問題解決活動：最短距離初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）八年級下冊第三章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)1.能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題.2.體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想.(重點(diǎn)、難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)1.如圖1，連接A，B兩點(diǎn)的所有連線中，哪條最短？為什么？2.如圖2，點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)P與直線l上各點(diǎn)連接的所有線段中，哪條最短？為什么？情境引入“牧民飲馬”問題1問題1

如圖，點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A，B的距離之和最短？提示如圖，連接AB，與直線l相交于點(diǎn)C.由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知，C點(diǎn)即為所求.問題2

如果點(diǎn)A，B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，又應(yīng)該如何解決？提示如圖，(1)作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B'；(2)連接AB'，與直線l相交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求.問題3

對于問題2，如何將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B'處，滿足直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB'的長度相等？提示利用軸對稱作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B'.問題4

你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？提示如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C'(與點(diǎn)C不重合).連接AC'，BC'，B'C'，由軸對稱的性質(zhì)知，BC=B'C，BC'=B'C'.∴AC+BC=AC+B'C=AB'，AC'+BC'=AC'+B'C'.在△AB'C'中，AB'<AC'+B'C'，∴AC+BC<AC'+BC'，即AC+BC最短.問題5

證明AC+BC最短時(shí)，為什么要在直線l上任取一點(diǎn)C'(與點(diǎn)C不重合)，證明AC+BC<AC'+BC'？這里“C'”的作用是什么？提示若直線l上任意一點(diǎn)C'(與點(diǎn)C不重合)與A，B兩點(diǎn)的距離之和都大于AC+BC，就說明AC+BC最小.點(diǎn)C'表示直線l上除點(diǎn)C外的任意一點(diǎn).例1如圖，軍官從軍營C出發(fā)先到河邊(河流用AB表示)飲馬，再去同側(cè)的D地開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？你能解決這個(gè)著名的“將軍飲馬”問題嗎？下列給出了四個(gè)圖形，你認(rèn)為符合要求的圖形是√解析由選項(xiàng)D中圖可知，作D點(diǎn)關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D'，連接CD'交AB于點(diǎn)N，由對稱性可知，DN=D'N，∴CN+DN=CN+D'N≥CD'，當(dāng)C，N，D'三點(diǎn)共線時(shí)，CN+DN的距離最短.跟蹤訓(xùn)練1

(1)如圖，已知點(diǎn)D，E分別是等邊△ABC中BC，AB邊上的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動點(diǎn)，則BF+EF的最小值為A.7.5 B.5C.4 D.不能確定√解析如圖，連接CE，CF，因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，即點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線AD對稱.因?yàn)辄c(diǎn)F在AD上，所以BF=CF.即求BF+EF的最小值可轉(zhuǎn)化為求CF+EF的最小值，線段CE的長即為BF+EF的最小值，CE=AD=5.(2)如圖，邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A(3，2)，B(1，3).點(diǎn)P在x軸上，當(dāng)PA+PB的值最小時(shí)，在圖中畫出點(diǎn)P.解如圖，作出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B'，連接AB'交x軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P就是所求的點(diǎn).造橋選址問題2問題6如圖，A，B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直)提示如圖，平移點(diǎn)A到A1，使AA1等于河寬，連接A1B交河岸于點(diǎn)N，作橋MN，此時(shí)路徑AM+MN+BN最短.理由：根據(jù)題意任作一線段M1N1，連接AM1，BN1，A1N1.由平移性質(zhì)可知，AM=A1N，AA1=MN=M1N1，AM1=A1N1，AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為AA1+A1B，而AM1+M1N1+BN1轉(zhuǎn)化為AA1+A1N1+BN1.在△A1N1B中，因?yàn)锳1N1+BN1>A1B.因此AM1+M1N1+BN1>AM+MN+BN.例2

如圖，P，Q兩村之間隔著兩條河，需要架設(shè)兩座橋，橋與河岸垂直.設(shè)兩條河的寬度相同且保持不變，則橋建在何處才能使兩村之間的路程最短？(保留作圖痕跡，不寫作法)解如圖所示.(1)過點(diǎn)P作PA⊥l1，垂足為A，過點(diǎn)Q作QB⊥l4，垂足為B；(2)分別在PA和QB上截取PC=QD=河的寬度；(3)連接CD，分別交l2和l3于點(diǎn)E和M；(4)過點(diǎn)E和M分別作l1和l4的垂線段，垂足分別為F和N；(5)連接PF和QN.則橋建在FE和MN處才能使兩村之間的路程最短.跟蹤訓(xùn)練2為貫徹國家城鄉(xiāng)建設(shè)一體化和要致富先修路的理念，某市決定修建道路和一座橋，方便張莊A和李莊B的群眾出行到河岸a.張莊A和李莊B位于一條河流的同一側(cè)，河的兩岸是平行的直線，經(jīng)測量，張莊A和李莊B到河岸b的距離分別為AC=1

000

m，BD=2

000

m，且CD=3

000

m，如圖所示.現(xiàn)要求：建造的橋長要最短，然后考慮兩村莊到河流另一側(cè)橋頭的路程之和最短，則這座橋應(yīng)建造在C，D之間距離C

m處.(河岸邊上的點(diǎn)到河對岸的距離都相等)1

000解析如圖，作B點(diǎn)關(guān)于直線b的對稱點(diǎn)B'，連接AB'交直線b于點(diǎn)P，∴BP=B'P，∴AP+BP=AP+B'P=AB'，此時(shí)P點(diǎn)到A與B的距離和最小，過B'作B'M∥CD，延長AC與B'M交于點(diǎn)M，∴B'M=CD，跟蹤訓(xùn)練2為貫徹國家城鄉(xiāng)建設(shè)一體化和要致富先修路的理念，某市決定修建道路和一座橋，方便張莊A和李莊B的群眾出行到河岸a.張莊A和李莊B位于一條河流的同一側(cè)，河的兩岸是平行的直線，經(jīng)測量，張莊A和李莊B到河岸b的距離分別為AC=1

000

m，BD=2

000

m，且CD=3

000

m，如圖所示.現(xiàn)要求：建造的橋長要最短，然后考慮兩村莊到河流另一側(cè)橋頭的路程之和最短，則這座橋應(yīng)建造在C，D之間距離C

m處.(河岸邊上的點(diǎn)到河對岸的距離都相等)1

000解析∵AC=1

000

m，BD=2

000

m，且CD=3

000

m，∴AM=1

000+2

000=3

000(m)=MB'，∴∠CAP=45°，∴AC=CP，∴P點(diǎn)與C點(diǎn)的距離是1

000

m.課堂小結(jié)1.如圖，點(diǎn)P是直線a外一點(diǎn)，A，B，C，D都在直線上，PB⊥a于B，下列線段最短的是A.PA B.PCC.PD

D.PB課堂練習(xí)√2.如圖，已知∠MON=60°，P為∠MON內(nèi)一點(diǎn)，OM上有一點(diǎn)A，ON上有一點(diǎn)B，當(dāng)△PAB的周長取最小值時(shí)，∠APB的度數(shù)為A.40° B.60°

C.100°

D.120°

√解析如圖，分別作出點(diǎn)P關(guān)于OM，ON的對稱點(diǎn)P1，P2，連接P1P2分別交OM，ON于A，B兩點(diǎn)，此時(shí)△PAB的周長最小，由題意可知∠P1PP2=180°-∠MON=180°-60°=120°，∴∠P1PA+∠P2PB=∠P1+∠P2=180°-∠P1PP2=60°，∴∠APB=120°-60°=60°.課堂練習(xí)3.如圖，在正方形網(wǎng)格中，M，N為小正方形頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過小正方形頂點(diǎn)A，B，C，D，在直線l上求一點(diǎn)P使PM+PN最短，則點(diǎn)P應(yīng)位于A.點(diǎn)A處 B.點(diǎn)B處C.點(diǎn)C處 D.點(diǎn)D處√解析如圖，作N關(guān)于l的對稱點(diǎn)E，連接ME，交l于點(diǎn)C，∴NE的垂直平分線為l，∴CN=CE，∴PM+PN=PM+PE≥ME，即點(diǎn)P應(yīng)位于點(diǎn)C處.課堂練習(xí)4.在四邊形ABCD中，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若P，Q分別是BD，BC上的動點(diǎn)，當(dāng)CP+PQ取得最小值時(shí)，PQ與CP的數(shù)量關(guān)系為

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CP=2PQ課堂練習(xí)4.在四邊形ABCD中，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若P，Q分別是BD，BC上的動點(diǎn)，當(dāng)CP+PQ取得最小值時(shí)，PQ與CP的數(shù)量關(guān)系為

.解析∴∠PBC=∠BCP，∴PB=PC