數(shù)學(xué)

人教版（2024）八年級(jí)上冊(cè)§13.2.2

三角形的中線、角平分線、高三角形第十三章1.了解三角形的中線、角平分線、高的概念.2.掌握三角形的中線、角平分線及高的有關(guān)結(jié)論.（重點(diǎn)）3.掌握鈍角三角形高的畫法及進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算.（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)引入

定義

圖示垂線線段中點(diǎn)角平分線OBAAB當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線把一條線段分成兩條相等的線段的點(diǎn)一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線回顧：你還記得“過(guò)一點(diǎn)畫已知直線的垂線”嗎?量角器畫法三角板畫法如圖所示，下面形狀的房梁中，立柱與橫梁有什么特殊關(guān)系?斜梁斜梁立柱橫梁從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形這邊的高，簡(jiǎn)稱三角形的高。三角形的高：如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D

，點(diǎn)D是垂足，則AD是△ABC的邊BC上的高，此時(shí)：

∠ADB=∠ADC=90°．ABCD分別畫一個(gè)銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，你能分別畫出這三個(gè)三角形的三條高嗎？分組討論ACBACBACB分別畫一個(gè)銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，你能分別畫出這三個(gè)三角形的三條高嗎？分組討論ACBACBACB三角形的三條高的特性：高所在的直線是否相交高之間是否相交高在三角形內(nèi)部的數(shù)量鈍角三角形直角三角形銳角三角形311相交相交不相交相交相交相交三條高所在直線的交點(diǎn)的位置三角形內(nèi)部直角頂點(diǎn)三角形外部三角形的角平分線探究

在一張薄紙上任意畫一個(gè)三角形，你能設(shè)法畫出它的一個(gè)內(nèi)角的平分線嗎?

BCA方法一：折紙：在一張紙上畫出一個(gè)三角形并剪下，將它的一個(gè)角對(duì)折，使其兩邊重合.折痕AD即為三角形的∠A的平分線.BCA方法二：三角形的角平分線探究

在一張薄紙上任意畫一個(gè)三角形，你能設(shè)法畫出它的一個(gè)內(nèi)角的平分線嗎?

符號(hào)語(yǔ)言：如圖，畫△ABC的∠A的平分線AD，交∠A所對(duì)的邊BC于點(diǎn)D，所得線段AD叫作△ABC的角平分線.在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角所對(duì)的邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫作三角形的角平分線.12ABCD三角形的角平分線①AD是△ABC的角平分線，②AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，

思考

用同樣的方法，你能畫出△ABC的另外兩條角平分線嗎？12ABCD三角形的三條角平分線都在三角形的內(nèi)部，并且三條角平分線交于三角形內(nèi)一點(diǎn).三角形的角平分線

D三角形的角平分線

在三角形中，連接一個(gè)

與它

的線段，叫做三角形的中線.

三角形的中線概念：ABCD

頂點(diǎn)

對(duì)邊的中點(diǎn)

三角形的中線數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言∵AD是△ABC的中線∴AD是△ABC的中線反之，如圖所示三角形的中線定義∴BD=DC=?BC∵BD=DC=?BC性質(zhì)判定三角形的中線動(dòng)手畫一畫你能畫出△ABC的另外兩邊上的中線嗎？0123456789EF三角形的中線都在三角形的內(nèi)部，且必交于一點(diǎn).△ABC的重心課堂小結(jié)今天我們收獲了哪些知識(shí)？1.你能分別描述三角形中的幾種重要線段及其特點(diǎn)嗎？2.你能說(shuō)說(shuō)什么是三角形的重心嗎？三角形重要線段高銳角三角形的三條高交于同一點(diǎn)，都在三角形的內(nèi)部.直角三角形的三條高交于直角頂點(diǎn).鈍角三角形的三條高不相交于一點(diǎn)，三條高所在直線交于一點(diǎn).中線角平分線三角形的三條中線相交于一點(diǎn).三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.三角形的三條角平分線交于同一點(diǎn).2.如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.任意三角形1.下列各組圖形中，哪一組圖形中的AD是△ABC的高()ADCBABCDABCDABCDABCDBD3.下列各組圖形中，AD是△ABC的高的圖形是（）解析：△ABC的高AD是過(guò)頂點(diǎn)A與BC垂直的線段，只有D選項(xiàng)符合．D4.如圖，在ΔABC中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高.填空：（1）BE=

=

；（2）∠BAD=

=

；（3）∠AFB=

=90°；（4）SΔABC=.CEBC∠CAD∠BAC∠AFCBC?AF5.如圖,在△ABC中,∠1=∠2,G為AD中點(diǎn),延長(zhǎng)BG交AC于E,F為AB上一點(diǎn),CF⊥AD于H,判斷下列說(shuō)法哪些是正確的,哪些是錯(cuò)誤的.⌒⌒ABCDE12FGH①AD是△ABE的角平分線()②BE是△

ABD邊AD上的中線()③BE是△

ABC邊AC上的中線()④CH是△

ACD邊AD上的高()三角形的高、中線與角平分線都是線段.×××√6.如圖，在△ABC中，BD是角平分線，若∠ABC

＝72°，則∠ABD＝

?°.36

7.

如圖，虛線部分是小剛作的輔助線，你認(rèn)為線段

CD（C）C8.

在△ABC中，AB=18，BC=16，BD

是

AC

邊上的中線，若△ABD的周長(zhǎng)為41，那么△BCD的周長(zhǎng)是（

）A.39B.41C.43D.無(wú)法確定AA.是AC邊上的高B.是BC邊上的高C.是AB邊上的高D.不是△ABC的高9.如圖，已知△ABC.(1)CD

是△ABC的高，則∠ADC＝

＝90°，∠BDCS△ABC＝

；

BEAB

BCFACB

10.如圖，已知AD是△ABC的邊BC上的中線.（1）作出△ABD的邊BD上的高；解：（1）如圖，AE即為所求.（2）若△ABC的面積為10，則△ADC的面積為

?；1）如圖，AE即為5

（3）若△ABD的面積為6，且BD邊上的高為3，求BC的長(zhǎng).解：（3）∵AD是△ABC的邊BC上的中線，△ABD的面積為6，

∴△ABC的面積為12.

由題可知AE＝3，∴BC＝8.11.如圖，在△ABC中，已知D、E、F

分別為BC、AD、CE的中點(diǎn)，且S△ABC

=12，則圖中陰影部分的面積為（）A.1 B.2 C.3 D.4CABCDEF

66

33

12.如圖,在△ABC中,AE是角平分線,AD是高,∠C=40°,∠B=70°,DF⊥AE,垂足為F.(1)求∠CAE的度數(shù).(2)求∠ADF的度數(shù).

解析

(1)∵∠C=40°,∠B=70°,∴∠BAC=70°,∵AE是∠BAC的平分線,∴∠CAE=

∠BAC=35°.(2)∵AD是△ABC的高,∴∠ADC=90°,∵∠C=40°,∴∠CAD=90°-∠C=50°,∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=15°,∵DF⊥AE,∴∠ADF=90°-∠DAE=75°.13.已知:△ABC中,AE平分∠BAC交BC于E,AD⊥BC于D.(1)如圖①,若∠C=70°,∠B=30°,則∠DAE=

°.(2)如圖②,F是AE上的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G,且∠B=40°,∠C=80°,求∠EFG的度數(shù).(3)在(2)的條件下,若F點(diǎn)在AE的延長(zhǎng)線上(如圖③),其他條件不變,則∠EFG的大小會(huì)發(fā)生改變嗎?說(shuō)明理由.解析

(1)20.詳解:∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵∠B=30°,∴∠BAD=90°-∠B=60°,∵∠BAC=180°-(∠B+∠C)=80°,AE平分∠BAC,∴∠BAE=

∠BAC=40°,∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-40°=20°.(2)∵AD⊥BC,FG⊥BC,∴AD∥FG,∴∠EFG=∠EAD,∵∠B=40°,∠C=80°,∴∠BAC=180°-40°-80°=60°,∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=

∠BAC=30°,∵AD⊥BC,∴∠BAD=90°-∠B=50°,∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=50°-30°=20°,∴∠EFG=20°.(3)∠EFG的大小不變.理由如下:∵AD⊥BC,FG⊥BC,∴AD∥FG,∴∠EFG=∠EAD,由(2)可知∠EAD=20°,∴∠EFG=20°,大小不變.14.作△ABC的邊AB上的高，下列作法中，正確的是(

)D三角形任意一邊上的高必須滿足：(1)過(guò)該邊所對(duì)的頂點(diǎn)；(2)垂足必須在該邊或在該邊的延長(zhǎng)線上．方法總結(jié)15.如圖，在△ABC中，CD是中線,已知BC-AC=5

cm，△DBC的周長(zhǎng)為25

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