上海市盧灣高級中學2026屆數(shù)學高二上期末預測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.20 B.30C.40 D.503．在下列各圖中，每個圖的兩個變量具有相關關系的圖是（）A.（1）（2） B.（1）（3）C.（2） D.（2）（3）4．下圖稱為弦圖，是我國古代三國時期趙爽為《周髀算經》作注時為證明勾股定理所繪制，我們新教材中利用該圖作為“（）”的幾何解釋A.如果，，那么B.如果，那么C.對任意實數(shù)和，有，當且僅當時等號成立D.如果，那么5．已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，其公比為q，前n項和為，滿足，且是與的等差中項，則下列選項正確的是（）A. B.C D.6．函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.7．已知，若是函數(shù)一個零點，則的值為()A.0 B.C.1 D.8．在正項等比數(shù)列中，，，則（）A27 B.64C.81 D.2569．已知數(shù)列是公差為等差數(shù)列，，則（）A.1 B.3C.6 D.910．甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機地排成一行，則甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為（）A. B.C. D.11．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中點，則AM與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.12．已知等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列前6項的和（）A.510 B.126C.256 D.512二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為拋物線：的焦點，為拋物線上在第一象限的點.若為的中點，為拋物線的頂點，則直線斜率的最大值為______.14．已知過點作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB經過拋物線C的焦點F，則___________15．已知p：“”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是_________.16．分別過橢圓的左、右焦點、作兩條互相垂直的直線、，它們的交點在橢圓的內部，則橢圓的離心率的取值范圍是________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）一項“過關游戲”規(guī)則規(guī)定：在第關要拋擲一顆正六面體骰子次，每次擲得的點數(shù)均相互獨立，如果這次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于，則算過關.（1）這個游戲最多過幾關？（2）某人連過前兩關的概率是？（3）某人連過前三關的概率是？18．（12分）已知數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和19．（12分）如圖所示，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，（1）證明：；（2）若點E是棱的中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值20．（12分）已知圓與直線相切（1）求圓O的標準方程；（2）若線段AB的端點A在圓O上運動，端點B的坐標是，求線段AB的中點M的軌跡方程21．（12分）如圖，在棱長為2的正方體中，，分別為線段，的中點.（1）求點到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值.22．（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M為PC上一點，且PM＝2MC.（1）求證：BM∥平面PAD；（2）若AD＝2，PD＝3，∠BAD＝60°，求三棱錐P-ADM的體積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由題意，即在區(qū)間上有兩個異號零點，令，利用函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系判斷單調性，數(shù)形結合即可求解【詳解】解：由題意，即在區(qū)間上有兩個異號零點，構造函數(shù)，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，又時，，時，，且，所以，即，所以的范圍故選：D2、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列前項和的性質進行求解即可.【詳解】因為是等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，顯然，故選：B3、D【解析】根據(jù)圖形可得（1）具有函數(shù)關系；（2）（3）的散點分布在一條直線或曲線附近，具有相關關系；（4）的散點雜亂無章，不具有相關關系.【詳解】對（1），所有的點都在曲線上，故具有函數(shù)關系；對（2），所有的散點分布在一條直線附近，具有相關關系；對（3），所有的散點分布在一條曲線附近，具有相關關系；對（4），所有的散點雜亂無章，不具有相關關系.故選：D.4、C【解析】設圖中直角三角形邊長分別為a，b，則斜邊為，則可表示出陰影面積和正方形面積，根據(jù)圖象關系，可得即可得答案.【詳解】設圖中全等的直角三角形的邊長分別為a，b，則斜邊為，如圖所示：則四個直角三角形的面積為，正方形的面積為，由圖象可得，四個直角三角形面積之和小于等于正方形的面積，所以，當且僅當時等號成立，所以對任意實數(shù)和，有，當且僅當時等號成立.故選：C5、D【解析】根據(jù)題意求得，即可判斷AB，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可判斷C；再根據(jù)等比數(shù)列前項和公式即可判斷D.【詳解】解：因為各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，，所以，又因是與的等差中項，所以，即，解得或（舍去），故B錯誤；所以，故A錯誤；所以，故C錯誤；所以，故D正確.故選：D.6、A【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域及零點的情況即可得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，則排除選項、,當時，，則在上單調遞減，且，，由零點存在定理可知在上存在一個零點，則排除，故選：.7、A【解析】首先根據(jù)題意求出，然后設函數(shù)，利用以及的單調性，并結合對數(shù)運算即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，不妨設，()，故，從而，易知在上單調遞增，故，即，從而.故選：A.8、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出公比，進而求得答案.【詳解】設的公比為，則（負值舍去），所以.故選：C.9、D【解析】結合等差數(shù)列的通項公式求得.【詳解】設公差，.故選：D10、A【解析】先求出所有的基本事件，再求出甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式求解即可【詳解】甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機地排成一行有種方法，甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的排法為先將甲、乙捆綁在一起，再與戊進行排列，然后丙、丁從3個空中選2個空插入，則共有種方法，所以甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為，故選：A11、B【解析】取的中點，以為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，即可根據(jù)線面角的向量公式求出【詳解】如圖所示，取的中點，以為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，不妨設，則，所以，平面的一個法向量為設AM與平面所成角為，向量與所成的角為，所以，即AM與平面所成角的正弦值為故選：B12、B【解析】設等比數(shù)列的公比為，由題設條件，求得，再結合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，因為，，可得，解得，所以數(shù)列前6項的和.故選：B.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的前項和公式的應用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項公式和求和公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】由題意，可得，設，，，根據(jù)是線段的中點，求出的坐標，可得直線的斜率，利用基本不等式即可得結論【詳解】解：由題意，可得，設，，，，是線段的中點，則，，，當且僅當時取等號，直線的斜率的最大值為1故答案為：114、【解析】設出點的坐標，與拋物線方程聯(lián)立，結合題意和韋達定理，求得拋物線的方程為，直線AB的方程為，進而求得的值.【詳解】設，在拋物線，過切點A與拋物線相切的直線的斜率為，則以為切點的切線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，整理得，所以，解得，所以以為切點的切線方程為，即，同理，設，在拋物線，過切點B與拋物線相切的直線，又因為在切線和，所以，所以直線AB的方程為，又直線AB過拋物線的焦點，所以令，可得，即，所以拋物線的方程為，直線AB的方程為，聯(lián)立方程組，整理得或，所以，所以.故答案為：.15、【解析】根據(jù)條件將問題轉化不等式在上有解，則，由此求解出的取值范圍.【詳解】因為“”為真命題，所以不等式在上有解，所以，所以，故答案為：.16、【解析】根據(jù)條件可知以為直徑的圓在橢圓的內部，可得，再根據(jù)，即可求得離心率的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知，以為直徑的圓與橢圓沒有交點，即，即，，即.故填：.【點睛】本題考查橢圓離心率的取值范圍，求橢圓離心率是常考題型，涉及的方法包含1.根據(jù)直接求，2.根據(jù)條件建立關于的齊次方程求解，3.根據(jù)幾何關系找到的等量關系求解.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）關（2）（3）【解析】（1）由題意，可判斷時，，當，所以可判斷出最多只能過關；（2）記一次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于為事件，兩次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于為事件，得基本事件的總數(shù)以及滿足題意的基本事件的個數(shù)，計算出，，從而根據(jù)概率相乘求解得連過前兩關的概率；（3）設前兩次和為，第三次點數(shù)為，列出第三關過關的基本事件的個數(shù)，利用概率相乘即可得連過前三關的概率.【小問1詳解】因為骰子出現(xiàn)的點數(shù)最大為，當時，，而，所以時，這次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和均小于，所以最多只能過關.【小問2詳解】記一次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于為事件，基本事件總數(shù)為個，符合題意的點數(shù)為，共個，所以；記兩次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于為事件，基本事件總數(shù)為個，不符合題意的點數(shù)為，共個，則由對立事件的概率得，所以連過前兩關的概率為;【小問3詳解】前兩次和為，第三次點數(shù)為則考慮再考慮2種3種4種5種6種5種4種3種2種1種所以滿足共有因此某人連過前三關的概率是.18、（1）（2）【解析】（1）當時，由，可得，兩式相減化簡可求得通項，（2）由（1）得，然后利用裂項相消法可求得結果【小問1詳解】因為，所以時，，兩式作差得，，所以時，，又時，，得，符合上式，所以的通項公式為【小問2詳解】由（1）知，所以即數(shù)列的前n項和19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證出平面，即可證得；（2）以A為原點，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，根據(jù)二面角的向量公式即可求出【小問1詳解】如圖，連接，由已知可得四邊形是正方形，所以在直三棱柱中，平面平面，交線為，在中，可知，所以平面，于因為，所以平面，而平面，所以【小問2詳解】如圖所示，以A為原點，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，于是設平面的法向量為，則，可取而平面的一個法向量為，所以故平面與平面所成銳二面角的余弦值為20、（1）（2）【解析】(1)由圓心到直線的距離等于半徑即可求出.(2)由相關點法即可求出軌跡方程.【小問1詳解】已知圓與直線相切，所以圓心到直線的距離為半徑．所以，所以圓O的標準方程為：【小問2詳解】設因為AB的中點是M，則，所以，又因A在圓O上運動，則，所以帶入有：，化簡得：．線段AB的中點M的軌跡方程為:.21、（1）；（2）.【解析】（1）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.可根據(jù)題意寫出各個點的坐標，進而求出平面的法向量和的坐標，點到平面的距離.計算即可求出答案.（2）由（1）知平面的法向量，在把平面的法向量表示出來，平面與平面夾角的余弦值為，計算即可求出答案.【小問1詳解】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系.由于正方體的棱長為2和，分別為線段，的中點知，.設平面的法向量為..則..故點到平面的距離.【小問2詳解】平面的法向量，平面與平面夾角的余弦值.22、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）過M作MN∥CD交PD于點N，證明四邊形ABMN為平行四邊形，即可證明BM∥平面PAD.（2）過B作AD的垂線，垂足為E，證明BE⊥平面PAD，在利用VP-ADM＝VM-PAD求三棱錐P-ADM的體積.【詳解】解：（1）證明：如圖，過M作MN∥CD交PD于點N，連接AN.∵PM＝2MC，