2026屆新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺復(fù)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用包括以下兩個(gè)方面：(1)“以形助數(shù)”，把某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；(2)“以數(shù)定形”，把直觀圖形數(shù)量化，使形更加精確.思想概述方法一利用數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)與方程、不等式問題利用函數(shù)圖象可直觀研究函數(shù)的性質(zhì)，求解與函數(shù)有關(guān)的方程、不等式問題.

例1

√

解析

解析

思路分析

作出函數(shù)y=|f(x)|的圖象和函數(shù)y=ax的圖象→結(jié)合圖象可知直線y=ax介于切線l與x軸之間→利用導(dǎo)數(shù)求出直線l的斜率，數(shù)形結(jié)合即可求解.√由題意可作出函數(shù)y=|f(x)|的圖象和函數(shù)y=ax的圖象，如圖所示.由圖象可知，函數(shù)y=ax的圖象是過原點(diǎn)的直線，函數(shù)y=|f(x)|在區(qū)間(-∞，0]上的解析式為y=x2-2x，求其導(dǎo)數(shù)可得y'=2x-2，當(dāng)x=0時(shí)，y'=-2，故y=x2-2x在原點(diǎn)處的切線l的斜率為-2，當(dāng)直線y=ax介于l與x軸之間時(shí)，符合題意，故直線y=ax的斜率a的取值范圍是[-2，0].解析方程的根可通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；不等式f(x)<g(x)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖象的位置關(guān)系.規(guī)律方法方法二利用數(shù)學(xué)概念、表達(dá)式的幾何意義求解最值、范圍問題向量、復(fù)數(shù)、圓錐曲線等數(shù)學(xué)概念具有明顯的幾何意義，可利用圖形觀察求解有關(guān)問題；靈活應(yīng)用一些幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，如斜率、距離公式等.

例2

√

解析應(yīng)用幾何意義法解決問題需要熟悉常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，主要有：①比值——可考慮直線的斜率；②二元一次式——可考慮直線的截距；③根式分式——可考慮點(diǎn)到直線的距離；④根式——可考慮兩點(diǎn)間的距離.規(guī)律方法方法三幾何動(dòng)態(tài)問題中的數(shù)形結(jié)合對(duì)一些幾何動(dòng)態(tài)中的代數(shù)求解問題，可以結(jié)合各個(gè)變量的形成過程，找出其中的相互關(guān)系求解.

例3思路分析

由函數(shù)y=xln

x與y=-xln

x的圖象可知，點(diǎn)P位于圖中陰影部分區(qū)域→點(diǎn)P到直線x-y-m=0(m∈R)的最大距離的最小值為函數(shù)y=-xln

x上切線斜率為1的點(diǎn)到直線x-y-1=0的距離的一半→求解即可.

解析

解析

解析幾何圖形有關(guān)的最值問題，通常是利用函數(shù)的觀點(diǎn)，建立函數(shù)解析式求解，但一味地強(qiáng)調(diào)函數(shù)觀點(diǎn)，有時(shí)使思維陷入僵局，此時(shí)若能合理利用圓錐曲線的定義，以形助數(shù)，會(huì)使問題變得特別簡(jiǎn)單.規(guī)律方法專題訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1.(2025·長沙檢測(cè))已知a是單位向量，向量b滿足|a-b|=3，則|b|的最大值為A.2 B.4 C.3 D.1√

解析2.(2020·新高考Ⅰ卷)若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是A.[-1，1]∪[3，+∞) B.[-3，-1]∪[0，1]C.[-1，0]∪[1，+∞) D.[-1，0]∪[1，3]√因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)=0.又f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)=0，畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖(1)所示，則函數(shù)f(x-1)的大致圖象如圖(2)所示.當(dāng)x≤0時(shí)，要滿足xf(x-1)≥0，則f(x-1)≤0，得-1≤x≤0.解析當(dāng)x>0時(shí)，要滿足xf(x-1)≥0，則f(x-1)≥0，得1≤x≤3.故滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是[-1，0]∪[1，3].解析

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解析當(dāng)-1<k≤1時(shí)，g(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)k>1時(shí)，g(x)恰有3個(gè)零點(diǎn)，要使得g(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則滿足-1<k≤1，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-1，1].解析二、多項(xiàng)選擇題9.(2025·昆明模擬)某高中為了迎接國慶的到來，在國慶前一周舉辦了“迎國慶，向未來”的趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中共有12名同學(xué)參加拔河、4人足球、羽毛球三個(gè)項(xiàng)目，其中有8人參加“拔河”，有7人參加“4人足球”，有5人參加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都參加的有4人，“拔河和羽毛球”都參加的有3人，“4人足球和羽毛球”都參加的有3人，則A.三項(xiàng)都參加的有1人

B.只參加拔河的有3人C.只參加4人足球的有2人

D.只參加羽毛球的有4人√√根據(jù)題意，設(shè)A={x|x是參加拔河的同學(xué)}，B={x|x是參加4人足球的同學(xué)}，C={x|x是參加羽毛球的同學(xué)}，則card(A)=8，card(B)=7，card(C)=5，又card(A∩B)=4，card(A∩C)=card(B∩C)=