2026年高等數(shù)學(xué)隨機(jī)過程基礎(chǔ)練習(xí)試題沖刺卷考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分班級(jí)：__________姓名：__________學(xué)號(hào)：__________得分：__________試卷名稱：2026年高等數(shù)學(xué)隨機(jī)過程基礎(chǔ)練習(xí)試題沖刺卷考核對(duì)象：高等院校理工科專業(yè)學(xué)生（中等級(jí)別）題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-簡(jiǎn)答題（3題，每題4分）總分12分-應(yīng)用題（2題，每題9分）總分18分總分：100分一、判斷題（每題2分，共20分）請(qǐng)判斷下列命題的正誤。1.隨機(jī)過程是隨機(jī)變量族的無限擴(kuò)展。2.獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列必然滿足大數(shù)定律。3.若隨機(jī)過程{X(t)}的均值函數(shù)E[X(t)]存在且有限，則其必為平穩(wěn)過程。4.Wiener過程（布朗運(yùn)動(dòng)）的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)均為時(shí)間t的線性函數(shù)。5.馬爾可夫過程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率僅依賴于當(dāng)前狀態(tài)，與歷史狀態(tài)無關(guān)。6.隨機(jī)過程的二階矩矩陣完全決定了其均值函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)。7.平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)是自協(xié)方差函數(shù)的傅里葉變換。8.若隨機(jī)過程{X(t)}是寬平穩(wěn)的，則其任意兩個(gè)時(shí)刻的增量X(t?)-X(t?)均服從零均值正態(tài)分布。9.超過程（Superprocess）是具有無限維馬爾可夫?qū)傩缘碾S機(jī)過程。10.中心極限定理適用于任意獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，其極限分布均為正態(tài)分布。二、單選題（每題2分，共20分）請(qǐng)選擇唯一正確的選項(xiàng)。1.下列哪個(gè)過程是嚴(yán)格平穩(wěn)的？A.X(t)=t+N(t)，其中N(t)是均值為0的噪聲B.X(t)=sin(ωt+θ)，θ均勻分布于[0,2π]C.X(t)=t^2+ε(t)，ε(t)是白噪聲D.X(t)=acos(ωt)+bsin(ωt)，a,b為常數(shù)2.Wiener過程的二階矩E[X(t)2]等于？A.tB.2tC.t2D.2t23.馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣P滿足？A.Pij≥0,∑jPij=1B.Pij=PjiC.Pij=0或1D.Pij=Pji且∑jPij=14.平穩(wěn)隨機(jī)過程的自協(xié)方差函數(shù)γX(t?,t?)滿足？A.γX(t?,t?)=γX(t?,t?)B.γX(t?,t?)=γX(t?-t?)C.γX(t?,t?)=0當(dāng)t?≠t?D.γX(t?,t?)=E[(X(t?)-E[X(t?)])(X(t?)-E[X(t?)])]5.超過程的定義特征是？A.具有有限維分布B.具有無限維馬爾可夫?qū)傩訡.均值函數(shù)為常數(shù)D.自協(xié)方差函數(shù)為時(shí)間差的函數(shù)6.隨機(jī)過程{X(t)}的均值函數(shù)m(t)=E[X(t)]，則其平穩(wěn)性的必要條件是？A.m(t)=m(t+τ)B.E[X(t)2]<∞C.E[X(t)X(t+τ)]=γ(τ)D.X(t)是正態(tài)過程7.布朗運(yùn)動(dòng)的增量X(t?)-X(t?)的分布特征是？A.正態(tài)分布，均值0，方差t?-t?B.指數(shù)分布，均值t?-t?C.均勻分布，區(qū)間[-√(t?-t?),√(t?-t?)]D.超幾何分布8.馬爾可夫過程的狀態(tài)空間可以是？A.連續(xù)集合B.離散集合C.離散或連續(xù)D.僅非負(fù)實(shí)數(shù)9.隨機(jī)過程{X(t)}的功率譜密度S(f)與自協(xié)方差函數(shù)γ(τ)的關(guān)系是？A.S(f)=γ(τ)的傅里葉逆變換B.S(f)=γ(τ)的傅里葉變換C.S(f)=|γ(τ)|2D.S(f)=γ(τ)的拉普拉斯變換10.超過程的典型應(yīng)用領(lǐng)域是？A.時(shí)間序列分析B.隨機(jī)控制理論C.量子場(chǎng)論D.隨機(jī)微分方程三、多選題（每題2分，共20分）請(qǐng)選擇所有正確的選項(xiàng)。1.嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程滿足的條件包括？A.均值函數(shù)m(t)為常數(shù)B.自協(xié)方差函數(shù)γ(τ)僅依賴于時(shí)間差τC.任意有限維分布相同D.增量X(t?)-X(t?)獨(dú)立同分布2.Wiener過程的性質(zhì)包括？A.均值函數(shù)為0B.自協(xié)方差函數(shù)γ(τ)=min(t,τ)C.增量獨(dú)立同分布D.功率譜密度為S(f)=1/(2πf)3.馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布π滿足？A.πP=πB.∑iπi=1C.πi>0D.πi=Pijπj4.隨機(jī)過程{X(t)}的平穩(wěn)性定義包括？A.均值函數(shù)m(t)不隨時(shí)間變化B.自協(xié)方差函數(shù)γ(τ)僅依賴于τC.任意兩個(gè)時(shí)刻的聯(lián)合分布不隨時(shí)間變化D.增量獨(dú)立同分布5.超過程的特征包括？A.無限維馬爾可夫?qū)傩訠.可表示為多個(gè)獨(dú)立隨機(jī)過程的疊加C.均值函數(shù)為時(shí)間t的函數(shù)D.自協(xié)方差函數(shù)具有長(zhǎng)程相關(guān)性6.隨機(jī)過程{X(t)}的功率譜密度S(f)的性質(zhì)包括？A.S(f)≥0B.S(f)的傅里葉逆變換為自協(xié)方差函數(shù)C.S(f)的積分等于1D.S(f)僅反映過程的高頻成分7.馬爾可夫過程的分類包括？A.時(shí)間齊次馬爾可夫過程B.空間齊次馬爾可夫過程C.非齊次馬爾可夫過程D.有限狀態(tài)馬爾可夫鏈8.隨機(jī)過程{X(t)}的各態(tài)歷經(jīng)性條件包括？A.均值函數(shù)的時(shí)間平均等于統(tǒng)計(jì)平均B.自協(xié)方差函數(shù)的時(shí)間平均等于統(tǒng)計(jì)平均C.過程必須嚴(yán)格平穩(wěn)D.時(shí)間平均存在且有限9.布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)包括？A.增量獨(dú)立同分布B.自協(xié)方差函數(shù)γ(τ)=τC.均值函數(shù)為0D.功率譜密度為S(f)=1/(2πf)10.超過程的應(yīng)用場(chǎng)景包括？A.量子場(chǎng)論中的粒子產(chǎn)生B.隨機(jī)波動(dòng)方程的解C.時(shí)間序列中的長(zhǎng)程相關(guān)性分析D.金融衍生品定價(jià)四、簡(jiǎn)答題（每題4分，共12分）1.簡(jiǎn)述嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程與寬平穩(wěn)隨機(jī)過程的區(qū)別。2.解釋馬爾可夫過程的“無記憶性”含義。3.隨機(jī)過程的功率譜密度有什么物理意義？五、應(yīng)用題（每題9分，共18分）1.設(shè)隨機(jī)過程{X(t)}的均值函數(shù)m(t)=2t，自協(xié)方差函數(shù)γ(τ)=3e^(-2|τ|)，證明{X(t)}是寬平穩(wěn)的。2.考慮一個(gè)離散時(shí)間馬爾可夫鏈，狀態(tài)空間為{1,2,3}，轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=[[0.7,0.2,0.1],[0.3,0.4,0.3],[0.2,0.3,0.5]]求該鏈的平穩(wěn)分布。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.正確。隨機(jī)過程是隨機(jī)變量在時(shí)間域上的無限序列。2.錯(cuò)誤。獨(dú)立同分布僅保證大數(shù)定律成立，需滿足方差有界。3.錯(cuò)誤。均值函數(shù)有限不能保證平穩(wěn)性，需自協(xié)方差函數(shù)僅依賴時(shí)間差。4.錯(cuò)誤。均值函數(shù)為0，協(xié)方差函數(shù)為t2。5.正確。馬爾可夫性質(zhì)定義。6.錯(cuò)誤。二階矩矩陣僅決定部分特征，需均值函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)。7.正確。功率譜密度是自協(xié)方差函數(shù)的傅里葉變換。8.錯(cuò)誤。寬平穩(wěn)要求增量獨(dú)立同分布，但未必正態(tài)。9.正確。超過程是無限維馬爾可夫過程。10.錯(cuò)誤。中心極限定理要求方差存在且有限。二、單選題1.B.正弦函數(shù)是嚴(yán)格平穩(wěn)的。2.A.E[X(t)2]=t。3.A.轉(zhuǎn)移概率矩陣的基本性質(zhì)。4.A.自協(xié)方差函數(shù)的對(duì)稱性。5.B.超過程的定義特征。6.A.平穩(wěn)性的均值函數(shù)不變性。7.A.布朗運(yùn)動(dòng)增量正態(tài)分布，方差為時(shí)間差。8.C.狀態(tài)空間可離散或連續(xù)。9.B.功率譜密度與自協(xié)方差函數(shù)的傅里葉變換關(guān)系。10.C.量子場(chǎng)論中典型應(yīng)用。三、多選題1.A,B,C.嚴(yán)格平穩(wěn)的定義。2.B,C,D.Wiener過程的性質(zhì)。3.A,B,C.平穩(wěn)分布的性質(zhì)。4.A,B,C.平穩(wěn)性的定義。5.A,B,D.超過程的特征。6.A,B,D.功率譜密度的性質(zhì)。7.A,C,D.馬爾可夫過程分類。8.A,B.各態(tài)歷經(jīng)性條件。9.A,B,C.布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。10.A,B,C.超過程的應(yīng)用。四、簡(jiǎn)答題1.嚴(yán)格平穩(wěn)要求任意有限維分布相同，寬平穩(wěn)僅要求均值函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)不依賴時(shí)間。2.無記憶性指當(dāng)前狀態(tài)僅依賴歷史狀態(tài)，與更早狀態(tài)無關(guān)（如馬爾可夫鏈）。3.功率譜密度反映過程能量在頻率上的分布，用于分析過程的高頻特性。五、應(yīng)用題1.證明寬平穩(wěn)：-均值函數(shù)m(t)=2t，不依賴時(shí)間差，滿足。-自協(xié)方差函數(shù)γ(τ)