三角形的證明及其應用第2節(jié)等腰三角形第1課時等腰三角形的性質定理學習目標

1.通過回顧全等三角形判定、平行線性質等舊知識，能獨立選擇輔助線，嚴謹證明等腰三角形“等邊對等角”的性質，并嘗試至少兩種不同證法.2.通過逆向思維探究和例題分析，能理解反證法的核心邏輯，并用反證法獨立完成1-2個簡單幾何命題的證明.教學設計的基本環(huán)節(jié)協(xié)作破冰問題構建情境啟航教師示范鞏固拓展當堂檢測反思總結作業(yè)設計情境啟航

問題:優(yōu)秀班集體是對一個班集體的整體表現的綜合評價.不難看出，右邊的圖是按照大家熟悉的某種圖形設計的，為什么要選它來設計呢？它究竟又怎樣的特征呢？問題構建

數學抽象原來是一個等腰三角形！問題1:我們曾經探索過等腰三角形的一些性質,你還記得這些性質嗎？等腰三角形兩底角相等，三線合一，軸對稱圖象.追問1:以兩底角相等為例,過去的學習中是怎樣研究的？動手折疊，觀察兩底角的重合情況問題構建

問題背景:動手折疊的結果可以直觀感受兩個底角相等,你能利用學習過的知識,嚴謹地證明這個結論嗎？定理等腰三角形的兩底角相等.這一定理可以簡述為:等邊對等角.追問2:對于類似的自然語言型證明，我們需要經歷哪幾個步驟？畫圖→書寫已知和求證→研究證明思路→規(guī)范書寫證明過程→反思思考追問3:結合折紙的過程思考，證明的核心思路是什么？兩個角相等轉化三角形全等問題構建

已知：如圖,在△ABC中,AB=AC.求證：∠B=∠C問題2:為了證明∠B和∠C所屬的三角形全等，應該先構造兩個三角形,你打算怎樣做輔助線？證明：取BC的中點D，連接AD.∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴△ABD?△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形的對應角相等）找到底邊BC的中點D，連接AD即可得到兩個三角形進行證明問題構建

問題3:除了構造BC中點的方法,你還有其他方法構造三角形證明全等嗎？

問題構建

問題3:除了構造BC中點的方法,你還有其他方法構造三角形證明全等嗎？

協(xié)作破冰一、三種證法的相同點1.核心思路一致：都是通過添加輔助線構造

再利用全等三角形的

證明∠B=∠C.2.都用到了公共邊

作為全等證明的條件之一.3.最終結論相同：都證明了等腰三角形的兩個底角

全等三角形對應角相等AD相等二、三種證法在輔助線上的不同點分別作了底邊上的高線、底邊上的中線、頂角的角平分線三、這三種輔助線有什么特殊的位置關系？在等腰三角形中，三條線是重合的.協(xié)作破冰如圖,在△ABC中,已知∠B≠∠C，此時AB與AC要么相等,要么不相等.假設AB=AC,那么根據定理“等邊對等角”可得∠C=∠B,這與已知條件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC.在證明時,先假設命題的結論不成立,然后推導出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結果,從而證明命題的結論一定成立,這種證明方法稱為反證法.協(xié)作破冰例2用反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是直角.證明：假設∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角,不妨設∠A和∠B是直角,即∠A=90°，∠B=90°.于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°這與三角形內角和定理相矛盾,因此“∠A和∠B是直角”的假設不成立.所以,一個三角形中不能有兩個角是直角.已知:△ABC.求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個角是直角.協(xié)作破冰例3求證：在同一平面內,如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交,那么和另一條也相交.已知:

求證:

假設____________,那么_________.這與“______________________________________________________”矛盾.所以___________,即求證的命題正確.證明:因為已知_________,

P

經過直線外一點,有且只有一條直線與已知直線平行假設不成立

教師示范反證法解題模板【步驟1：明確命題】已知：[題目給出的已知條件]求證：[題目要求證明的結論]【步驟2：提出反設】假設命題的結論不成立,即寫出結論的反面：例如:若結論是“不能有兩個角是直角”，則反設為“有兩個角是直角”；若結論是“AB≠AC”,則反設為“AB=AC”【步驟3：推導矛盾】從反設出發(fā),結合已知條件、定義、基本事實或已有定理,進行邏輯推導,最終得到一個與已知條件、定理、定義或基本事實相矛盾的結果.【步驟4：否定反設】因為推導出現了矛盾,所以“假設結論不成立”的這個反設是錯誤的.【步驟5：肯定原結論】既然反設不成立，那么原命題的結論一定成立教師示范如圖,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于點D，過點D作BC的平行線,交AB于點E,請判△BDE的形狀,并說明理由.解：△BDE是等腰三角形.∵BD平分∠ABC（已知）∴∠EBD=∠CBD（角平分線的定義）∵DE∥BC（已知）∴∠EDB=∠CBD（兩直線平行，內錯角相等）?！唷螮BD=∠EDB（等量代換）∴EB=ED（等角對等邊）∴△BDE是等腰三角形（等腰三角形的定義：兩邊相等的三角形是等腰三角形）鞏固拓展問題4:在上一個問題中，題目中出現了3個概念，你能找出是哪三個嗎？角平分線、平行線、等腰三角形追問:你能嘗試總結三者之間關系嗎？1.正向模型（角平分線+平行線→等腰三角形）當一條角平分線與一條平行線組合時,必然會構造出一個等腰三角形.用符號表示：角平分線+平行線?等腰三角形2.逆向模型（等腰三角形+平行線→角平分線）3.逆向模型（等腰三角形+角平分線→平行線）鞏固拓展已知:如圖,∠CAE是△ABC的外角,AD∥BC，且∠1=∠2.求證:AB=AC證明∵AD∥BC（已知）∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等）∴∠2=∠C（兩直線平行，內錯角相等）∵∠1=∠2（已知）∴∠B=∠C（等量代換）∴AB=AC（等角對等邊）本節(jié)課，我們也初步感受了等腰三角形的相關判定方法，下節(jié)課進行星系學習.當堂檢測

當堂檢測

當堂檢測

B

當堂檢測

A.

2.2米

B.

2.4米

C.

2.6米

D.

2.8米兩手將繩拉直，繩長即合適長度.將圖1抽象成如圖2，若兩手握住的繩柄兩端距離約為1米，小臂到地面的距離約1.2米，則適合小華的繩長為(

)C反思總結1.回顧“等邊對等角”的多種證明方法，你覺得哪種輔助線的構造思路最自然？它和你之前學過的哪類知識聯(lián)系最緊密？2.對比直接證明和反證法的使用場景，你認為什么時