上海市魯迅中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值是（）A. B.C. D.2．對(duì)任意實(shí)數(shù)k，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.與k有關(guān)3．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若已知圖象如圖，則下列說(shuō)法正確的是（）A.存在極大值點(diǎn) B.在單調(diào)遞增C.一定有最小值 D.不等式一定有解4．已知命題若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，命題若，則方程表示橢圓.下列命題是真命題的是A. B.C. D.5．在四面體中，，，，且，，則等于（）A. B.C. D.6．已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.7．設(shè)點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)，與圓在第一象限的交點(diǎn)，、分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，且，則此雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.38．已知雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則實(shí)數(shù)的值是A. B.C. D.9．曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)的斜率為（）A.-1 B.1C.2 D.310．雙曲線(xiàn)：的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A. B.C.4 D.211．在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)+的傾斜角是（）A. B.C. D.12．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，若，則=____________.14．橢圓的離心率是______15．雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在圓上，圓O與雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)在第一、四象限分別交于P，Q兩點(diǎn)滿(mǎn)足（其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則的面積是_________16．若拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4，則拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓O：與圓C：（1）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，填在下面的橫線(xiàn)上，并解答若______，判斷這兩個(gè)圓的位置關(guān)系；（2）若，求直線(xiàn)被圓C截得的弦長(zhǎng)注：若第（1）問(wèn)選擇兩個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)作答計(jì)分18．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)右焦點(diǎn)作直線(xiàn)交于，其中的周長(zhǎng)為的離心率為.（1）求的方程；（2）已知的重心為，設(shè)和的面積比為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)P在圓上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為是的中點(diǎn)，當(dāng)P在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)N形成的軌跡為C（1）求C的軌跡方程；（2）若點(diǎn)，試問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)M，使得過(guò)點(diǎn)M的動(dòng)直線(xiàn)交C于兩點(diǎn)時(shí)，恒有？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由20．（12分）（1）若在是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）已知函數(shù)在R上無(wú)極值點(diǎn)，求a的值.21．（12分）如圖①，直角梯形中，，，點(diǎn)，分別在，上，，，將四邊形沿折起，使得點(diǎn)，分別到達(dá)點(diǎn)，的位置，如圖②，平面平面，.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）如圖，直三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D為棱AC中點(diǎn).（1）證明：AB1//平面；（2）若面B1BC1與面BC1D的夾角余弦值為，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】將化成，即可求出的最小值【詳解】由可化為，所以，解得，因此最小值是故選：A2、A【解析】判斷直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，可知定點(diǎn)在圓內(nèi)，即可判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.【詳解】由可知，即該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為,由可知，則該直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，將點(diǎn)代入圓的方程可得，則點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系為相交.故選：.3、C【解析】根據(jù)圖象可得的符號(hào)，從而可得的單調(diào)區(qū)間，再對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析判斷正誤得出答案.【詳解】由所給的圖象，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得在遞減，遞增；在遞減，在遞增，B錯(cuò)誤，且知，所以存在極小值和，無(wú)極大值，A錯(cuò)誤，同時(shí)無(wú)論是否存在，可得出一定有最小值，但是最小值不一定為負(fù)數(shù)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.4、B【解析】若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行，滿(mǎn)足條件，此時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交，可判斷命題為假；當(dāng)時(shí)，，命題為真，根據(jù)復(fù)合命題的真假關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物不相切，可得命題是假命題，當(dāng)時(shí)，，方程表示橢圓命題是真命題，則是真命題.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可求解.【詳解】解：由題知，故選：B.6、D【解析】利用特殊值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，利用函數(shù)單調(diào)性證明正確選項(xiàng).【詳解】時(shí)，，但，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.時(shí)，，但，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.時(shí)，，但，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.在上遞增，所以，即D選項(xiàng)正確.故選：D7、C【解析】根據(jù)幾何關(guān)系得到是直角三角形，然后由雙曲線(xiàn)的定義及勾股定理可求解.【詳解】點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，又因?yàn)樵谥?，，所以是直角三角形，?由雙曲線(xiàn)定義知，又因?yàn)椋?在中，由勾股定理得，化簡(jiǎn)得，所以.故選：C.8、C【解析】由方程表示雙曲線(xiàn)知，又雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，所以，即，所以故選C.考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).9、D【解析】先求解出導(dǎo)函數(shù)，然后代入到導(dǎo)函數(shù)中，所求導(dǎo)數(shù)值即為切線(xiàn)斜率.【詳解】因?yàn)?，所以，所以切線(xiàn)的斜率為.故選：D.10、A【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的幾何意義即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為2a，而雙曲線(xiàn)中，，所以其實(shí)軸長(zhǎng)為故選：A11、B【解析】由直線(xiàn)方程得斜率，從而得傾斜角【詳解】由直線(xiàn)方程知直角斜率為，在上正切值為1的角為，即為傾斜角故選：B12、C【解析】根據(jù)，可得，再根據(jù)，得，從而可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，又，所以，所以的最小值?故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】解：因?yàn)?，所?故答案為：.14、【解析】求出、、的值，即可得出橢圓的離心率.【詳解】在橢圓中，，，，因此，橢圓的離心率是.故答案為：.15、【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在圓上可求出的值，設(shè)線(xiàn)段與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而根據(jù)求出的坐標(biāo)，代入圓中，求出的值，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在圓上，所以，設(shè)線(xiàn)段與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合雙曲線(xiàn)與圓的對(duì)稱(chēng)性可知為線(xiàn)段的中點(diǎn)，又因?yàn)?，即，且，則，又因?yàn)橹本€(xiàn)的方程為，所以，又因?yàn)樵趫A上，所以，又因?yàn)?，則，所以，從而，故,故答案為：.16、【解析】先由拋物線(xiàn)的方程求出準(zhǔn)線(xiàn)的方程，然后根據(jù)點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離可求，進(jìn)而可得拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，由題意可得，解得，故拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）選①:外離；選②：相切;（2）【解析】(1)不論選①還是選②，都要首先算出兩圓的圓心距，然后和兩圓的半徑之和或差進(jìn)行比較即可；(2)根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，先計(jì)算圓心到直線(xiàn)的距離，然后利用圓心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半之間的關(guān)系求解.【小問(wèn)1詳解】選①圓O的圓心為，半徑為l；圓C的圓心為，半徑為因?yàn)閮蓤A的圓心距為，且兩圓的半徑之和為，所以?xún)蓤A外離選②圓O的圓心為，半徑為1．圓C的圓心為，半徑為2因?yàn)閮蓤A的圓心距為．且兩圓的半徑之和為，所以?xún)蓤A外切【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)C到直線(xiàn)的距離，所以直線(xiàn)被圓C截得的弦長(zhǎng)為18、（1）（2）【解析】（1）已知焦點(diǎn)弦三角形的周長(zhǎng)，以及離心率求橢圓方程，待定系數(shù)直接求解即可.（2）第一步設(shè)點(diǎn)設(shè)直線(xiàn)，第二步聯(lián)立方程韋達(dá)定理，第三步條件轉(zhuǎn)化，利用三角形等面積法，列方程，第四步利用韋達(dá)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，的離心率為，所以，，所以，，又，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】方法一：，，的面積為，的面積為，則，得，①設(shè)，與橢圓C方程聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，.令，②則，可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，又解得③由①②③得，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.方法二：同方法一可得的面積為，的面積為，則，得，①設(shè)，與橢圓C方程聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，.所以因?yàn)?，所以解得②由①②解?所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19、（1）；（2）不存在，理由見(jiàn)解析.【解析】(1)設(shè)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式用N的坐標(biāo)表示P的坐標(biāo)，將P的坐標(biāo)代入圓M的方程化簡(jiǎn)即可得N的軌跡方程；(2)假設(shè)存在，設(shè)M為(m，0)，設(shè)直線(xiàn)l斜率為k，表示其方程，l方程和橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得根與系數(shù)關(guān)系，由，得，代入根與系數(shù)的關(guān)系求k與m關(guān)系即可判斷.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，因?yàn)镹為的中點(diǎn)，，又P點(diǎn)在圓上，，即C軌跡方程為；【小問(wèn)2詳解】不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M，理由如下：假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，直線(xiàn)的斜率為k，則直線(xiàn)的方程為，由消去y并整理，得，設(shè)，則由，得，即，將代入上式并化簡(jiǎn)，得將式代入上式，有，解得，而，求得點(diǎn)M在橢圓外，若與橢圓無(wú)交點(diǎn)不滿(mǎn)足條件，所以不存在這樣的點(diǎn)M【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是由得，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.20、（1）；（2）1【解析】（1）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在內(nèi)恒成立，求出的最小值，即可得到答案；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由，即可得到答案；【詳解】（1）依題意知，在內(nèi)恒成立，所以在內(nèi)恒成立，所以，因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.（2），依題意有，即，，解得.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)，，，，易證，再根據(jù)平面平面，，得到平面，進(jìn)而得到，再利用線(xiàn)面垂直的判定定理證明平面即可；（2）根據(jù)（1）知，，兩兩垂直，以，，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的大小為，由求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)椋?，，所以，，又，所以是等腰直角三角形，即，所?由平面幾何知識(shí)易知，所以，即.又平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以.又，所以平面，又平面，所以平面平面.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，兩兩垂直，以，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，F(xiàn)（1，0，0），則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，取，則.由，，，得平面，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的大小為，則，由圖可知二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為.22、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析