2026屆浙江省湖州市長興縣德清縣安吉縣數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末考試試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．曲線上任意一點處的切線斜率的最小值為（）A．3 B．2 C． D．12．已知平面向量，，滿足：，，則的最小值為()A．5 B．6 C．7 D．83．將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型，如圖(2)放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖(3)所示，則正四棱錐的體積是()A． B． C． D．4．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為則（）A． B．C． D．5．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P是C的右支上一點，連接與y軸交于點M，若（O為坐標(biāo)原點），，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．6．若集合，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．7．已知拋物線的焦點為，若拋物線上的點關(guān)于直線對稱的點恰好在射線上，則直線被截得的弦長為（）A． B． C． D．8．已知向量，若，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．9．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則方程的最小實根的值為（）A． B． C． D．10．若函數(shù)恰有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的圖象是軸對稱圖形；③函數(shù)的極大值為；④函數(shù)的最小值為．A．①③ B．②④C．②③ D．②③④12．若雙曲線的離心率，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離為（）A． B．2 C． D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知關(guān)于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0的解集為A，且A中共含有n個整數(shù)，則當(dāng)n最小時實數(shù)a的值為_____．14．已知等差數(shù)列的前項和為，且，則______.15．已知直角坐標(biāo)系中起點為坐標(biāo)原點的向量滿足，且，，，存在，對于任意的實數(shù)，不等式，則實數(shù)的取值范圍是______.16．的展開式中的常數(shù)項為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知矩陣，求矩陣的特征值及其相應(yīng)的特征向量．18．（12分）設(shè)都是正數(shù)，且，．求證：．19．（12分）已知橢圓C的離心率為且經(jīng)過點（1）求橢圓C的方程；（2）過點(0，2)的直線l與橢圓C交于不同兩點A、B，以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OAMB的頂點M在橢圓C上，求直線l的方程.20．（12分）是數(shù)列的前項和，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列中最小的項.21．（12分）已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，對，恒有成立，求實數(shù)的最小值.22．（10分）某市計劃在一片空地上建一個集購物、餐飲、娛樂為一體的大型綜合園區(qū)，如圖，已知兩個購物廣場的占地都呈正方形，它們的面積分別為13公頃和8公頃；美食城和歡樂大世界的占地也都呈正方形，分別記它們的面積為公頃和公頃；由購物廣場、美食城和歡樂大世界圍成的兩塊公共綠地都呈三角形，分別記它們的面積為公頃和公頃.（1）設(shè)，用關(guān)于的函數(shù)表示，并求在區(qū)間上的最大值的近似值（精確到0.001公頃）；（2）如果，并且，試分別求出、、、的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)題意，求導(dǎo)后結(jié)合基本不等式，即可求出切線斜率，即可得出答案.【詳解】解：由于，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得：，即切線斜率，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ陨先我庖稽c處的切線斜率的最小值為3.故選：A.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及運用基本不等式求最值，考查計算能力.2、B【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，將已知條件轉(zhuǎn)化為所設(shè)未知量的關(guān)系式，再將的最小值轉(zhuǎn)化為用該關(guān)系式表達(dá)的算式，利用基本不等式求得最小值.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)，，且，由于，所以..所以，即..當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值，此時由得，當(dāng)時，有最小值為，即，，解得.所以當(dāng)且僅當(dāng)時有最小值為.故選：B【點睛】本小題主要考查向量的位置關(guān)系、向量的模，考查基本不等式的運用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.3、B【解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長為，高為，則，故由題設(shè)可得，所以四棱錐的體積，應(yīng)選答案B．4、B【解析】

根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)模的求法，代入化簡即可求解.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，則，，∵，代入可得，解得.故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點坐標(biāo)的幾何意義，復(fù)數(shù)模的求法及共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

利用三角形與相似得，結(jié)合雙曲線的定義求得的關(guān)系，從而求得雙曲線的漸近線方程。【詳解】設(shè)，，由，與相似，所以，即，又因為，所以，，所以，即，，所以雙曲線C的漸近線方程為.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線幾何性質(zhì)、漸近線方程求解，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力。6、D【解析】

由題意，分析即得解【詳解】由題意，故，故選：D【點睛】本題考查了元素和集合，集合和集合之間的關(guān)系，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

由焦點得拋物線方程，設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)對稱可求出點的坐標(biāo)，寫出直線方程，聯(lián)立拋物線求交點，計算弦長即可.【詳解】拋物線的焦點為，則，即，設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，如圖：∴，解得，或(舍去)，∴∴直線的方程為，設(shè)直線與拋物線的另一個交點為，由，解得或，∴，∴，故直線被截得的弦長為．故選：B．【點睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，點關(guān)于直線對稱，屬于中檔題.8、D【解析】

由兩向量垂直可得，整理后可知，將已知條件代入后即可求出實數(shù)的值.【詳解】解：，，即，將和代入，得出，所以.故選:D.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積，考查了向量的坐標(biāo)運算.對于向量問題，若已知垂直，通?？傻玫絻蓚€向量的數(shù)量積為0，繼而結(jié)合條件進(jìn)行化簡、整理.9、C【解析】

先確定解析式求出的函數(shù)值，然后判斷出方程的最小實根的范圍結(jié)合此時的，通過計算即可得到答案.【詳解】當(dāng)時，，所以，故當(dāng)時，，所以，而，所以，又當(dāng)時，的極大值為1，所以當(dāng)時，的極大值為，設(shè)方程的最小實根為，，則，即，此時令，得，所以最小實根為411.故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問題，涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識，本題有一定的難度及高度，是一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.10、B【解析】

求導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的極值，利用函數(shù)恰有三個零點，即可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，令，則或，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以0或是函數(shù)y的極值點，函數(shù)的極值為：，函數(shù)恰有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是：.故選B.【點睛】該題考查的是有關(guān)結(jié)合函數(shù)零點個數(shù)，來確定參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，注意應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的走向，利用數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象間交點個數(shù)的問題，難度不大.11、D【解析】

因為，所以①不正確；因為，所以，，所以，所以函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，②正確；易知函數(shù)的最小正周期為，因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可．當(dāng)時，，且，令，得，可知函數(shù)在處取得極大值為，③正確；因為，所以，所以函數(shù)的最小值為，④正確．故選D．12、C【解析】

根據(jù)雙曲線的解析式及離心率，可求得的值；得漸近線方程后，由點到直線距離公式即可求解.【詳解】雙曲線的離心率，則，，解得，所以焦點坐標(biāo)為，所以，則雙曲線漸近線方程為，即，不妨取右焦點，則由點到直線距離公式可得，故選：C.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及簡單應(yīng)用，漸近線方程的求法，點到直線距離公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1【解析】

討論三種情況，a＜0時,根據(jù)均值不等式得到a（﹣a）≤﹣14，計算等號成立的條件得到答案.【詳解】已知關(guān)于x的不等式（ax﹣a1﹣4）（x﹣4）＞0，①a＜0時，[x﹣（a）]（x﹣4）＜0，其中a0，故解集為（a，4），由于a（﹣a）≤﹣14，當(dāng)且僅當(dāng)﹣a，即a＝﹣1時取等號，∴a的最大值為﹣4，當(dāng)且僅當(dāng)a4時，A中共含有最少個整數(shù)，此時實數(shù)a的值為﹣1；②a＝0時，﹣4（x﹣4）＞0，解集為（﹣∞，4），整數(shù)解有無窮多，故a＝0不符合條件；③a＞0時，[x﹣（a）]（x﹣4）＞0，其中a4，∴故解集為（﹣∞，4）∪（a，+∞），整數(shù)解有無窮多，故a＞0不符合條件；綜上所述，a＝﹣1．故答案為：﹣1．【點睛】本題考查了解不等式，均值不等式，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.14、【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式求得的值.【詳解】因為為等差數(shù)列，所以，解得，所以.故答案為：【點睛】本小題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，前項和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，應(yīng)用意識.15、【解析】

由題意可設(shè)，，，由向量的坐標(biāo)運算，以及恒成立思想可設(shè)，的最小值即為點，到直線的距離，求得，可得不大于．【詳解】解：，且，可設(shè)，，，，可得，可得的終點均在直線上，由于為任意實數(shù)，可得時，的最小值即為點到直線的距離，可得，對于任意的實數(shù)，不等式，可得，故答案為：．【點睛】本題主要考查向量的模的求法，以及兩點的距離的運用，考查直線方程的運用，以及點到直線的距離，考查運算能力，屬于中檔題．16、【解析】

寫出展開式的通項公式，考慮當(dāng)?shù)闹笖?shù)為零時，對應(yīng)的值即為常數(shù)項.【詳解】的展開式通項公式為：，令，所以，所以常數(shù)項為.

故答案為：.【點睛】本題考查二項展開式中指定項系數(shù)的求解，難度較易.解答問題的關(guān)鍵是，能通過展開式通項公式分析常數(shù)項對應(yīng)的取值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、矩陣屬于特征值的一個特征向量為，矩陣屬于特征值的一個特征向量為【解析】

先由矩陣特征值的定義列出特征多項式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程組，即可求得相應(yīng)的特征向量.【詳解】由題意，矩陣的特征多項式為，令，解得，，將代入二元一次方程組，解得，所以矩陣屬于特征值的一個特征向量為；同理，矩陣屬于特征值的一個特征向量為v【點睛】本題主要考查了矩陣的特征值與特征向量的計算，其中解答中熟記矩陣的特征值和特征向量的計算方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、證明見解析【解析】

利用比較法進(jìn)行證明：把代數(shù)式展開、作差、化簡可得,,可證得成立,同理可證明,由此不等式得證.【詳解】證明:因為,，所以，∴成立，又都是正數(shù)，∴，①同理，∴．【點睛】本題考查利用比較法證明不等式;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運算求解能力;把差變形為因式乘積的形式是證明本題的關(guān)鍵;屬于中檔題。19、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率、橢圓上點的坐標(biāo)以及列方程，由此求得，進(jìn)而求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達(dá)定理.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及向量加法的幾何意義得到，由此求得點的坐標(biāo)，將的坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡后可求得直線的斜率，由此求得直線的方程.【詳解】（1）由橢圓的離心率為，點在橢圓上，所以，且解得，所以橢圓的方程為．（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)，由消去得，所以，由已知得，所以，由于點都在橢圓上，所以，展開有，又，所以，經(jīng)檢驗滿足，故直線的方程為.【點睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓的離心率和橢圓上一點的坐標(biāo)求橢圓方程，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查運算求解能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）由可得出，兩式作差可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用數(shù)列的單調(diào)性的定義判斷數(shù)列的單調(diào)性，由此可求得數(shù)列的最小項的值.【詳解】（1）對任意的，由得，兩式相減得，因此，數(shù)列的通項公式為；（2）由（1）得，則.當(dāng)時，，即，；當(dāng)時，，即，.所以，數(shù)列的最小項為.【點睛】本題考查利用與的關(guān)系求通項，同時也考查了利用數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列中的最小項，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.21、（1）（2）【解析】

（1）求得，根據(jù)已知條件得到在恒成立，由此得到在恒成立，利用分離常數(shù)法求得的取值范圍.（2）構(gòu)造函數(shù)設(shè)，利用求二階導(dǎo)數(shù)的方法，結(jié)合恒成立，求得的取值范圍，由此求得的最小值.【詳解】（1）因為在上單調(diào)遞增，所以在恒成立，即在恒成立，當(dāng)時，上式成立，當(dāng)，有，需，而，，，，故綜上，實數(shù)的取值范圍是（2）設(shè)，，則，令，，在單調(diào)遞增，也就是在單調(diào)遞增，所以.當(dāng)即時，，不符合；當(dāng)即時，，符合當(dāng)即時，根據(jù)零點存在定理，，使，有時，，在單調(diào)遞減，時，，在單調(diào)遞增，成立，故只需即可，有，得，符合綜上得，，實數(shù)的最小值為【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，考查化歸與