第二章等式與不等式2.1.1等式的性質(zhì)與方程的解集《人教B版2019高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》知識(shí)點(diǎn)一.等式的性質(zhì)二.重要恒等式三.方程的解集

等式的兩邊同時(shí)加上、減去同一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立；

等式的兩邊同時(shí)乘以、除以（不為零）同一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，等

式仍成立．12a2－b2＝(a＋b)(a－b)；(a±b)2＝a2±2ab＋b2；a3±b3＝(a±b)(a2

?ab＋b2)；(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.1234方程的解（或根）是指能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．一般地，把一個(gè)方程所有解組成的集合稱為這個(gè)方程的解集．（初中知識(shí)）（等價(jià)變形）（運(yùn)用等式性質(zhì)求解、寫出方程解集）導(dǎo)入觀察：1.3

32.3

43.M

N4.M

N≠=≠=結(jié)論：

等號(hào)兩邊的兩個(gè)運(yùn)算數(shù)一定表示同一個(gè)量.

等號(hào)兩邊的兩個(gè)運(yùn)算數(shù)若為數(shù)，則是同一個(gè)數(shù).

等號(hào)兩邊的兩個(gè)運(yùn)算數(shù)若為代數(shù)式，則只是代數(shù)式表示形式不同導(dǎo)出：

通過(guò)結(jié)論，我們可以得出今天的知識(shí)點(diǎn)一和知識(shí)點(diǎn)二

知識(shí)點(diǎn)一一.等式的性質(zhì)

等式的兩邊同時(shí)加上、減去同一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立；

等式的兩邊同時(shí)乘以、除以（不為零）同一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，等

式仍成立．12（初中知識(shí)）嘗試與發(fā)現(xiàn)

用符號(hào)語(yǔ)言和量詞表示上述等式的性質(zhì)：

(1)如果a=b，則對(duì)于任意c，都有(2)如果a=b，則對(duì)于任意不為零的c，都有若a=b，則?c，a±c=b±c若a=b，則?c，ac=bc×/×/如果從量詞的角度對(duì)以上六個(gè)等式進(jìn)行分類的話，可以知道等式

對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立,而等式

是存在實(shí)數(shù)使其成立.二.重要恒等式a2－b2＝(a＋b)(a－b)；(a±b)2＝a2±2ab＋b2；a3±b3＝(a±b)(a2

?ab＋b2)；(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.1234（等價(jià)變形）嘗試與發(fā)現(xiàn)

補(bǔ)全下列（1）（2）中的兩個(gè)公式，然后將下列含有字母的等式進(jìn)行分類，并說(shuō)出分類的標(biāo)準(zhǔn)：（1）a2－b2＝

（平方差公式）（2）(a±b)2＝

（兩數(shù)和的平方公式）（3）3x-6=0（4）(a+b)c=ac+bc（5）m(m-1)=0（6）t3+1=(t+1)(t2-t+1)(a＋b)(a－b)a2±2ab＋b2

(1)(2)(4)(6)

(3)(5)(3)只有x=2時(shí)成立知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二結(jié)論：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意實(shí)數(shù)時(shí)等式都成立，則稱其為恒等式，也稱等式兩邊恒等.恒等式是進(jìn)行代數(shù)變形的依據(jù)之一.例如，因?yàn)?x+y)2=x2+2xy+y2對(duì)于任意x，y都成立，所有可用其他代數(shù)式去替換其中的x，y，等式仍會(huì)成立，若用-z替換其中的y，則(x-z)2=x2+2x(-z)+(-z)2=x2-2xz+z2由此就得到了以前學(xué)過(guò)的兩數(shù)差的平方公式。知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用

解

（方法一）利用兩數(shù)和（差）的平方公式展開(kāi)，然后合并同類項(xiàng)，即(2x+1)2-(x-1)2=4x2+4x+1-(x2-2x+1)=3x2+6x

（方法二）可以將2x+1和x-1分別看成一個(gè)整體，然后使用平方差公式，即(2x+1)2-(x-1)2=[(2x+1)+(x-1)][(2x+1)-(x-1)]=3x(x+2)=3x2+6x知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用檢測(cè)：1.分解因式a2＋8ab－33b2得()A．(a＋11)(a－3)B．(a＋11b)(a－3b)C．(a－11b)(a－3b)

D．(a－11b)(a＋3b)B提問(wèn)：你是怎么得到的正確答案？蒙的？將答案進(jìn)行展開(kāi)合并同類項(xiàng)？（二次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)只要有一項(xiàng)對(duì)不上就錯(cuò)）十字相乘法？十字相乘法列恒等式經(jīng)常會(huì)用到的恒等式：對(duì)任意的x,a,b,都有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab為什么？答

將左邊展開(kāi)然后合并同類項(xiàng)即可同理：給定式子x2+Cx+D,如果能找到a和b，使得D=ab且C=a+b，則

x2+Cx+D=(x+a)(x+b)

為解題方便，可用十字相乘法分解因式，如圖：

例如：對(duì)于式x2+5x+6來(lái)說(shuō)，以為2×3=6且2+3=5，所以x2+5x+6=（x+2)(x+3)十字相乘法嘗試與發(fā)現(xiàn)

證明恒等式(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

并由此探討Ex2+Fx+G的因式分解方法.例如：

對(duì)于3x2+11x+10來(lái)說(shuō)，因?yàn)?×3=3，2×5=10，1×5+3×2=11，如圖所示，所以

3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)十字相乘法應(yīng)用：把下列各式因式分解：(1)6x2＋11x－7；(2)x＋5－6y(x>0，y>0)；(3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2.解：

(1)由十字相乘法,得：

6x2＋11x－7=(2x-1)(3x+7)

解：

(3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2=(x+y+2z)(x+y-3z)方程的解集我們知道，方程的解（或根）是指能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．一般地，把一個(gè)方程所有解組成的集合稱為這個(gè)方程的解集．例1

方程

3x+5=?1

的解集為

{?2}.例2

求方程x2-5x+6=0得解集解

因?yàn)閤2-5x+6=(x-2)(x-3),所以原方程可化為

(x-2)(x-3)=0,

從而可知x-2=0或x-3=0,即x=2或x=3,因此所求解集為

{2,3}.例2說(shuō)明，如果一個(gè)一元二次方程可以通過(guò)因式分解華為(x-x1)(x-x2)=0的形式，那么就能方便的求出原方程的解集了。方程的解集例3

求關(guān)于x的方程ax=2的解集，其中a是常數(shù).思考？

能直接在等式ax=2的兩邊同時(shí)除以a，從而得到x=嗎？為什么？

基礎(chǔ)題型解下列方程，并寫出其解集(1)2(x-1)+3=5(2)解

(1)2(x-1)+3=5

經(jīng)過(guò)去括號(hào)→移項(xiàng)→合并同類項(xiàng)→系數(shù)化為1，得

方程得解集為{2}解

(2)方程得解集為{-15}

強(qiáng)調(diào)：移項(xiàng)要變號(hào)，去分母時(shí)兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)，檢驗(yàn)（可選，

基礎(chǔ)題可省略，復(fù)雜題必做）

易錯(cuò)題解方程

，并寫出其解集解

利用等式性質(zhì)2去分母，兩邊同乘(x-1)，轉(zhuǎn)化為整式方程2=x-1，

解得x=3；

核心步驟：檢驗(yàn)，將(x=3)代入原分式分母，3-1≠0，故解集為{3}易錯(cuò)警示：分式方程去分母時(shí)，默認(rèn)分母不為0，因此必須檢驗(yàn)，避免出現(xiàn)增根（如解方程

，易忽略分母不為0，誤得解集{2}，實(shí)際無(wú)解，解集為?）拓展提升已知關(guān)于x的方程ax=2的解集為{1}，求a的值；

若解集為空集，求a的取值。

思路引導(dǎo)：結(jié)合等式性質(zhì)2，分a≠0和a=0討論，培養(yǎng)分類討論意識(shí)，為后續(xù)含參

方程學(xué)習(xí)鋪墊。解：

（1）已知方程ax=2的解集為{1}，說(shuō)明x=1是方程的解，將x=1代入方程：a×1=2，解得：a=2。解：

（2）對(duì)于一元一次方程ax=b，當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，方程無(wú)解（解集為空集）。

在方程ax=2中，b=2≠0，因此當(dāng)a=0時(shí)，方程變?yōu)?×x=2，無(wú)實(shí)數(shù)解，解

集為空集。綜上，a的取值為0。課堂小結(jié)①核心知識(shí)：等式2條性質(zhì)（牢記除法除不為0）