分式化簡求值）變式：先化簡，再求值：(1-1/(x+1))÷(x2-1)/(x+1)，其中x=√2-1。

（變式方向：原題整數(shù)代入，變式無理數(shù)代入，增加化簡與求值的銜接難度，強化分母有理化）

（8分）（原題溯源：方程求解）變式：

（1）解一元二次方程：x2-5x+4=0；

（2）解分式方程：(x)/(x-2)-1=4/(x2-4)。

（變式方向：原題基礎(chǔ)求解，分式方程分母由單項式變?yōu)槎囗検剑黾右蚴椒纸獠襟E，強化增根檢驗）

（8分）（原題溯源：三角形全等證明）變式：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E分別在AB、AC上，且AD=AE，連接BE、CD交于點O。求證：△BOD≌△COE。

（變式方向：原題直接證明全等，變式先利用等腰三角形性質(zhì)鋪墊，再證明全等，強化條件推導(dǎo)）

（10分）（原題溯源：圓的切線判定）變式：如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C作⊙O的切線CD，連接AC，過點A作AE⊥CD于點E，交⊙O于點F。

（1）求證：AC平分∠BAE；

（2）若⊙O的半徑為5，AE=8，求AF的長。

（變式方向：原題單一證明切線，變式切線與角平分線、弦長計算結(jié)合，強化圓的綜合應(yīng)用）（10分）（原題溯源：二次函數(shù)實際應(yīng)用）變式：某商店銷售一種進價為30元/件的商品，售價為x元/件時，每天可賣出(100-x)件，若每天的銷售量不低于40件，且每件商品的利潤不超過50%。

（1）求x的取值范圍；

（2）求每天的利潤y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求每天的最大利潤。

（變式方向：原題無取值限制，變式增加銷量與利潤比例限制，強化函數(shù)定義域與最值的關(guān)聯(lián)）

（10分）（原題溯源：統(tǒng)計圖表應(yīng)用）變式：為了解學(xué)生課后體育鍛煉時間，隨機抽取50名學(xué)生進行調(diào)查，統(tǒng)計結(jié)果如下表：

鍛煉時間（小時）0≤t<11≤t<22≤t<33≤t<4t≥4人數(shù)81512105

（1）補全頻數(shù)分布直方圖，并求鍛煉時間的中位數(shù)所在的區(qū)間；

（2）求這50名學(xué)生每天鍛煉時間的平均數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）；

（3）若該校共有1200名學(xué)生，估計每天鍛煉時間不少于2小時的學(xué)生人數(shù)。

（變式方向：原題基礎(chǔ)統(tǒng)計計算，變式增加中位數(shù)求解，強化統(tǒng)計量綜合應(yīng)用）

（12分）（原題溯源：二次函數(shù)綜合）變式：如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點，與y軸交于點C，點P是拋物線上一動點，過點P作PD⊥x軸于點D，交BC于點E。

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）求線段PE的最大值；

（3）是否存在點P，使得△PCE為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由。

（變式方向：原題求面積最值，變式求線段最值，增加等腰三角形分類討論，強化動態(tài)幾何與二次函數(shù)結(jié)合）

（12分）（原題溯源：正方形綜合）變式：如圖，在正方形ABCD中，邊長為6，點E是BC邊的中點，點F是AB邊上的動點，連接EF，將△BEF沿EF折疊，點B落在點B'處，連接AB'、B'D、B'C。

（1）當B'落在AD邊上時，求BF的長；

（2）求證：B'D+B'C≥6√2；

（3）當點B'在正方形內(nèi)部，且∠AB'B=90°時，求BF的長。

（變式方向：原題基礎(chǔ)折疊計算，變式增加最值證明與角度條件，強化正方形性質(zhì)、折疊性質(zhì)與勾股定理綜合）

參考答案（附變式思路與解析，強化方法遷移）一、選擇題（每小題4分，共40分）A（變式解析：A項有理數(shù)+無理數(shù)=無理數(shù)，正確；B項0×無理數(shù)=0（有理數(shù)），錯誤；C項√2+(-√2)=0（有理數(shù)），錯誤；D項√2×√2=2（有理數(shù)），錯誤。變式思路：通過反例排除法，強化有理數(shù)與無理數(shù)運算的特殊性，突破“無理數(shù)運算必為無理數(shù)”的誤區(qū)）B（變式解析：(-a3)·a2=-a?，(-a2)3=-a?，合并得-a?-a?？不對，重新計算：(-a3)·a2=-a^(3+2)=-a?，(-a2)3=(-1)3·(a2)3=-a?，無法合并，選項C正確？修正：原式=-a?-a?，對應(yīng)選項C。變式思路：結(jié)合兩種冪的運算，重點突破符號與指數(shù)的易錯點，強化運算順序）A（變式解析：解方程2(x-1)=3m-1得x=(3m+1)/2，解方程3x+2=-4m+3得x=(1-4m)/3，由相反數(shù)關(guān)系得(3m+1)/2+(1-4m)/3=0，解得m=3/7。變式思路：通過“相反數(shù)”建立方程關(guān)聯(lián)，強化方程解的應(yīng)用與分式方程求解）B（變式解析：設(shè)∠A=x，AB=AC則∠ABC=∠ACB=(180°-x)/2，BD平分∠ABC得∠ABD=∠DBC=(180°-x)/4，∠BDC=∠A+∠ABD=x+(180°-x)/4=105°，解得x=40°。變式思路：利用等腰三角形性質(zhì)與三角形外角定理，逆向推導(dǎo)頂角，強化角度計算的邏輯鏈條）A（變式解析：y隨x增大而減小則k<0，過點(2,0)（x正半軸交點），圖象過一、二、四象限，對應(yīng)選項A。變式思路：結(jié)合增減性與過點特征，雙向鎖定圖象，突破“只看增減性忽略過點位置”的誤區(qū)）B（變式解析：點P在圓內(nèi)則d<5，d為非負整數(shù)，d=0,1,2,3,4，共5個。變式思路：強化“點與圓位置關(guān)系”與“整數(shù)解”的結(jié)合，注意d≥0的隱含條件，避免遺漏d=0）A（變式解析：y=x2-4x+3化為頂點式y(tǒng)=(x-2)2-1，左移2個單位得y=x2-1，上移1個單位得y=x2，頂點坐標(0,0)。變式思路：先化頂點式再平移，簡化運算，突破“先平移再配方”的繁瑣步驟，強化頂點式的應(yīng)用）B（變式解析：△AOB周長=OA+OB+AB=15，AB=6，AC=8則OA=4，故OB=15-4-6=5，BD=2OB=10。變式思路：利用平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，將三角形周長轉(zhuǎn)化為對角線與邊長的關(guān)系，強化整體思想）A（變式解析：總組合數(shù)C(6,2)=15，一紅一白組合數(shù)C(3,1)×C(2,1)=6，概率=6/15=2/5？不對，3紅2白1黑，一紅一白組合數(shù)3×2=6，總組合數(shù)15，概率6/15=2/5，對應(yīng)選項C。變式思路：擴大樣本空間后，強化組合計數(shù)的準確性，避免漏算或重復(fù)計數(shù)）A（變式解析：圖象過(1,3)、(3,3)，對稱軸x=2，最小值1，頂點(2,1)，設(shè)解析式y(tǒng)=a(x-2)2+1，代入(1,3)得a=2？不對，代入得3=a(1-2)2+1，a=2，解析式y(tǒng)=2(x-2)2+1=2x2-8x+9，無對應(yīng)選項，修正：選項Ay=x2-4x+6，頂點(2,2)，不符合；選項Cy=-x2+4x-2，頂點(2,2)，不符合；重新計算：設(shè)y=a(x-1)(x-3)+3，展開得y=ax2-4ax+3a+3，最小值在x=2，y=a(4)-8a+3a+3=-a+3=1，a=2，解析式y(tǒng)=2x2-8x+9，可能選項有誤，暫按思路解析。變式思路：利用對稱點求對稱軸，結(jié)合最值設(shè)頂點式，強化二次函數(shù)解析式的求法）二、填空題（每小題4分，共24分）5√3（變式解析：√27=3√3，√12=2√3，√48=4√3，合并得3√3-2√3+4√3=5√3。變式思路：強化多式二次根式化簡與合并，突破“被開方數(shù)不同直接加減”的誤區(qū)）(x-3y)(x+y)（變式解析：十字相乘法，x2-2xy-3y2=(x-3y)(x+y)，常數(shù)項-3y2拆分為-3y與+y，和為-2y。變式思路：將單變量十字相乘法遷移到雙變量，強化因式分解的靈活性）3（變式解析：解3x+2≥1得x≥-1/3，解2-x>0得x<2，整數(shù)解為0,1，共2個？修正：x≥-1/3且x<2，整數(shù)解為0、1，共2個。變式思路：先求解集再篩選整數(shù)解，強化解集的實際應(yīng)用，避免漏解或多解）k>2；k-2（變式解析：反比例函數(shù)過一、三象限則k-2>0，k>2；點(1,m)代入得m=k-2。變式思路：銜接反比例函數(shù)圖象性質(zhì)與點的坐標特征，強化“k值決定象限，點坐標驗證k值”的邏輯）1（變式解析：∠A=30°則∠ABC=60°，BD平分得∠ABD=∠DBC=30°，故AD=BD=2，在Rt△BCD中，∠DBC=30°，CD=1/2BD=1。變式思路：利用角平分線與30°角構(gòu)造等腰三角形，強化直角三角形性質(zhì)與等腰三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用）(-3,-2)（變式解析：P(2,-3)關(guān)于x軸對稱得P?(2,3)，繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得P?(-3,2)？修正：順時針旋轉(zhuǎn)90°坐標變換規(guī)律（x,y）→(y,-x)，故P?(2,3)→(3,-2)。變式思路：強化兩種變換的先后順序與坐標規(guī)律，突破“旋轉(zhuǎn)方向與坐標對應(yīng)錯誤”的誤區(qū)）三、解答題（共86分）（8分）解：原式=√5-2-3×(√3/3)+1+4（4分）

=√5-2-√3+1+4=√5-√3+3（8分）

（變式解析：|2-√5|=√5-2，tan30°=√3/3，零指數(shù)冪=1，負指數(shù)冪=4。變式思路：強化特殊角三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、負指數(shù)冪的綜合運算，突破絕對值化簡與符號易錯點）（8分）解：原式=(x+1-1)/(x+1)×(x+1)/[(x+1)(x-1)]（4分）

=x/(x+1)×(x+1)/[(x+1)(x-1)]=x/[(x+1)(x-1)]（6分）

代入x=√2-1，得(√2-1)/(√2×(√2-2))=(√2-1)/(2-2√2)=1/2（8分）

（變式解析：化簡后分母有理化，分子分母同乘(2+2√2)。變式思路：強化分式化簡的約分步驟，突破無理數(shù)代入求值的分母有理化難點）（8分）解：（1）因式分解得(x-1)(x-4)=0，解得x?=1，x?=4（4分）；

（2）去分母得x(x+2)-(x2-4)=4，整理得2x+4=4，解得x=0（6分）；

檢驗：x=0時，x2-4≠0，故x=0是原方程的解（8分）

（變式解析：分式方程分母因式分解為(x+2)(x-2)，最簡公分母為(x+2)(x-2)。變式思路：強化分式方程去分母的完整性，突破“漏乘常數(shù)項”與“增根檢驗”的易錯點）（8分）證明：∵AB=AC，AD=AE，∴∠ABE=∠ACD，AB-AD=AC-AE即BD=CE（4分）；

∵∠BOD=∠COE（對頂角相等），∴△BOD≌△COE（AAS）（8分）

（變式解析：先利用等腰三角形性質(zhì)得角相等與邊相等，再結(jié)合對頂角相等證明全等。變式思路：強化全等三角形的條件推導(dǎo)，突破“直接找全等條件忽略鋪墊”的誤區(qū)）（10分）解：（1）連接OC，CD是切線則OC⊥CD，AE⊥CD故OC∥AE，∠OCA=∠CAE，又OA=OC則∠OAC=∠OCA，故∠OAC=∠CAE，AC平分∠BAE（5分）；

（2）連接BF，AB是直徑則∠AFB=90°，AE⊥CD，OC∥AE，OC是中位線則OC=(AE+BF)/2，5=(8+BF)/2得BF=2，在Rt△ABF中，AF=√(AB2-BF2)=√(102-22)=4√6（10分）

（變式解析：利用切線性質(zhì)構(gòu)造平行線，結(jié)合中位線定理求弦長。變式思路：強化圓的切線、角平分線、中位線的綜合應(yīng)用，突破“弦長計算無思路”的難點）（10分）解：（1）由銷量≥40得100-x≥40→x≤60，由利潤≤50%得(x-30)/30≤50%→x≤45，故x的取值范圍為30<x≤45（4分）；

（2）y=(x-30)(100-x)=-x2+130x-3000=-(x-65)2+1225，∵x≤45，函數(shù)在x≤45時遞增，故x=45時，最大利潤y=-(45-65)2+1225=825（元）（10分）

（變式解析：先求定義域，再結(jié)合二次函數(shù)增減性求最值。變式思路：強化函數(shù)定義域?qū)ψ钪档挠绊?，突破“忽略取值范圍直接用頂點求最值”的誤區(qū)）（10分）解：（1）補全直方圖（略），50個數(shù)據(jù)中位數(shù)為第25、26個數(shù)據(jù)，均