專題08數(shù)列通項常考技巧匯總10大題型

內(nèi)容導(dǎo)航

熱點聚焦方法精講能力突破

熱點聚焦·析考情

鎖定熱點，靶向攻克：聚焦高考高頻熱點題型，明確命題趨勢下的核心考查方向。

題型引領(lǐng)·講方法

系統(tǒng)歸納，精講精練：歸納對應(yīng)高頻熱點題型的解題策略與實戰(zhàn)方法技巧。

能力突破·限時練

實戰(zhàn)淬煉，高效提分：精選熱點經(jīng)典題目，限時訓(xùn)練，實現(xiàn)解題速度與準(zhǔn)確率雙重躍升。

近三年：1、數(shù)列通項的求法是近3年的高考命題熱點，常以解答題為主，但也會考察選擇填空題，?？疾?/p>

內(nèi)容、頻率、題型、難度較為穩(wěn)定，重點是已知Sn與an之間的關(guān)系，以及構(gòu)造等差等比數(shù)列求通項．

預(yù)測2026年：數(shù)列通項的求法考一道中檔試題，第一問求數(shù)列的通項，第二問考察數(shù)列求和的常用方法。

熱點題型：

題型01利用Sn與an的關(guān)系求數(shù)列的通項題型02利用累加法求數(shù)列通項

題型03利用累乘法求數(shù)列通項

題型04一階線性遞推關(guān)系利用加常數(shù)求數(shù)列通項

題型05一階線性遞推一次函數(shù)型an1panqnr(p1,q0)

題型含指數(shù)冪型遞推關(guān)系式n或n1

06ankan1Apankan1Ap

pan

題型07分式型遞推關(guān)系式an1

qanr

pq

題型08平方式遞推型anran1

題型09二階線性遞推關(guān)系an1panqan1（n2）

題型10已知數(shù)列前n項積求通項

題型01利用Sn與an的關(guān)系求數(shù)列的通項

解｜題｜策｜略

S,n1

①1，要注意驗證與兩種情況能否統(tǒng)一

ann1n2.

SnSn1,n2

②已知與的關(guān)系式，記為，求它的通項公式，一般有兩種思路：

Snanfan,Sn0an

（）消：容易直接求的情況，可利用階差公式，消去，轉(zhuǎn)化為等差或等

1Snan:SnSn1ann2Sn

比數(shù)列直接求出；

an

（）消：難以直接求的情況，可利用階差公式，消去，得出與的

2anan:anSnSn1n2anSnSn1

遞推關(guān)系式，先求出后，即可轉(zhuǎn)化為第種情形，從而間接求出，

Sn“1”an

【精選例題】

n1

a12a22ann

【例1】（多選題）定義H為數(shù)列an的“優(yōu)值”．已知某數(shù)列an的“優(yōu)值”Hn2，

nn

前n項和為Sn，下列關(guān)于數(shù)列an的描述正確的有（）

S20222025

A．?dāng)?shù)列a為等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列a為遞增數(shù)列C．D．S2，S，S成等差數(shù)列

nn2022246

【答案】ABC

n1

a12a22annn1n

【詳解】由已知可得H2，所以a12a22ann2，①所以n2時，

nn

n2n1n1nn1n1

a12a22an1n12，②得n2時，2ann2n12n12，即n2時，

ann1，

當(dāng)n1時，由①知a12，滿足ann1．所以數(shù)列an是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，故A正確，B

nn3Snn3S20222025

正確，所以S，所以，故，故C正確．S25，S414，S627，S2，

n2n220222

S4，S6不是等差數(shù)列，故D錯誤，故選：ABC．

111

【例2】設(shè)數(shù)列a滿足aaaan1，則a的前n項和（）

n1222232n1nn

A．2n1B．2n1C．2nD．2n11

【答案】C

1111

【詳解】解：當(dāng)n1時，a2，當(dāng)n2時，由aaaaan1得

11222232n2n12n1n

2,n1

1111=n-1

a1a2a3an1n，兩式相減得，an1，即an2，綜上，ann1

2222n22n12,n2

n1

n1212n

所以an的前n項和為2248222，故選：C.

12

n

【例3】無窮數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足Sn2，則下列結(jié)論中正確的有（）

A．a(chǎn)n為等比數(shù)列B．a(chǎn)n為遞增數(shù)列C．a(chǎn)n中存在三項成等差數(shù)列D．a(chǎn)n中偶數(shù)項成等比數(shù)列

【答案】D

nnn1n1

【詳解】解：無窮數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足Sn2n2，anSnSn1222，當(dāng)n1時，

12,n1,

a1S122，不符合上式，ann1所以an不是等比數(shù)列，故A錯誤；又a1a22，所以an

2,n2,

不是遞增數(shù)列，故B錯誤；假設(shè)數(shù)列an中存在三項ar,am,as成等差數(shù)列，由于a1a22，則

*m1r1s1mr1s1rm1sm1

r,m,sN,2rms，所以得：2amaras2222222，則122，

sm1rm1rm1sm1

又sm1021且20恒成立，故式子122無解，an中找不到三項成等差數(shù)列，

2n1

a2

2n1*2(n1)

故C錯誤；a2n2(nN)，2n14a2n是等比數(shù)列，即an中偶數(shù)項成等比數(shù)列，故

an2

D正確.故選：D．

*

【例4】數(shù)列an的前n項和為Sn32an,nN，則S5（）

16211865

A．B．C．D．

81812727

an2

【答案】B【詳解】因為Sn32an，所以，n2時，Sn132an1，兩式相減得，an2an12an，即，

an13

2

1()5

2211

，因為S32a，即a1，所以數(shù)列{a}是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則S3．故

n2111n152

3181

3

選：B．

2333

【例5】數(shù)列an的各項均不為0，前1357項均為正數(shù),且有：a1a2ana1a2an,則

202320232023

a1a2a2022的可能取值個數(shù)為（）

A．665B．666C．1330D．1332

232233

【答案】B【詳解】當(dāng)n1,2時,a1a1,a12a1a2a2a1a2,因為數(shù)列an的前1357項均為正數(shù),所以

2333

a11,a22,設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,所以Sna1a2an①,則

2233332233

Sn1Snan1a1a2anan1②,②-①得:Snan1Snan1,化簡得an12Snan1an1,若

22

an0,2Snan1an1③,則2Sn1anann2④,③-④得an1anan1an10,因為數(shù)列an的前

1357項均為正數(shù),所以a2a11,an1an11n1357,nN,即數(shù)列an是以1為首項,1為公差的等差數(shù)

202320232023

列,所以ann1n1357,nN,所以a1a2a1357為定值.由an1anan1an10可得:從

a1358項到a2021項,連續(xù)兩項之間有兩種情況:an1an0或an1an1,根據(jù)相反數(shù)的立方和為零可得每增加

20221358

兩項，可能結(jié)果增加兩種；而第1358項有兩種可能；所以最后結(jié)果的個數(shù)可能為:22666

2

種.故選:B.

*

【例6】設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,a11，且2Snan11nN.若對任意的正整數(shù)n，都有

n

a1bna2bn1a3bn2anb13n1成立，則滿足等式b1b2b3bnan的所有正整數(shù)n為（）

A．1或3B．2或3C．1或4D．2或4

*

【答案】A【詳解】2Snan11,nN，n2時，2Sn1an1，相減可得：2anan1an，即an13an(n2)

又n1時，2S1a21，解得a23，滿足a23a1，數(shù)列an是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，所以

n1*n

an3,nN．對任意正整數(shù)n，都有a1bna2bn1a3bn2anb13n1成立，得

2n1n2nn1

bn3bn13bn23b13n1①，又bn13bn3bn13b13(n1)1②，②－①×3得：

**2

bn12n1,nN，又a1b13111，所以b11，得bn2n1,nN，進而b1b2b3bnn，

22

2n1nn416

由b1b2b3bnan，得n3，即1，記f(n)，則f(1)1,f(2),f(3)1,f(4)，

3n13n1327

(n1)2n22n22n12n(1n)1

以下證明n4時，f(n)1，因為f(n1)f(n)0，即n4時，

3n3n13n3n

fn單調(diào)遞減，f(n)1，綜上可得，滿足等式b1b2b3bnan的所有正整數(shù)n的取值為1或3．故

選：A．

12a

n

【例7】已知數(shù)列an的前n項和是Sn，滿足2對nN*成立，則下列結(jié)論正確的是（）

Snan1

2

A．a(chǎn)11B．a(chǎn)n一定是遞減數(shù)列C．?dāng)?shù)列Sn是等差數(shù)列D．a(chǎn)202320242023

12a11

n

【答案】AC【詳解】由2得：2Snan，當(dāng)n2時，anSnSn1，則2SnSnSn1，

Snan1anSnSn1

12S

22122

整理得SnSn11，顯然2，則S11，因此數(shù)列Sn是等差數(shù)列，首項為1，公差為1，C正確；

S1S11

222

a1S11，解得a11，A正確；Sn1(n1)1n，當(dāng)Sn0時，Snn，當(dāng)n2時，annn1，

11

a1滿足上式，因此ann1，此時an，an1，aa，a是遞減數(shù)

1nnn1n1nn1nn

列，當(dāng)Sn0時，Snn，當(dāng)n2時，annn1，a11滿足上式，因此annn1，此

11

時an，an1，an1an，a是遞增數(shù)列，B錯誤；當(dāng)S0時，ann1，

nn1n1nnnn

，當(dāng)時，，，錯誤故選：

a202320232022Sn0annn1a202320232022D.AC

【例8】記數(shù)列an的前n項和Sn，Sn(n1)ann(n1)．

(1)求an的通項公式；

111

(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn，證明：Tn．

anan184

【答案】(1)an2n；(2)證明見解析【詳解】（1）因為Sn(n1)ann(n1)，當(dāng)n2時，Sn1nan1n(n1)，

則anSnSn1(n1)ann(n1)nan1n(n1)(n1)annan12n，故nannan12n，即anan12，

當(dāng)n1時，有a1S111a112，即a12，故an是公差、首項均為2的等差數(shù)列，故an22(n1)2n．

11111

（2）由（1）得an2n，故，則

anan12n(2n2)4nn1

11111111111111

Tn11．因為Tn1，故Tn，又y在

422334nn14n14n14x1

1111111

[1,)上單調(diào)遞減，故Tn1隨n的增大而增大，故TnT11，綜上，Tn．

4n1411884

【例9】已知Sn為數(shù)列an的前n項和，且an2Sn1．

(1)求數(shù)列an的通項公式；

1

(2)設(shè)Tn為數(shù)列(2n1)a的前n項和，求證：T1．

n3n

n

【答案】1；證明見解析

(1)an(2)

3

1

【詳解】（1）an2Sn1，a2S1(n2)，兩式相減，得aa2a0，aa(n2)，

n1n1nn1nn3n1

11n1n

又當(dāng)時，，為等比數(shù)列，公比為，n1111

n1a1{an}qana1q.

33333

2n11n132n11132n32n1

（2）設(shè)bn(2n1)an(2n1)()，Tn，則Tn，兩式相

3n33323n332333n3n1

211112n11112n1n1

*

減，得Tn2(23n)n1(1n1)n1，化簡得Tn1．∵nN，Tn1，

33333333333n

n2n1n23(n1)n22n121

T1，Tn1Tn0，T關(guān)于n單調(diào)遞增，(Tn)minT11，

n13n13n3n13n13n1n33

1

T1

3n

【變式訓(xùn)練】

n

*

1.定義：（nN）為n個正數(shù)P1，P2，…，Pn的“均倒數(shù)”，若數(shù)列an的前n項的“均倒數(shù)”

P1P2Pn

1

為，則數(shù)列a的通項公式為（）

3n1n

A．a(chǎn)n3n1B．a(chǎn)n6n2C．a(chǎn)n6n4D．a(chǎn)n6n5

n1aaa

【答案】C【詳解】由題意，，所以12n3n1，所以

a1a2an3n1n

a1a2an(3n1)n，即a1a2an1(3n4)(n1)(n2)，當(dāng)n2時，

111

an(3n1)n(3n4)(n1)6n4，又因為，即a12，滿足上式，所以an6n4.故選：

a13112

C.

2

2n3n5n

2.已知數(shù)列an滿足2a2a2a，數(shù)列an的前n項和為Sn，則下列結(jié)論錯誤的是（）

12n2

n

A．a(chǎn)1的值為2B．?dāng)?shù)列an的通項公式為an3n12

3n7

C．?dāng)?shù)列a為遞減數(shù)列D．S7

nn2n

【答案】B【詳解】當(dāng)n1時，2a14，∴a12，故A正確；當(dāng)n2時，

2223n1

2n13n15n1，∴n3n5n3n15n1，∴，

2a2a2a2a3n1ann

12n12n222

3n1

∵上式對n1也成立，∴a（nN），故B錯誤；

n2n

3n43n13n46n23n2

∵aa0，∴數(shù)列a為遞減數(shù)列，故C正確；

n1n2n12n2n12n1n

47103n1147103n1

∵S，∴S，兩式相減得，

n222232n2n2223242n1

11113n1113n173n13n7

Sn2323，∴Sn7，故D正確．故

222232n2n122n2n122n12n

選：B．

n1

3.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a12a22ann，則下列說法不正確的是（）

A．{an}可能為等差數(shù)列B．{an}一定為等比數(shù)列

2

C．nN,使得Sn3D．a(chǎn)n的最小值為22

an

n1n2

【答案】ACD【詳解】首先由題意a11，由a12a22ann，得n2時，a12a22an1n1，

n111

相減得2an1，a，a1也適合，所以a，數(shù)列{a}是等比數(shù)列，不是等差數(shù)列，A錯，B

n2n11n2n1n

1

1

n122

正確；S222，所以不存在nN*，使得S3，C錯；a0，a2a22．當(dāng)

n12n1nnnn

1anan

2

21

且僅當(dāng)a，即時，等號成立，但，因此取不到．錯誤，故選：．

nan2ann1222DACD

an2

2

an1*

4.設(shè)正數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足2SnnN，則下列說法不正確的是（）

an

．．．．

Aa2021a20221Ba2021a20221Ca202222022Da202222022

2

a11

【答案】BD【詳解】依題意2a1，解得a11，S11，并且Sn0，SnSn1ann2，

a1

2

SS1

代入遞推公式得：nn1，化簡得：22，2是首項為，公差為的等差數(shù)

2SnSnSn11Sn11

SnSn1

2

列，Snn，Snn，當(dāng)n=1時，S11也成立，Snn，Sn1n1n2，annn1，

1

經(jīng)檢驗n=1時，a1也成立，annn1；對于A，

1nn1

1111

a2022a20211，故A正確，B錯誤；對于C，

20222021202120202202022020

a20222022202122022，故C正確，D錯誤；故選：BD.

nan

5.設(shè)S和Tn分別為數(shù)列a和b的前n項和.已知2S3a，b，則（）

nnnnnn3

SnS

n31n

A．a(chǎn)n是等比數(shù)列B．bn是遞增數(shù)列C．D．2

an2Tn

【答案】ACD【詳解】由2Sn3an，當(dāng)n1時，2S13a1，即a11，又2Sn13an1，∴2Sn12Snanan1，

n1

11nan

即，∴a是首項為，公比為的等比數(shù)列，故，正確；由n，則

3an1ann1anAbnn

3333

n1n12n3a31S3n1

，即是遞減數(shù)列，錯誤；又n，則n，

bn1bnn1nn10bnBSn1nC

333223an2

12n1n112n1n

正確；T①，T②，①-②得：

n3323n13n3n32333n3n1

11

1

21111n33nn11n31n

T1，∴Tn10，則

n23nn11n1nn143n23n

33333313233

3

31n31nS

n

2TnSn1nn1nn0，∴2，D正確.故選：ACD.

233233Tn

an

6.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn2an2，則數(shù)列的前100項和T100．

an1an2

11

【答案】【詳解】因為S2a2，所以S2a2,n2，故n2時，兩式相減得，

221001nnn1n1

an2an2an1即an2an1,n2，因為S12a12，即a12，所以數(shù)列an是以2為首項，以2為公比的

n

等比數(shù)列，所以an2，

a2n22n

n11

nnn1n2nn1

1an2an122222222222

1111111111

T10022.故答案

2212222222232210022101422101212100

11

為:.

212100

2n*

7．已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且an0，2Snanan，若不等式4Sn111kan對任意的nN恒

成立，則下列結(jié)論正確的為（）

nn123

A．a(chǎn)nnB．SC．k的最大值為D．k的最小值為15

n22

222

【答案】ABC【詳解】依題意得當(dāng)n1時，2a1a1a1，由于an0，解得a11；當(dāng)n2時，2Sn1an1an1，

22

因此有：2ananan1anan1；整理得：anan11，所以數(shù)列an是以a11為首項，公差d1的等差

nn1n11n

數(shù)列，因此ann，故A正確；S，故B正確；由4S111ka得：2n21k，

n2nnn

11112323

令c2n2，則n取2時，c取最小值，所以①當(dāng)n為偶數(shù)時，2n2，k，②當(dāng)n為

nnnn22

113535353523

奇數(shù)時，2n2，k，k，k，故C正確，D錯誤.所以A、B、C正

n33332

確；D錯誤.故選：ABC

1

Sa

8.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，nn，下列結(jié)論正確的是（）

Sn

112221n

．Snn2．為等差數(shù)列．SSS．a(chǎn)

ABC132n1Dn

2Sn1Sn14nn1

111

【答案】ABC【詳解】當(dāng)n1時,a1a1,a1，當(dāng)n2時，SnSnSn1，平方可得

a12Sn

111

Sn2SnSn1，2Sn1,Sn(n2)，選項A正確；則n2時，

SnSn2Sn1

1Sn1112Sn11111

Sn11，所以1,1,故{}是首項為

2Sn12Sn1Sn1Sn11Sn11Sn1Sn11Sn1

11

n

2，公差為1的等差數(shù)列，選項B正確；則2(n1)(1)(n1)，Sn,nN，

S11Sn1n1

1n1n1

22222

所以an(Sn)()，選項D錯誤；記f(n)4nS1S3S2n1，則

Snnn1n(n1)

2

f(n1)n12n12n12(2n1)1

S()11，故fn1fn，fn為遞增數(shù)列，所

f(n)n2n1n2n24n(n1)4n(n1)

1

以fnf14a21，即S2S2S2，選項C正確，故選：ABC

1132n14n

9.已知數(shù)列an的前n項和Sn，且滿足2Snan1.

(1)求an的通項公式；

8

an

(2)記數(shù)列an的前n項乘積為Tn，求的最小值.

Tn

11

【答案】(1)a()n.(2)()28

n33

1

【詳解】（1）因為2Sa1.所以當(dāng)n1時，2Sa1,2aa1,a,當(dāng)n2時，

nn111113

an1

2Snan1,2Sn1an11，兩式相減得2Sn2Sn1anan10,3anan10,an0,,所以數(shù)列

an13

11111

a是首項為，公比為q的等比數(shù)列，則數(shù)列通項公式為aaqn1()n1()n,

n33n1333

1n

（2）記數(shù)列a的前n項乘積為Tn，所以Taaaa，由（1）可知a().

nn123nn3

111111n(n1)

Taaaa()1()2()3()n()123n()2，則

n123n333333

18n

8n(n1)16nn2n15nn215nn2

()8n

an3121212215nn2n215n

()()()3，令y，開口向上且對稱軸為

T1n(n1)333222

n()2

3

15a81

n,nN*，所以n7或8時，y取最小值且最小值為28.所以n的最小值為()28328.

2Tn3

1

10.設(shè)數(shù)列a的前n項和為S，且aS2．

nnn2n

(1)求數(shù)列an的通項公式an．

(2)設(shè)數(shù)列bn滿足anbn4n3，且數(shù)列bn的前n項和為Tn，求證：Tn5．

n

【答案】(1)an2；(2)證明見解析

1

【詳解】（1）依題意，由aS2，可得S2a2，當(dāng)n1時，aS2a2，解得a2，當(dāng)n2

n2nnn1111

時，anSnSn12an22an122an2an1，整理，得an2an1，n2，∴數(shù)列an是以2為首項，

n1n

2為公比的等比數(shù)列，∴an222；

4n34