專題01集合與邏輯

目錄

01析·考情精解......................................................................................錯(cuò)誤！未定義書簽。

02構(gòu)·知能框架..............................................................................................................2

03破·題型攻堅(jiān)..............................................................................................................3

考點(diǎn)一集合初步.......................................................................................................3

真題動(dòng)向

知識(shí)1有限集的子集個(gè)數(shù)確定

必備知識(shí)知識(shí)2根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法

知識(shí)3集合的運(yùn)算性質(zhì)

題型1元素與集合的關(guān)系題型2根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

命題預(yù)測

題型3集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算及求參問題題型4集合中的新定義問題

考點(diǎn)二常用邏輯用語...............................................................................................9

真題動(dòng)向

知識(shí)1命題真假判定

必備知識(shí)知識(shí)2集合判斷法判斷充分條件、必要條件

知識(shí)3根據(jù)充分、必要條件求解參數(shù)

命題預(yù)測題型1命題真假判定題型2充分條件與必要條件

命題軌從近三年高考試題來看，集合與常用邏輯用語均屬基礎(chǔ)考點(diǎn)，多以4分選擇題形式呈現(xiàn)。集合部

分重點(diǎn)考查交、并、補(bǔ)等基本運(yùn)算，常與一元一次、二次不等式或指數(shù)、對數(shù)不等式解法交匯，

跡透視

需通過集合表示方法的轉(zhuǎn)化與化簡求解，數(shù)軸法和特殊值法是常用技巧。常用邏輯用語核心考點(diǎn)

為充分條件與必要條件的判斷，常與其他知識(shí)結(jié)合，兼具基礎(chǔ)性與綜合性。此外，全稱量詞與存

在量詞命題的真假判斷偶有考查。整體側(cè)重考查考生的邏輯思維能力與轉(zhuǎn)化能力，注重邏輯推理

素養(yǎng)的體現(xiàn)。

考點(diǎn)2025年2024年2023年

考點(diǎn)頻

集合上海卷T1，4分上海卷T1，4分上海卷T13，4分

次總結(jié)

常用邏輯用語上海卷T16，4分

預(yù)計(jì)在2026年高考中，集合仍為必考基礎(chǔ)考點(diǎn)，大概率以5分單選題形式出現(xiàn)，側(cè)重交、并、

2026命

補(bǔ)運(yùn)算，多與一元一次、二次不等式交匯，需用數(shù)軸法輔助求解，偶涉含參問題或空集特例。

題預(yù)測常用邏輯用語與其他知識(shí)交匯，判斷命題真假，整體難度不高。

考點(diǎn)一集合

1．（2023·上?！じ呖颊骖}）已知P1,2，Q2,3，若M{x|xP且xQ}，則M（）

A．{1}B．{2}C．{1,2}D．{1,2,3}

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，直接求出集合M中的元素作答.

【詳解】因?yàn)镻{1,2}，由xP，得x1或x2，

又Q{2,3}，且xQ，即有x2且x3，因此x1，

所以M{1}.故選：A

2．（2025·全國二卷·高考真題，3，5分）已知集合A{4,0,1,2,8},Bx∣x3x,則AB（）

A．{0,1,2}B．{1,2,8}

C．{2,8}D．{0,1}

【答案】D

【詳解】Bx|x3x0,1,1，故AB0,1，故選：D.

是小于的正整數(shù)e

3．（2025·全國一卷·高考真題，2，5分）已知集合Uxx9，A{1,3,5}，則UA中元素

個(gè)數(shù)為（）

A．0B．3C．5D．8

【答案】C

ee

【詳解】因?yàn)閁1,2,3,4,5,6,7,8，所以UA2,4,6,7,8，UA中的元素個(gè)數(shù)為5，故選：C．

4．（2024·上?！じ呖颊骖}）設(shè)全集U1,2,3,4,5，集合A2,4，則A．

【答案】1,3,5

【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義可求A.

【詳解】由題設(shè)有A1,3,5，故答案為：1,3,5

5．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知全集U{x∣2x5,xR}，集合A{x∣2x4,xR}，則A．

【答案】x|4x5,xR/4,5

【分析】根據(jù)補(bǔ)集的含義即可得到答案.

【詳解】根據(jù)補(bǔ)集的含義知Ax|4x5,xR.故答案為：x|4x5,xR.

知識(shí)1有限集的子集個(gè)數(shù)確定

若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n1個(gè)，非空子集有2n1個(gè)，非空真子集有

2n2個(gè)．

知識(shí)2根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法

已知兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，要明確集合中的元素，對子集是否為空集進(jìn)行分類討論（必須優(yōu)先考

慮空集的情況），做到不漏解，其次是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的

關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．

知識(shí)3集合的運(yùn)算性質(zhì)

（1）AAA，A，ABBA；

（2）AAA，AA，ABBA；

（3）A(CUA)，A(CUA)U，CU(CUA)A；

（4）ABABAABBCUBCUA；

【易錯(cuò)提醒】

①一定要清楚符號(hào)“{x|x的屬性}”表示的是具有某種屬性的x的全體，而不是部分；

②一定要從代表元素入手，弄清代表元素是什么

③根據(jù)AB或ABA求參數(shù)取值范圍,忽略A的情況

題型1元素與集合的關(guān)系

1.（2025·上海黃浦·二模）已知全集U{(x,y)|xR,yR}，集合SU，若S中的點(diǎn)在直角坐標(biāo)

平面內(nèi)形成的圖形關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、直線yx均對稱，且(2,3)S，則S中的元素個(gè)數(shù)至少有

A．4個(gè)B．6個(gè)C．8個(gè)D．10個(gè)

【答案】C

【解析】因?yàn)?2,3)S,S中的點(diǎn)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)形成的圖形關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、直線yx對稱，所以

(2,3)S,(2,3)S,(2,3)S,(3,2)S,(3，2)S,(3，-2)S,(3，2)S,所以S中的元素個(gè)數(shù)至少有8

個(gè)，

故選：C.

2．（2025·貴州貴陽·模擬預(yù)測）若集合A{x|2mx30,mR}，其中2A且1A，則實(shí)數(shù)m的取值范

圍是（）

33333333

A．,B．,C．,D．,

42424242

【答案】A

2m23033

【解析】由題意可得，解得m.故選：A.

2m13042

3．（2025·四川樂山·三模）已知集合Ax,yx2y210,xN*,yN*，則集合A的元素個(gè)數(shù)為（）

A．9B．8C．6D．5

【答案】C

【解析】A(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)，共6個(gè)元素.故選：C.

4．（2025·河北滄州·階段練習(xí)）已知集合A{xN∣0xm}有16個(gè)子集，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）

A．{m∣3m4}B．{m∣3m4}

C．m∣3m4D．{m∣3m4}

【答案】A

【解析】因?yàn)榧螦{xN∣0xm}有16個(gè)子集，

所以集合A{xN∣0xm}中有4個(gè)元素，分別為0，1，2，3，所以3m4.故選:A

題型2根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

5.（2025·上海崇明一模）若集合P滿足2P2,3,5，則P可以是（）

A．2,5B．3C．3,5D．2,3,5

【答案】A

【解析】由2P2,3,5，則P{2,3}或P{2,5}.故選：A

6．（2025·上海金山·模擬）已知集合P{(x,y)||x||y|1}，Q(x,y)|x2y21，則有（）

A．PQB．PQC．PQPD．PQQ

【答案】B

【解析】因?yàn)镻{(x,y)||x||y|1}表示四個(gè)頂點(diǎn)分別為(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)的正方形圍成的區(qū)域(包括

22

邊界),而Q(x,y)|xy1表示的圓心為原點(diǎn),半徑為1的圓圍成的區(qū)域(包括邊界),所以PQ.

故選:B

1n1p1

7．（2025·上海浦東模擬）已知集合M{x|xm,mZ}，N{x|x,nZ}，P{x|x,pZ}，

62326

則M、N、P的關(guān)系滿足（）

A．MNPB．MNPC．MNPD．NPM

【答案】A

n13n23(n1)1

【解析】依題意，N{x|x,nZ}{x|x,nZ}{x|x,nZ}，

2366

p13p1

P{x|x,pZ}{x|x,pZ}，則NP，

266

132m1

M{x|xm,mZ}{x|x,mZ}，則MP，

66

所以M,N,P的關(guān)系滿足MNP.故選：A

x3e

8．（2025·全國·模擬預(yù)測）已知集合Ax0,Bx3p2x2p1,BRA，則p的取值范圍

x2

是（）

113

A．[,1)B．[,]

332

131

C．(,)D．(,)

323

【答案】D

x3x3x20

【解析】因?yàn)?，所以，所以x3或x2，

x2x20

e

所以Axx3或x2，所以RAx3x2，

e

當(dāng)B時(shí)，3p22p1，解得p1，滿足BRA；

3p22p1

e1

當(dāng)B時(shí)，要使BRA，則2p12，解得p1，

3

3p23

11

綜上，p，即p的取值范圍是(,).故選：D

33

31

9．（2025·河南·二模）已知集合Axx，Bxaxa2，若AB，則a的取值范圍為（）

22

A．1,2B．0,1C．1,2D．0,1

【答案】B

【解析】由題意可得Ax1x2，又Bxaxa2，AB，

1a

所以，解得0a1，故選：B.

2a2

10．（2025·河南·模擬預(yù)測）已知集合A{x|1x2}，B{x|1xm}，若BA，則實(shí)數(shù)m的取值范

圍是（）

A．(2,)B．(1,2]C．(,2]D．[2,)

【答案】C

【解析】當(dāng)B時(shí)，m≤1，

m1

當(dāng)B時(shí)，則，解得1m2，

m2

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(,2]．故選C

題型3集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算及求參問題

11．（2025·上海寶山·階段練習(xí)）設(shè)全集為自然數(shù)集N，

Ex|x2n,nN,Fx|x4n,nN．那么集合N可以表示成（）

A．EFB．EFC．EFD．EF

【答案】C

【解析】集合E{x|x2n,nN}是所有偶數(shù)的集合，F(xiàn){x|x4n,nN}是所有4的倍數(shù)的集合.

A選項(xiàng)，由于EFE，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

B選項(xiàng)，由于2EF，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

C選項(xiàng)，由于FE，所以EFN，所以C選項(xiàng)正確.

D選項(xiàng)，由于EFEFE，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C

2

12．（2025·山東泰安·模擬預(yù)測）已知集合A{x|x3x0},Bx|log2x1，則AB（??）

A．0,2B．2,3C．0,3D．1,3

【答案】B

2

【解析】由題設(shè)A{x|x3x0}(0,3),Bxlog2x1(2,)，所以AB2,3.

故選：B

e

13．（2025·陜西榆林·模擬預(yù)測）設(shè)全集U0,1,2,3,4,5，集合Axx3，Bx1x5，則AUB

（）

A．0,1B．0,1,2C．0,1,5D．0,1,2,5

【答案】D

【解析】全集U0,1,2,3,4,5，則Axx3x3x30,1,2，

e

因?yàn)槿疷0,1,2,3,4,5，集合Bx1x52,3,4，所以UB0,1,5，

e

所以AUB0,1,2,5.故選：D

14．（2025··湖南長沙·階段練習(xí)）已知集合Mx|yx1，Nx|1x2，則MN（）

A．1,B．1,2C．1,2D．1,2

【答案】A

【解析】由x10x1，所以Mx|yx11,，

又Nx|1x21,2，所以MN1,21,1,.故選：A

．（廣東肇慶一模）已知集合Ax2x6，集合Bxx9，則eAB（）

152025··NR

A．0,1,6,7,8,9B．1,6,7,8,9

C．x6x9D．x6x9或x2

【答案】A

【解析】因?yàn)榧?，所以e或，

Ax2x6RAxx2x6

e

又BxNx9,所以RAB0,1,6,7,8,9.

故選：A

2e

16．（2025·河南·開學(xué)考試）設(shè)集合Ax0x2},Bxx4x30，則ARB（）

A．{x∣1x2}B．x0x1

C．x0x2D．x1x2

【答案】B

2e

【解析】由x4x3x1x30得1x3，即Bx1x3,RB{xx3或x1}，

e

所以ARBx0x1.故選：B

17．（2025·上?！るA段練習(xí)）已知全集UR，集合Axx1或x4，Bx2x3，那么陰影部

分表示的集合為（）

A．xx3或x4B．x1x3

C．x1x3D．x2x4

【答案】C

【解析】因?yàn)槿疷R，集合Axx1或x4，Bx2x3，

在陰影部分區(qū)域所表示的集合中任取一個(gè)元素x，則xA，xB，

因此陰影部分區(qū)域所表示的集合為

e

UABx1x4x2x3x1x3.故選：C.

題型4集合中的新定義問題

18．（2025·安徽蚌埠·二模）對于數(shù)集A，B，定義ABxxab,aA,bB，

a

ABxx,aA,bB，若集合A1,2，則集合AAA中所有元素之和為（）

b

152123

A．5B．

C．

D．

222

【答案】D

【解析】根據(jù)新定義，集合A1,2，則AA2,3,4，

323

則AAA1,2,3,4,，則可知所有元素之和為．故選：D

22

1

19．（2025·貴州黔東南·二模）若對任意xA，A，則稱A為“影子關(guān)系”集合，下列集合為

x

“影子關(guān)系”集合的是（）

A．1,3B．1,0,1

C．x|x1D．x|x0

【答案】D

1

【解析】對于選項(xiàng)A：因?yàn)?1,3，但1,3，不符合題意，故A錯(cuò)誤；

3

1

對于選項(xiàng)B：因?yàn)?1,0,1，但無意義，不符合題意，故B錯(cuò)誤；

0

1

對于選項(xiàng)C：例如2xx1，但xx1，不符合題意，故C錯(cuò)誤，

2

1

對于選項(xiàng)D：對任意xxx0，均有xx0，符合題意，故D正確；

x

故選：D.

20．（2025·黑龍江·二模）已知集合A1,2，B3,4，定義集合：ABx,yxA,yB，則集合AB

的非空子集的個(gè)數(shù)是（）個(gè)．

A．16B．15C．14D．13

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，ABx,yxA,yB1,3，1,4，2,3，2,4，

則集合AB的非空子集的個(gè)數(shù)是24115.

故選：B

21．（2025··河北·開學(xué)考試）德國數(shù)學(xué)家康托爾在其著作《集合論》中給出正交集合的定義：

若集合A和B是全集U的子集，且無公共元素，則稱集合A,B互為正交集合，規(guī)定空集是任何集合的正交

∣∣2

集合．若全集Ux1log2(x1)3,xN,Axx7x100,xN，則集合A關(guān)于集合U的正交集

合B的個(gè)數(shù)為（）

A．8B．16C．32D．64

【答案】B

【解析】結(jié)合題意：因?yàn)?log2(x1)3，所以log22log2(x1)log28，

解得2x18，即1x7，

∣

所以全集Ux1log2(x1)3,xN2,3,4,5,6,7，

2

由x27x100可得2x5，所以Ax∣x7x100,xN3,4，

則集合A關(guān)于集合U的正交集合B的個(gè)數(shù)為2416.

故選：B.

22．（2025·廣東·二模）若集合Ax3x28x30，Bxx1，定義集合ABx|xA且xB}，

則AB（）

111

A．,3B．,1C．,1D．1,3

333

【答案】C

11

【解析】由3x28x30得x3，則A[,3]，

33

1

又ABx|xA且xB}，則AB,1，故選C

3

23．（2025··上海寶山·階段練習(xí)）新定義：若一個(gè)n位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的n次方和等

于這個(gè)數(shù)本身，則稱這個(gè)數(shù)是自戀數(shù).已知所有一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合A，集合

2

Bx2x17x210，則AB的子集個(gè)數(shù)為（）

A．8B．16C．32D．64

【答案】C

【解析】由自戀數(shù)的定義可知一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合A1,2,3,4,5,6,7,8,9，

33

解不等式2x217x210得x7，所以Bxx7，

22

所以AB2,3,4,5,6，故其子集個(gè)數(shù)為2532，

故選：C

24．（2025··上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)集合I1,3,5,7，若非空集合A同時(shí)滿足：①AI；

②cardAminA(其中cardA表示A中元素的個(gè)數(shù)，minA表示集合A中最小的元素)，稱集合A為

I的一個(gè)“好子集”，則I的所有“好子集”的個(gè)數(shù)為（）

A．7B．8C．9D．10

【答案】B

【解析】當(dāng)cardA1，即集合A中元素的個(gè)數(shù)為1時(shí)，A的可能情況為1,3,5,7；

當(dāng)cardA2，即集合A中元素的個(gè)數(shù)為2時(shí)，A的可能情況為3,5,3,7,5,7；

當(dāng)cardA3，即集合A中元素的個(gè)數(shù)為3時(shí)，A的可能情況為3,5,7，

綜上所述，I的所有“好子集”的個(gè)數(shù)為8.

故選：B

25．（2025··上?！て谥校┮阎疷為無理數(shù)集，將U劃分為兩個(gè)非空的子集M與N，且滿足

MNU,MN，若M中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，則稱(M,N)為優(yōu)分割.對于任一

優(yōu)分割(M,N)，下列選項(xiàng)中一定不成立的是（）

A．M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素B．M沒有最大元素，N也沒有最小元素

C．M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素D．M有一個(gè)最大元素，N沒有最小元素

【答案】C

【解析】由題意，將無理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集M與N，

且滿足MNU,MN，，M中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，

對于A中，若集合MxU|x2,NxU|x2，

則集合M沒有最大元素，N中有一個(gè)最小元素，所以A正確；

對于B中，若集合MxU|x2,NxU|x2，

則集合M沒有最大元素，N中也沒有最小元素，所以B正確；

對于D中，若集合MxU|x2,NxUx2，

則集合M中有一個(gè)最大元素，N中沒有最小元素，所以D正確；

對于C中，無論怎樣“優(yōu)分割”，都不可能使得集合M中有最大元素，且N中有最小元素，所以C不正確.

故選：C.

26．（2025·湖南長沙·階段練習(xí)）設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對于kA，若k1A且k1A，則k

是A的一個(gè)“孤立元”，給定S1,2,3,4,5,6,7,8,9，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集

合共有個(gè)．

【答案】7

【解析】由集合的新定義知，沒有與之相鄰的元素是“孤立元”，集合S不含“孤立元”，

則集合S中的三個(gè)數(shù)必須連在一起，所以符合題意的集合是1,2,3，2,3,4，3,4,5，4,5,6，5,6,7，

6,7,8，7,8,9，共7個(gè)．

考點(diǎn)二常用邏輯用語

1．（2025·北京·高考真題，7，5分）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，則“f(x)的值域?yàn)镽”是“對任意MR，

存在x0D，使得fx0M”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】若函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，則對任意MR，一定存在x1D，使得fx1M1，

取x0x1，則fx0M1M，充分性成立；

x

取f(x)2，DR，則對任意MR，一定存在x1D，使得fx1M1，

取x0x1，則fx0M1M，但此時(shí)函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,，必要性不成立；

所以“f(x)的值域?yàn)镽”是“對任意MR，存在x0D，使得fx0M”的充分不必要條件.

故選：A.

2．（2025·天津·高考真題，2，5分）設(shè)xR，則“x0”是“sin2x0”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】由x0sin2xsin00，則“x0”是“sin2x0”的充分條件；

又當(dāng)xπ時(shí)，sin2xsin2π0，可知sin2x0x0，

故“x0”不是“sin2x0”的必要條件，

綜上可知，“x0”是“sin2x0”的充分不必要條件.

故選：A.

3．（2023·上?！じ呖颊骖}）在平面上，若曲線Γ具有如下性質(zhì)：存在點(diǎn)M，使得對于任意點(diǎn)P，都有Q

使得PMQM1．則稱這條曲線為“自相關(guān)曲線”．判斷下列兩個(gè)命題的真假（）

①所有橢圓都是“自相關(guān)曲線”．②存在是“自相關(guān)曲線”的雙曲線．

A．①假命題；②真命題B．①真命題；②假命題

C．①真命題；②真命題D．①假命題；②假命題

【答案】B

x2y2

【解析】對于①，不妨設(shè)橢圓方程為1(ab0)，M(m,0)，

a2b2

則橢圓上一點(diǎn)P到M距離為

b2b2

|PM|(xm)2y2(xm)2b2x2(1)x22mxm2b2,axa，

a2a2

m

xa

當(dāng)ma時(shí)，對稱軸b2，可得|PM|[ma,ma]，

1

a2

總存在m使得(ma)(ma)1，此時(shí)滿足題意，故任意橢圓都是“自相關(guān)曲線”，故①正確，

對于②，對于給定的雙曲線和點(diǎn)P，顯然|PM|存在最小值，而M橫坐標(biāo)趨近于無窮大時(shí)，|PM|趨近于無

窮大，|PM|[m,)，故不滿足題意，不存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”故②錯(cuò)誤，

故選：B

知識(shí)1集合判斷法判斷充分條件、必要條件

若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，即p：c，q：B{x|q(x)}，則

（1）若AB，則p是q的充分條件；

（2）若BA，則p是q的必要條件；

（3）若AB，則p是q的充分不必要條件；

（4）若BA，則p是q的必要不充分條件；

（5）若AB，則p是q的充要條件；

（6）若A_B且AB，則p是q的既不充分也不必要條件.

知識(shí)2根據(jù)充分、必要條件求解參數(shù)

①把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不

等式(或不等式組)求解；

②要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取

等號(hào)決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象．

知識(shí)3四種命題的關(guān)系及真假判

1.四種命題間的關(guān)系

2.四種命題間的真假關(guān)系

原命題逆命題否命題逆否命題

真真真真

真假假真

假真真假

假假假假

【易錯(cuò)提醒】正難則反的解題策略

1.求解此類含有“至少”“至多”等命題，常利用反證法來證明.用反證法證明命題的一般步驟：①假設(shè)命

題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾得出

假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.

2.常見的一些詞語和它們的否定詞語對照如下：

等于至多有至少有

原詞大于(>)小于(<)是都是至多有n個(gè)

(＝)一個(gè)一個(gè)

否定不等于不大于不小于至少有至少有一個(gè)也

不是不都是

詞語(≠)(≤)(≥)兩個(gè)(n＋1)個(gè)沒有

題型1充分條件與必要條件

13

1．（2025·上海虹口·一模）已知0,π，則“sinπ”是“cos”的（）條件．

22

A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要

【答案】C

【解析】充分性：

11π5π

根據(jù)誘導(dǎo)公式sinπsin，因?yàn)?,π，所以或，

2266

π35π3

當(dāng)時(shí)，cos；當(dāng)時(shí)，cos；

6262

13

所以由sinπ不能必然推出cos，充分性不成立；

22

必要性：

3ππ1

因?yàn)?,π，cos所以，此時(shí)sinπsinsin，

2662

31

所以由cos可以推出sinπ，必要性成立；

22

13

綜上，sinπ是cos的必要非充分條件；

22

故選：C.

2．（2025·上海青浦·一模）已知a，bR，則“ab”是“a3b3”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)yx3的定義域?yàn)镽，且在0,上單調(diào)遞增，又為奇函數(shù)，

故yx3在R上單調(diào)遞增，則由ab可推出a3b3，故充分性成立；

由a3b3也可推出ab，故必要性成立，所以“ab”是“a3b3”的充要條件.

故選：C.

3．（2025·上海楊浦·三模）“tantan”是“”的（）條件.

A．充分非必要B．必要非充分

C．充要D．既非充分也非必要

【答案】D

ππ

【解析】當(dāng)tantan時(shí)，kπ,kπ,kπ,kZ，不能得出，不具備充分性，

22

π

當(dāng)kπ,kZ時(shí)，正切值不存在，所以不能得出tantan，也不具備必要性.

2

故選：D.

4．（2025·上海楊浦·模擬預(yù)測）設(shè)實(shí)數(shù)a,bR，則不等式abab的等號(hào)成立的一個(gè)充分不必要條件

為（）.

A．a(chǎn)b0B．a(chǎn)b0C．a(chǎn)b0D．a(chǎn)b≤0

【答案】A

【解析】當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)abab，可知ab0，ab0，兩邊同時(shí)平方得(ab)2(ab)2，

2222

化簡得a2abba2abb，可得ab0時(shí)等號(hào)成立，則一個(gè)充分不必要條件可以是ab0.

故選：A.

5．（2025·上?！と＃┰O(shè)a為實(shí)數(shù)，直線l1:axy1，直線l2:xay2a，則“a1”是“l(fā)1,l2平行”的（）

條件

A．充分不必要B．必要不充分

C．充分必要D．既不充分又不必要

【答案】A

【解析】若a1，則直線l1:xy1，直線l2:xy2，此時(shí)l1,l2平行，

2

若l1,l2平行，則a1即a1，

當(dāng)a1時(shí)，l1,l2平行，

當(dāng)a1時(shí)，直線l1:xy1，直線l2:xy2，此時(shí)l1,l2也平行，

故l1,l2平行時(shí)推不出a1，故“a1”是“l(fā)1,l2平行”的充分不必要條件，

故選：A.

6．（2025·上海浦東新·三模）a，bR，請從以下選項(xiàng)中選出“ab”的充分條件（）

A．3a4bB．a(chǎn)2b2C．a(chǎn)|b|D．2a3b

【答案】C

【解析】A.若a4,b3.5，滿足3a4b，不滿足ab，故A不是充分條件；

B.當(dāng)a2,b1滿足a2b2，不滿足ab，所以B不是充分條件；

C.若ab，又因?yàn)閎b，所以ab，所以C是充分條件；

D.a3，b2，滿足2a3b，不滿足ab，故D不是充分條件.

故選：C

1

7．（2025·山東菏澤·一模）“x0”是“2x2”的（）

2x

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】A

11

【解析】若x0，則2x1，所以2x22x2，

2x2x

11

由2x得x0，因?yàn)閤0，所以取不到等號(hào)，即2x2，

2x2x

1

所以“x0”是“2x2”的充分條件；

2x

151

又x1時(shí)，212，所以“x0”不是“2x2”的必要條件.

2122x

1

綜上，“x0”是“2x2”的充分不必要條件.

2x

故選：A

8．（2025·上海靜安·一模）設(shè)a，bR，則“ab0”是“a0且b0”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】令a3，b1，滿足ab0，但a0，b0；

當(dāng)a0且b0時(shí)，能得到ab0，

所以“ab0”是“a0且b0”的必要不充分條件.

故選：B.

題型3

9．（2025·上海青浦期末）下列四個(gè)命題：

①?zèng)]有一個(gè)無理數(shù)不是實(shí)數(shù)；

②空集是任何一個(gè)非空集合的真子集；

③11≤2；

④至少存在一個(gè)整數(shù)x，使得x2x1是整數(shù)．

其中是真命題的為（）．

A．①②③④B．①②③C．①②④D．②④

【答案】A

【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)由無理數(shù)和有理數(shù)構(gòu)成，故所有無理數(shù)都是實(shí)數(shù)，故①正確；

因?yàn)榭占侨魏畏强占系恼孀蛹盛谡_；

因?yàn)?12，故③正確；

取x1，則x2x11是整數(shù)，故④正確.

故選：A.

10．（2025·上海閔行·期中）下列命題中：

①關(guān)于x的方程mx22x30是一元二次方程；

②空集是任意非空集合的真子集；

③如果x3，那么x0；

④兩個(gè)實(shí)數(shù)的和是有理數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)都是有理數(shù).其中是真命題的有（）

A．①②③B．②③C．②③④D．①②④