第23講等腰三角形與直角三角形【構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)】知識點(diǎn)1等腰三角形性質(zhì)邊1.等腰三角形的兩腰相等2.三線合一：等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合角等腰三角形的兩個底角相等，即等邊對等角對稱性等腰三角形是軸對稱圖形，一般有一條對稱軸判定定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形定理：有兩角相等的三角形是等腰三角形(簡寫成“等角對等邊”)面積S＝ah(其中a為底邊，h為底邊上的高)知識點(diǎn)2等邊三角形性質(zhì)邊等邊三角形的三邊相等，每邊上三線合一角等邊三角形的三個角都相等且每個角都等于60°對稱性等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸判定1.三條邊都相等的三角形是等邊三角形2.三個角都相等的三角形是等邊三角形3.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形面積知識點(diǎn)3直角三角形性質(zhì)1.兩銳角之和等于90°2.斜邊上的中線等于斜邊的一半3.30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；三邊比為1∶∶24.勾股定理：若直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，則有a2＋b2＝c2判定1.有一個角為90°的三角形是直角三角形2.勾股定理逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形3.有兩個角互余的三角形是直角三角形面積S＝ab＝ch(a，b分別為兩條直角邊的長，c為斜邊的長，h為斜邊c上的高)知識點(diǎn)4等腰直角三角形性質(zhì)1.具有直角三角形的所有性質(zhì)2.兩直角邊相等；三邊之比為1∶1∶3.兩銳角相等且都等于45°判定1.頂角為90°的等腰三角形是等腰直角三角形2.有兩個角為45°的三角形是等腰直角三角形3.有一個角為45°的直角三角形是等腰直角三角形4.兩直角邊相等的直角三角形是等腰直角三角形面積知識點(diǎn)5線段的垂直平分線、角的平分線的性質(zhì)與判定線段的垂直平分線性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等判定定理與線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一個點(diǎn)與三個頂點(diǎn)的距離相等，這個點(diǎn)叫做三角形的外心角的平分線性質(zhì)定理角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等判定定理角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三角形三條邊的距離相等，這個點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心考點(diǎn)1等腰三角形的性質(zhì)和判定(5年6地22考)1．[2023·包頭]如圖，直線a∥b，直線l與直線a，b分別相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C在直線b上，且CA＝CB.若∠1＝32°，則∠2的度數(shù)為()A．32°B．58°C．74°D．75°2．[2024·呼和浩特]如圖，正方形ABCD的面積為50，以AB為腰作等腰△ABF，AB＝AF，AE平分∠DAF交DC于點(diǎn)G，交BF的延長線于點(diǎn)E，連接DE.若BF＝2，則DG＝_____．3．[2022·包頭]如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D為AB邊上一點(diǎn)，且BD＝BC，連接CD，以點(diǎn)D為圓心，DC的長為半徑作弧，交BC于點(diǎn)E(異于點(diǎn)C)，連接DE，則BE的長為_______．考點(diǎn)2等腰三角形的分類討論(5年6地2考)1．[通遼中考]腰長為5，高為4的等腰三角形的底邊長為____________．解析：①如圖1，當(dāng)AB＝AC＝5，AD＝4，則BD＝CD＝3，∴底邊長為6；2．[呼和浩特中考]等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為___________．63°或27°考點(diǎn)3等邊三角形的性質(zhì)與判定(5年6地18考)1．[2023·通遼]如圖，等邊三角形ABC的邊長為6cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，過點(diǎn)P作PQ⊥AB，交邊AC于點(diǎn)Q，以PQ為邊作等邊三角形PQD，使點(diǎn)A，D在PQ異側(cè)，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時，點(diǎn)P需移動__s.12．[2021·包頭]如圖，已知△ABC是等邊三角形，P是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，連接BP，CP.解：(1)如圖1，連接BD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝60°.∵∠BCD＝∠BAP，CD＝AP，∴△ABP≌△CBD，∴BP＝BD，∠ABP＝∠CBD.∵∠ABP＋∠PBC＝60°，∴∠CBD＋∠PBC＝60°，∴∠CBD＋∠PBC＝60°，∴∠DBP＝60°，∴△DBP是等邊三角形，∴∠BPD＝60°.∵BC為半圓O的直徑，∴∠BPC＝90°，∴∠CPD＝30°；(3)如圖3，延長MP交AB于點(diǎn)H，連接AP，過點(diǎn)P作PN⊥AC，垂足為N，∵AB＝6a，AM＝2MC，∴AM＝4a.∵∠CMP＝150°，∴∠AMH＝30°.∵∠BAC＝60°，∴∠AHM＝90°.考點(diǎn)4直角三角形的性質(zhì)與判定(5年6地22考)1．[2024·呼倫貝爾]如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點(diǎn)M和點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長交BC于點(diǎn)D.若△ACD的面積為8，則△ABD的面積是()A．8B．16C．12D．243．[赤峰中考]如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段DE上的一點(diǎn)，連接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，則EF的長是()A．2B．3C．4D．5考點(diǎn)6垂直平分線的性質(zhì)與判定(5年6地8考)1．[呼倫貝爾中考]如圖，AB＝AC，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，若∠C＝65°，則∠DBC的度數(shù)是()A．25°B．20°C．30°D．15°2．[2022·鄂爾多斯]如圖，在△ABC中，邊BC的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，連接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，則△ADC的周長是__．63．[2022·通遼]如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，求∠α的度數(shù)___°.601．[2025·揚(yáng)州]在如圖的房屋人字梁架中，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上，下列條件不能說明AD⊥BC的是()A．∠ADB＝∠ADCB．∠B＝∠CC．BD＝CDD．AD平分∠BAC2．[2025·陜西]如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD為AB邊上的中線，DE⊥AC，則圖中與∠A互余的角共有()A．2個B．3個C．4個D．5個4．[2025·北京]如圖，∠MON＝100°，點(diǎn)A在射線OM上，以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑畫弧，交射線ON于點(diǎn)B.若分別以點(diǎn)A，B為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧在∠MON內(nèi)部交于點(diǎn)C，連接AC，則∠OAC的大小為()A．80°B．100°C．110°D．120°5．[2025·連云港]如圖，在△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點(diǎn)D，E，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)F，G，則△AEG的周長為()A．5B．6C．7D．87．[2025·廣西]如圖，點(diǎn)A，D在BC同側(cè)，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD＝，則AD＝_______.8．[2025·蘇州]如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝60°，D是線段BC上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)B，C重合)，連接AD，以AD為邊，在AD的右側(cè)作等邊三角形ADE，線段DE與線段AC交于點(diǎn)F，則線段CF長度的最大值為____．解析：如圖所示，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，在Rt△AHC中，∠C＝60°，∠AHC＝90°，AC＝3，∴AH＝AC·sinC＝.∵△ADE是等邊三角形，∴∠ADE＝60°＝∠C.又∵∠DAC＝∠FAD，∴△DAC∽△FAD，9．[2025·齊齊哈爾]等腰三角形紙片ABC中，AB＝AC，將紙片沿直線l折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，直線l交AB于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E，連接BE，若AE＝5，tan∠AED＝，則△BEC的面積為________．解析：當(dāng)∠BAC為銳角時，如圖1，根據(jù)題意，得∠ADE＝90°，∴設(shè)AD＝3x，則DE＝4x.∵AE＝5，∴AD2＋DE2＝AE2，即(3x)2＋(4x)2＝52，解得x＝1，∴AD＝3，DE＝4.由折疊得AB＝2AD＝6，∴AC＝6，10．[2025·長沙]如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交CA于點(diǎn)M，交CB于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線CP交AB于點(diǎn)D.(1)求∠BCD的度數(shù)；(2)若BC＝2.5，求AD的長．解：(1)∵AB＝AC，∠B＝72°，∴∠ACB＝∠B＝72°.由作圖可知，CD是∠ACB的角平分線，∴∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝36°；(2)在△BCD中，由三角形內(nèi)角和定理得∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝72°，∴∠BDC＝∠B，∴CD＝CB.在△ACD中，∵∠BDC＝∠A＋∠ACD，∠ACD＝36°，∴∠A＝∠BDC－∠ACD＝72°－36°＝36°，∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AD＝BC.∵BC＝2.5，∴AD＝2.5.11．[2025·福建]如圖，△ABC是等邊三角形，D是AB的中點(diǎn)，CE⊥BC，垂足為C，EF是由CD沿CE方向平移得到的．已知EF過點(diǎn)A，BE交CD于點(diǎn)G.(1)求∠DCE的大小；(2)求證：△CEG是等邊三角形．解：(1)∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°.∵D是AB的中點(diǎn)，∴∠DCB＝∠DCA＝∠ACB＝30°.∵CE