第1頁/共35頁2026屆上海市普陀區(qū)初三一模數(shù)學(xué)試卷 2026.01考生注意：1．本試卷含三個(gè)大題，共25題．試卷滿分150分．考試時(shí)間100分鐘．2．答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．3．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計(jì)算的主要步驟．4．填空題須在對(duì)應(yīng)矩形框內(nèi)作答，超出對(duì)應(yīng)邊框作答無效．一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】1.已知，下列式子一定成立的是（）A.， B. C. D.2.在中，，如果，，那么的值是（）A. B. C. D.3.下列拋物線中，能滿足經(jīng)過原點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線的是（）A. B.C. D.4.設(shè)非零向量、、，如果，，那么下列說法中錯(cuò)誤的是（）A. B.與方向相反C. D.5.如圖，在中，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E、F在邊上，．下列條件中，不一定能判定的是（）A. B.C. D.6.如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)，那么關(guān)于線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7.計(jì)算：=___．8.函數(shù)定義域是______________．9.已知反比例函數(shù)，其圖象在所在的每一個(gè)象限內(nèi)都隨的增大而增大，則的取值范圍是______．10.已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)、，那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式為___________．11.已知拋物線的對(duì)稱軸是y軸，那么它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為___________．12.將兩根長(zhǎng)度相同的細(xì)銅絲均在其黃金分割點(diǎn)處彎折（不計(jì)彎折處損耗），再首尾相接圍成一個(gè)矩形（），連接，那么的正切值等于___________．13.如圖，在中，，為中線，點(diǎn)E在邊上，．如果，，那么___________．14已知四邊形對(duì)角線與交于點(diǎn)O，，．如果，那么___________度．15.如圖，斜坡坡度為，如果將斜坡的鉛垂高度從A處沿射線的方向延伸2米，并保持坡度不變，那么需從B處沿射線的方向延伸___________米．16.如圖，中，、分別平分、，點(diǎn)M、N分別在邊、上．過點(diǎn)O的線段．如果，，，那么___________．17.我們把一個(gè)三角形一條邊上的中線與另一條邊上的高的交點(diǎn)稱為這個(gè)三角形的中垂點(diǎn)．已知在中，，，為邊上的高，點(diǎn)O在上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，如果點(diǎn)O是的中垂點(diǎn)，那么的值為___________．18.如圖，中，，，，點(diǎn)D在邊上，將沿著翻折得，其中點(diǎn)A與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，連接，如果，那么___________．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19.計(jì)算：．20.如圖，已知線段與交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在和上，，射線與交于點(diǎn)G，，．（1）求的長(zhǎng)；（2）連接，設(shè)，，那么___________，___________．（用向量、表示）21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上．（1）求點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖像上，如果，將直線平移，使其經(jīng)過點(diǎn)，求平移后所得直線的表達(dá)式．22.【發(fā)現(xiàn)問題】順次連接對(duì)角線相等的四邊形的四條邊的中點(diǎn)，就可以得到一個(gè)菱形．小普同學(xué)進(jìn)一步思考：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線不相等，那么能否在這個(gè)四邊形中畫出一個(gè)菱形，使其滿足四個(gè)頂點(diǎn)分別落在四邊形的四條邊上，且兩組對(duì)邊分別與四邊形的兩條對(duì)角線平行？【提出問題】小普同學(xué)把這個(gè)想法改寫成如下的一段數(shù)學(xué)語言：如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊、、、上，且，___________，如果四邊形是菱形，那么怎樣畫出這個(gè)菱形呢？【分析問題】小普同學(xué)在與的交流中，給出了一種解決問題的思考路徑：解決問題】（1）根據(jù)圖，將【提出問題】中缺失的條件補(bǔ)充完成（即“___________”）；（2）根據(jù)小普同學(xué)與的對(duì)話，設(shè)，，用含a、b的代數(shù)式表示k；（3）在圖中，畫出符合要求菱形，寫出確定點(diǎn)E的作圖步驟，并保留確定點(diǎn)E的作圖痕跡．23.已知：如圖，四邊形中，點(diǎn)E在邊上，交于點(diǎn)F，，．（1）求證：；（2）如果，求證：．24.在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)為P．（1）用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)B、點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）作過點(diǎn)B和點(diǎn)P的直線交x軸于點(diǎn)C．①當(dāng)a取不同的數(shù)值時(shí)，點(diǎn)C是否會(huì)移動(dòng)？如果不會(huì)，試求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；如果會(huì)，試用含a的代數(shù)式表示的長(zhǎng)；②當(dāng)a取1時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)記作，頂點(diǎn)記作，當(dāng)a取時(shí)，此時(shí)拋物線與y軸的交點(diǎn)和頂點(diǎn)分別記作和，如果的補(bǔ)角等于的兩倍時(shí)，求m的值．25.如圖，已知矩形中，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，在右側(cè)作，使得，其中點(diǎn)C、F分別與點(diǎn)E、C對(duì)應(yīng)．已知，．（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，求四邊形的面積；（2）點(diǎn)E由點(diǎn)A向點(diǎn)B移動(dòng)的過程中（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），研究以下3個(gè)量的變化情況，完成填空并說明編號(hào)為②的量的變化情況的理由：①的大?。虎诘拈L(zhǎng)度；③的值．其中，變大的量是___________；變小的量是___________．（請(qǐng)?jiān)跈M線處填入編號(hào)）（3）當(dāng)四邊形的一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線時(shí)，求的長(zhǎng)．2025學(xué)年度第一學(xué)期期末九年級(jí)自適應(yīng)練習(xí)（2026.1）數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．本試卷含三個(gè)大題，共25題．試卷滿分150分．考試時(shí)間100分鐘．2．答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．3．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計(jì)算的主要步驟．4．填空題須在對(duì)應(yīng)矩形框內(nèi)作答，超出對(duì)應(yīng)邊框作答無效．一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】1.已知，下列式子一定成立的是（）A.， B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了比例的基本性質(zhì)，分式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握比例的基本性質(zhì)．由已知比例，通過代數(shù)變形驗(yàn)證各選項(xiàng)即可．【詳解】解：選項(xiàng)A：x和y不一定為5和2，可能為其他比例相同的數(shù)，不符合題意；選項(xiàng)B：由比例得，不符合題意；選項(xiàng)C：應(yīng)由得，不符合題意；選項(xiàng)D：，符合題意；故選D．2.在中，，如果，，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)勾股定理得出是解題的關(guān)鍵，由求解即可．【詳解】解：∵在中，，，，∴由勾股定理，，∴，故選A．3.下列拋物線中，能滿足經(jīng)過原點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸，掌握拋物線的對(duì)稱軸為是解題的關(guān)鍵．逐項(xiàng)驗(yàn)證時(shí)的坐標(biāo)和對(duì)稱軸即可．【詳解】解：選項(xiàng)A：經(jīng)過，對(duì)稱軸為直線，不符合題意；選項(xiàng)B：經(jīng)過，對(duì)稱軸為直線，不符合題意；選項(xiàng)C：經(jīng)過，對(duì)稱軸為直線，符合題意；選項(xiàng)D：經(jīng)過，對(duì)稱軸為直線，不符合題意；故選C．4.設(shè)非零向量、、，如果，，那么下列說法中錯(cuò)誤的是（）A. B.與方向相反C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，根據(jù)非零向量、、，有，，即可推出，然后逐一判斷各選項(xiàng)的正確性．詳解】解：∵，且，∴，對(duì)于A：∵，∴，正確；對(duì)于B：∵，∴與方向相反，正確；對(duì)于C：，正確；對(duì)于D：，錯(cuò)誤；故選D．5.如圖，在中，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E、F在邊上，．下列條件中，不一定能判定的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查的是由平行得相似三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：∵，∴，，，，，∴，選項(xiàng)A：∵，∴，∵，∴，∴，∴，不符合題意；選項(xiàng)B：∵，∴，不能得到，符合題意；選項(xiàng)C：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，不符合題意；選項(xiàng)D：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，不符合題意；故選：B．6.如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)，那么關(guān)于線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．連接，過作于點(diǎn)，由軸對(duì)稱性質(zhì)可得，，，，又是等邊三角形，則，即，可得，所以，故有，然后通過勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，連接，過作于點(diǎn)，∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)，∴，，，∴，∵是等邊三角形，∴，即，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：B．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7.計(jì)算：=___．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)立方根的定義進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：∵23=8，∴，故答案為：2．8.函數(shù)的定義域是______________．【答案】【解析】【分析】本題考查函數(shù)的定義域，根據(jù)分母不為0求解即可．【詳解】∵函數(shù)，∴，∴函數(shù)的定義域是，故答案為：．9.已知反比例函數(shù)，其圖象在所在的每一個(gè)象限內(nèi)都隨的增大而增大，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)的增減性可得，由此即可得．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象在每一個(gè)象限內(nèi)，都隨的增大而增大，∴，解得，故答案為：．10.已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)、，那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式為___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，得到關(guān)于b和c的方程組，然后求解方程組即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)、，∴代入點(diǎn)得：，即，代入點(diǎn)得：，即，解方程組：，兩式相加得：，解得，把代入得：，解得，∴二次函數(shù)的解析式為，故答案．11.已知拋物線的對(duì)稱軸是y軸，那么它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為___________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸，與y軸的交點(diǎn)為．由拋物線對(duì)稱軸是y軸，得，代入求出，再代入解析式得到，最后求頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵拋物線的對(duì)稱軸是y軸，∴對(duì)稱軸方程為，解得，代入得，當(dāng)時(shí)，，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為．12.將兩根長(zhǎng)度相同的細(xì)銅絲均在其黃金分割點(diǎn)處彎折（不計(jì)彎折處損耗），再首尾相接圍成一個(gè)矩形（），連接，那么的正切值等于___________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查黃金分割定義，矩形的性質(zhì)，正切的定義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是做題的關(guān)鍵．先根據(jù)黃金分割定義，設(shè)出細(xì)銅絲的長(zhǎng)度，進(jìn)而表示出矩形的長(zhǎng)和寬，再利用矩形的性質(zhì)和正切的定義，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)每根細(xì)銅絲的長(zhǎng)度為，（）,由黃金分割的定義可得，較長(zhǎng)線段的長(zhǎng)度為，較短線段的長(zhǎng)度為，，根據(jù)題意可得，矩形的長(zhǎng)，寬．四邊形為矩形，，在中，．故答案為：．13.如圖，在中，，為中線，點(diǎn)E在邊上，．如果，，那么___________．【答案】6【解析】【分析】本題考查了利用余切求邊長(zhǎng)和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可知，進(jìn)而得出，再由即可得出結(jié)果．【詳解】∵，為中線，，∴，∴，∵，，∴即．故答案為：6．14.已知四邊形對(duì)角線與交于點(diǎn)O，，．如果，那么___________度．【答案】68【解析】【分析】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握此知識(shí)點(diǎn)是做題的關(guān)鍵﹒由條件，，可得，同理可得，再根據(jù)角之間的關(guān)系，即可求出的度數(shù)﹒【詳解】解：如圖，，（對(duì)頂角相等），，﹒同理可得，，﹒設(shè)，則，﹒因?yàn)?，即，解得，又，﹒故答案為：68﹒15.如圖，斜坡的坡度為，如果將斜坡的鉛垂高度從A處沿射線的方向延伸2米，并保持坡度不變，那么需從B處沿射線的方向延伸___________米．【答案】【解析】【分析】本題考查平行線分線段成比例，坡度比的相關(guān)問題，根據(jù)坡度比設(shè)，，由題意可知：，，則，列方程求解即可．【詳解】解：如圖所示：斜坡的坡度為，設(shè)，，由題意可知：，，∴即，解得，故答案為．16.如圖，中，、分別平分、，點(diǎn)M、N分別在邊、上．過點(diǎn)O的線段．如果，，，那么___________．【答案】【解析】【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，根據(jù)題意得，，得，得，設(shè)，，列比例方程求解即可．【詳解】解：如圖所示：∵、分別平分、，，∴，，∴，，，∴；設(shè)，，∵，，，則，，，解得，∴，故答案為．17.我們把一個(gè)三角形一條邊上的中線與另一條邊上的高的交點(diǎn)稱為這個(gè)三角形的中垂點(diǎn)．已知在中，，，為邊上的高，點(diǎn)O在上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，如果點(diǎn)O是的中垂點(diǎn)，那么的值為___________．【答案】或【解析】【分析】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，余弦的定義，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是做題的關(guān)鍵．根據(jù)中垂點(diǎn)的定義，利用相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分情況討論即可．【詳解】解：，為邊上的高，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．點(diǎn)O是的中垂點(diǎn)，或點(diǎn)為的中點(diǎn)．如圖，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，時(shí)，，．在中，，設(shè)，則，，．，，，，即，，，；當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，時(shí)，，為邊上的高，點(diǎn)為的中點(diǎn)．如圖，連接，即為的中位線，，，，．綜上，的值為或．故答案為：或．18.如圖，中，，，，點(diǎn)D在邊上，將沿著翻折得，其中點(diǎn)A與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，連接，如果，那么___________．【答案】【解析】【分析】本題考查直角三角形的相關(guān)計(jì)算，折疊的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意證，得，設(shè)，則，求得，列方程求解即可．【詳解】解：如圖所示：由題意可知：，，，，；∴，∵，，∴；∵，∴，∴，∴，所以；∵，設(shè)，∴，即∵，，∵，∴，即，∴，∴，解得，∵點(diǎn)D在邊上，∴，即，∴．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)混合運(yùn)算，將特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算，化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：．20.如圖，已知線段與交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在和上，，射線與交于點(diǎn)G，，．（1）求的長(zhǎng)；（2）連接，設(shè)，，那么___________，___________．（用向量、表示）【答案】（1）4（2），【解析】【分析】本題考查平行線分線段成比例，平面向量的加減運(yùn)算；（1）由題意得，，，求得，，列比例方程求解即可；（2）由題意得，，，，根據(jù)求解即可．【小問1詳解】解：∵，，，∴，，，∴，；∴，即，解得，∴．【小問2詳解】解：如圖所示：∵，，∴，；∴；∵，∴，∴，．21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上．（1）求點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖像上，如果，將直線平移，使其經(jīng)過點(diǎn)，求平移后所得直線的表達(dá)式．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及反比例函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)解析式的求解以及一次函數(shù)的平移性質(zhì)．（1）先利用反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)確定直線的解析式，最后將點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入直線解析式求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由直線的解析式得到，結(jié)合，根據(jù)同位角相等判定軸，從而得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)相同，再代入反比例函數(shù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；最后設(shè)出平移后直線的解析式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出參數(shù)．【小問1詳解】解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)上，∴代入得，故.∵直線過點(diǎn)，∴，解得∴直線的解析式為.∵點(diǎn)在直線上，∴代入得，故；【小問2詳解】解：如圖，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，設(shè)點(diǎn)，∵，∴點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等，∴.∵，∴軸，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴將代入，得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)平移后所得直線的解析式為，將點(diǎn)代入解析式，得，解得，∴平移后所得直線的表達(dá)式為．22.【發(fā)現(xiàn)問題】順次連接對(duì)角線相等的四邊形的四條邊的中點(diǎn)，就可以得到一個(gè)菱形．小普同學(xué)進(jìn)一步思考：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線不相等，那么能否在這個(gè)四邊形中畫出一個(gè)菱形，使其滿足四個(gè)頂點(diǎn)分別落在四邊形的四條邊上，且兩組對(duì)邊分別與四邊形的兩條對(duì)角線平行？【提出問題】小普同學(xué)把這個(gè)想法改寫成如下的一段數(shù)學(xué)語言：如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊、、、上，且，___________，如果四邊形是菱形，那么怎樣畫出這個(gè)菱形呢？【分析問題】小普同學(xué)在與的交流中，給出了一種解決問題的思考路徑：【解決問題】（1）根據(jù)圖，將【提出問題】中缺失的條件補(bǔ)充完成（即“___________”）；（2）根據(jù)小普同學(xué)與的對(duì)話，設(shè)，，用含a、b的代數(shù)式表示k；（3）在圖中，畫出符合要求的菱形，寫出確定點(diǎn)E的作圖步驟，并保留確定點(diǎn)E的作圖痕跡．【答案】（1）（2）（3）見解析【解析】【分析】本題考查平行線分線段成比例，平行四邊形的判定；（1）根據(jù)是平行四邊形，添加條件即可；（2）由題意得，，計(jì)算即可解答；（3）延長(zhǎng)，利用圓規(guī)在延長(zhǎng)線上截取，連接；作，即可解答．【小問1詳解】解：根據(jù)題意可知是平行四邊形，則需添加；【小問2詳解】解：∵，，，∴，∴，；∵，，，∴，；∴∴，【小問3詳解】解：如圖所示即為所求：延長(zhǎng)，利用圓規(guī)在延長(zhǎng)線上截取，連接；作，交邊于點(diǎn)E即可．23.已知：如圖，四邊形中，點(diǎn)E在邊上，交于點(diǎn)F，，．（1）求證：；（2）如果，求證：．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等角對(duì)等邊；（1）由得，由三角形外角得即可解答；（2）由得，題意證即可解答．【小問1詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴；∵，∴，∵，∴，∴．【小問2詳解】解：由（1）得，，∴，；∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．24.在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)為P．（1）用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)B、點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）作過點(diǎn)B和點(diǎn)P的直線交x軸于點(diǎn)C．①當(dāng)a取不同的數(shù)值時(shí)，點(diǎn)C是否會(huì)移動(dòng)？如果不會(huì)，試求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；如果會(huì)，試用含a的代數(shù)式表示的長(zhǎng)；②當(dāng)a取1時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)記作，頂點(diǎn)記作，當(dāng)a取時(shí)，此時(shí)拋物線與y軸的交點(diǎn)和頂點(diǎn)分別記作和，如果的補(bǔ)角等于的兩倍時(shí)，求m的值．【答案】（1），（2）①不會(huì)，；②【解析】【分析】（1）把代入求出，得出，再求出點(diǎn)B坐標(biāo)和頂點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；（2）①先求出，然后令，得出，求出點(diǎn)，即可得出答案；②先求出，，，，作，交于點(diǎn)H，過點(diǎn)作于點(diǎn)Q，求出，根據(jù)等腰三角形的判定得出，根據(jù)勾股定理得出，列出關(guān)于m的方程，解方程即可．【小問1詳解】解：把代入得：，∴，∴，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，把代入得：，∴．【小問2詳解】解：①設(shè)，將代入得：，∴，∴，令，則：，解得：，∴，∴點(diǎn)C不會(huì)移動(dòng)，且；②當(dāng)時(shí)，，∴，，當(dāng)時(shí)，，∴，，∴點(diǎn)，都在y軸上，，都在直線上，∴，如圖，作，交于點(diǎn)H，過點(diǎn)作于點(diǎn)Q，則，，∵的補(bǔ)角等于的兩倍，∴，∵，，，，∴，，，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，在中根據(jù)勾股定理得：，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二