1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)(一次函數(shù))

的增長差異.2.理解對數(shù)增長、直線上升、指數(shù)爆炸。3.了解函數(shù)的建模過程。學(xué)習(xí)目標4.4.3

不同函數(shù)增長的差異指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)，對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)，一元一次函數(shù)y=kx(k>0)，雖然它們都是增函數(shù)，但增長方式存在很大差異，這種差異正是不同類型現(xiàn)實問題具有不同增長規(guī)律的反映.下面就來研究一次函數(shù)y=kx，k>0，指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)，對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)在定義域內(nèi)增長方式的差異.

我們采用由特殊到一般，由具體到抽象的研究方法.一.以函數(shù)y=2x與y=2x為例研究指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)增長方式的差異

xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386·········觀察兩個函數(shù)圖象及其增長方式回答下面問題：1、兩圖象的交點是什么？2、兩圖象的關(guān)系是什么？3、總結(jié)兩圖象增長變化情況？4、請大家想象一下，取更大的x值，在更大的范圍內(nèi)兩個函數(shù)圖象的關(guān)系？綜上：雖然函數(shù)y=2x與y=2x都是增函數(shù)，但是它們的增長速度不同，函數(shù)y=2x的增長速度不變，但是y=2x的增長速度改變，先慢后快.隨著自變量取值越來越大，函數(shù)y=2x的圖象幾乎與x軸垂直，函數(shù)值快速增長，函數(shù)y=2x的增長速度保持不變，和y=2x的增長相比幾乎微不足道.

盡管在x的一定范圍內(nèi)，2x<2x，但由于y=2x的增長最終會快于y=2x的增長，因此，總會存在一個x0，當(dāng)x>x0時，恒有2x>2x.5、類比上述能否推廣到一般情況？推廣：一般地指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)與一次函數(shù)y=kx(k>0)的增長都與上述類似.即使k值遠遠大于a值，指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)雖然有一段區(qū)間會小于y=kx(k>0)，但總會存在一個x0，當(dāng)x>x0時，y=ax(a>1)的增長速度會大大超過y=kx(k>0)的增長速度.二.以函數(shù)y=lgx與

為例研究對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)增長方式的差異.

xy=lgx0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786·········y=lgxy=lgx觀察兩個函數(shù)圖象及其增長方式回答下面問題：1、根據(jù)圖象分析兩函數(shù)增長快慢？2、將y=lgx擴大1000倍，y=1000lgx與

比較，是否仍有上述規(guī)律？3、x的一定范圍內(nèi)，比較lgx與0.1x

的

大小，是否存在一個x0，恒有0.1x>lgx。4、類比上述能否推廣到一般情況？y=1000lgx與

圖象雖然函數(shù)y=lgx與

在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度存在明顯差異.

在(0,+∞)上增長速度不變，y=lgx在(0,+∞)上的增長速度在變化.

隨著x的增大，

的圖象離x軸越來越遠，而函數(shù)y=lgx的圖象越來越平緩，就像與x軸平行一樣.推廣：一般地，雖然對數(shù)函數(shù)

與一次函數(shù)y=kx(k>0)在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同.

隨著x的增大，一次函數(shù)y=kx(k>0)保持固定的增長速度，而對數(shù)函數(shù)

的增長速度越來越慢.

不論a值比k值大多少，在一定范圍內(nèi)，可能會大于kx，但由于

的增長會慢于kx的增長，因此總存在一個x0，當(dāng)x>x0時，恒有

.推廣：討論交流“直線上升”“對數(shù)增長”“指數(shù)爆炸”的含義.直線上升：增長速度不變，是一個固定的值；對數(shù)增長：增長速度越來越慢，圖象越來越平緩，就像與x軸平行一樣；指數(shù)爆炸：增長速度越來越快，以相同倍數(shù)增加，圖象越來越陡，最終就像與x軸垂直一樣.比較y=2xy=x2y=log2x的圖像冪函數(shù)模型：冪函數(shù)y=xn(n>0)的增長速度介于指數(shù)增長和對數(shù)增長之間.xyo1124y=2xy=x2y=log2x三種函數(shù)的增長速度比較(1)在區(qū)間(0,+∞)上,函數(shù)y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函數(shù),但增長速度不同.(2)在區(qū)間(0,+∞)上隨著x的增大,函數(shù)y=ax(a>1)的增長速度越來越快,會超過并遠遠大于y=xn(n>0)的增長速度,而函數(shù)y=logax(a>1)的增長速度則會越來越慢.(3)存在一個x0,使得當(dāng)x>x0時,有l(wèi)ogax<xn<ax.類型一函數(shù)增長速度的差異(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)類型二函數(shù)增長速度的比較(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)例2

函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象如圖所示.設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應(yīng)的函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，判斷f(6)，g(6)，f(2022)，g(2022)的大小.甲、乙、丙三個公司分別到慈善總會捐款給某災(zāi)區(qū),捐款方式如下:甲公司:在10天內(nèi),每天捐款5萬元給災(zāi)區(qū);乙公司:在10天內(nèi),第1天捐款1萬元,以后每天比前一天多捐款1萬元;丙公司:在10天內(nèi),第1天捐款0.1萬元,以后每天捐款都比前一天翻一番.你覺得哪個公司捐款最多?分析:分別計算三個公司在10天內(nèi)的捐款總數(shù).解:三個公司在10天內(nèi)捐款情況如下表所示.

某民營企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤與投資的函數(shù)模型為y=k1x,B產(chǎn)品的利潤與投資的函數(shù)模型為y=k2xα(利潤和投資的單位為百萬元),其關(guān)系分別如圖①,圖②所示.(1)分別求出A,B兩種產(chǎn)品的利潤與投資的函數(shù)關(guān)系式;(2)該企業(yè)已籌集到資金1千萬元,并準備全部投入到A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)中,問怎樣分配這1千萬元,才能使企業(yè)獲得最大利潤,其最大利潤為多少?(精確到萬元)某民營企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤與投資的函數(shù)模型為y=k1x,B產(chǎn)品的利潤與投資的函數(shù)模型為y=k2xα(利潤和投資的單位為百萬元)練1

當(dāng)我們在做化學(xué)實驗時，常常需要將溶液注入容器中，當(dāng)溶液注入容器(設(shè)單位時間內(nèi)流入的溶液量相同)時，溶液的高度隨著時間的變化而變化，在圖中請選擇與容器相匹配的圖象，A對應(yīng)___；B對應(yīng)___；C對應(yīng)__；D對應(yīng)___.

練2

下列選項是四個不同形狀，但高度均為H的玻璃瓶.已知向其中一個水瓶注水時，注水量與水深的函數(shù)關(guān)系如圖所示，試確定水瓶的形狀是選項中的(

)

1.由特殊到一般，由具體到抽象研究了一次