專題1.2數(shù)列與概率統(tǒng)計(jì)、函數(shù)以及解析幾何的創(chuàng)新綜合應(yīng)用

內(nèi)容導(dǎo)航

速度提升技巧掌握手感養(yǎng)成

分析考情·探趨勢(shì)

鎖定核心，精準(zhǔn)發(fā)力：快速鎖定將要攻克的最核心、必考的重難點(diǎn)，明確主攻方向，聚焦關(guān)鍵目標(biāo)

破解重難·沖高分

方法引領(lǐng)，突破瓶頸：系統(tǒng)歸納攻克高頻難點(diǎn)的解題策略與實(shí)戰(zhàn)技巧，并配以同源試題快速內(nèi)化

拔尖沖優(yōu)·奪滿分

巔峰演練，錘煉題感：精選中高難度真題、模擬題，錘煉穩(wěn)定攻克難題的“頂級(jí)題感”與應(yīng)變能力

近三年：數(shù)列與其他知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合是數(shù)列的一大考試形式，主要集中于數(shù)列與統(tǒng)計(jì)概率，數(shù)列與解析幾何，

數(shù)列與三角函數(shù)，數(shù)列與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合

預(yù)測(cè)2026年：考向01概率統(tǒng)計(jì)中求對(duì)應(yīng)的數(shù)列遞推公式，

考向02數(shù)列與統(tǒng)計(jì)概率中有關(guān)奇偶項(xiàng)問(wèn)題

考向03數(shù)列與三角函數(shù)相結(jié)合

考向04數(shù)列與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合

考向05數(shù)列與解析幾何相結(jié)合

考向01概率統(tǒng)計(jì)中求對(duì)應(yīng)的數(shù)列遞推公式

數(shù)列遞推公式在統(tǒng)計(jì)概率中，只要是要找到pnmpn1npn2q的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從容

nn

利用數(shù)列的構(gòu)造成等比數(shù)列或者是等差數(shù)列的形式pmpn構(gòu)造成pm(p)，

nn1nm1n1m1

對(duì)于pnmpn1npn1構(gòu)造成pnkpn1（mk）(pn1kpn2)這種形式即可。

1．某圖書(shū)館對(duì)學(xué)生借閱圖書(shū)是否按時(shí)歸還的情況開(kāi)展調(diào)查，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一次借閱圖

35

書(shū)，按時(shí)歸還的概率為；從第二次借閱開(kāi)始，若前一次按時(shí)歸還，則本次按時(shí)歸還的概率為；若前一

46

2

次未按時(shí)歸還，則本次按時(shí)歸還的概率為．記學(xué)生第n次借閱按時(shí)歸還的概率為P．

3n

(1)求P2,P3；

(2)求數(shù)列Pn的通項(xiàng)公式；

(3)記前n次借閱中按時(shí)歸還的次數(shù)為Xn，求隨機(jī)變量Xn的數(shù)學(xué)期望EXn．

參考公式：若X,Y為離散型隨機(jī)變量，則EXYEXEY．

2．一個(gè)擲骰子走跳棋的游戲：棋盤(pán)上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站．設(shè)棋子跳

到第n站的概率為Pn，一枚棋子開(kāi)始在第0站，棋手每擲一次骰子，棋子向前跳動(dòng)一次．若擲出奇數(shù)點(diǎn)，棋

子向前跳1站；若擲出偶數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳2站，直到棋子跳到第99站（獲勝）或第100站（失?。r(shí)，

游戲結(jié)束．（骰子一種由均勻材料做成的立方體形狀的游戲玩具，它的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1，2，3，4，5，

6）

(1)求P0,P1,P2的值，并根據(jù)棋子跳到第n站的情況，試用pn2和Pn1表示Pn（直接寫(xiě)出結(jié)論，不用證明）；

(2)證明：PnPn1n1,2,3,100為等比數(shù)列；

(3)求玩該游戲獲勝的概率．

3．某科研小組研發(fā)了一款新式無(wú)人機(jī)，其生產(chǎn)過(guò)程有4道工序，前3道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道工序

是出廠檢測(cè)，包括智能檢測(cè)與人工檢測(cè)，其中智能檢測(cè)為次品的會(huì)自動(dòng)淘汰，合格的進(jìn)入流水線進(jìn)行人工

111

檢測(cè).已知該新式無(wú)人機(jī)在生產(chǎn)中前3道工序的次品率分別為，，.

585960

(1)若某批次生產(chǎn)了這款新式無(wú)人機(jī)1000架，記X為該批次經(jīng)過(guò)前3道工序合格的架數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望；

49

(2)已知某批次的新式無(wú)人機(jī)智能檢測(cè)顯示合格率為，在智能檢測(cè)合格的前提下，求人工隨機(jī)抽檢一架新

50

式無(wú)人機(jī)恰好為合格品的概率；

(3)該科研小組為了慶祝獲得研究成果，舉行聯(lián)歡晚會(huì)，晚會(huì)期間，該小組組織了一個(gè)現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)游戲，游戲

規(guī)則如下：參與游戲的幸運(yùn)觀眾，每次都要有放回地含有10張紅色卡片和10張綠色卡片的箱子中隨機(jī)抽

取一張，指揮無(wú)人機(jī)運(yùn)送匹克球，直到獲得獎(jiǎng)品為止，每次游戲開(kāi)始時(shí)，甲箱中有足夠多的匹克球，乙箱

中沒(méi)有球，若抽到紅色卡片，則從甲箱中運(yùn)一個(gè)匹克球到乙箱；若抽到綠色卡片，則從甲箱中運(yùn)兩個(gè)匹克

球到乙箱，當(dāng)乙箱中的匹克球數(shù)目達(dá)到9個(gè)，下一輪直接達(dá)到11個(gè)，獲得優(yōu)惠券，游戲結(jié)束；當(dāng)乙箱中的

匹克球數(shù)目達(dá)到10個(gè)時(shí)，獲得獎(jiǎng)品大禮包一個(gè)，獲得大禮包時(shí)游戲結(jié)束.求游戲結(jié)束時(shí)，幸運(yùn)觀眾獲得優(yōu)惠

券的概率.

考向02數(shù)列與統(tǒng)計(jì)概率中有關(guān)奇偶項(xiàng)問(wèn)題

1．圍棋棋盤(pán)上共有361個(gè)交叉點(diǎn)，圍棋術(shù)語(yǔ)稱之為361目，兩人玩圍棋，誰(shuí)占的目數(shù)多誰(shuí)贏．因?yàn)槟繑?shù)不

3

能均分，故先落子的一方占便宜．為解決這一問(wèn)題，規(guī)定比賽結(jié)束后先落子的一方貼給后落子的一方3

4

目．抽簽猜得黑棋的一方先落子．即便這樣先落子的一方還是占些便宜．甲、乙兩個(gè)圍棋選手水平相當(dāng)，

31

據(jù)以往比賽經(jīng)驗(yàn)，他二人執(zhí)黑先落子的一方獲勝的概率是，后落子一方獲勝的概率是，沒(méi)有平局．甲、

44

乙兩人再次比賽，并規(guī)定：當(dāng)其中一人贏的局?jǐn)?shù)比另一人多兩局時(shí)，比賽結(jié)束．第一局由抽簽結(jié)果是甲執(zhí)

*

黑先落子，以后每局交替執(zhí)黑先落子．設(shè)第n局結(jié)束的概率為PnnN．

(1)求P1,P2的值；

n

(2)求Pn的表達(dá)式及Pi；

i1

(3)求甲、乙兩人比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)X的數(shù)學(xué)期望E(X)．

2．一個(gè)不透明的袋子中裝有編號(hào)分別為1,2,3,4的4個(gè)小球，每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)小球并記錄編號(hào)后放

回袋中，當(dāng)連續(xù)兩次摸出的小球編號(hào)相同時(shí)，停止摸球，設(shè)停止摸球時(shí)已摸球的次數(shù)為X.記第k次摸到的

小球編號(hào)為Yk.

(1)求PX2與PX3；

n

(2)設(shè)PXnan，求a2a3an4an1與a2a3a4(1)an；

(3)當(dāng)Xn時(shí)，Sn為隨機(jī)變量，若Y1Y2Yn是奇數(shù)，則Sn1，若Y1Y2Yn是偶數(shù)，則Sn0，求

PSn0

考向03數(shù)列與三角函數(shù)相結(jié)合

對(duì)于數(shù)列與三角函數(shù)的結(jié)合中，一般考察利用三角函數(shù)的周期問(wèn)題去考察數(shù)列的求和，例如對(duì)于

n

sin(an2bnc)我們可以奇數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)化成（1）n(an2bnc)，偶數(shù)項(xiàng)則為0

2

*

1．定義：對(duì)于數(shù)列an，若存在T0，對(duì)任意的nN，都有anTan，則稱數(shù)列an為周期數(shù)列，T為

1

數(shù)列an的一個(gè)周期.已知數(shù)列an，a12，an1n2.

an1

(1)用定義證明：數(shù)列an是周期數(shù)列；

(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn（結(jié)果用分段函數(shù)表示）；

2ππ

(3)已知數(shù)列an有形如anAsinnB的通項(xiàng)公式，求常數(shù)A,B,，并證明：

32

2π2*

AsinnBnN

3n12π

13tan

3

2．已知函數(shù)fxsinxax，其中aR.

π

(1)若f1，求a的值；

2

(2)當(dāng)a2時(shí)，

（i）判斷函數(shù)gxfxx2在0,上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（ii）若有公比q1的等比數(shù)列an滿足an1fan，求q的值.

1

ππ

3．在數(shù)列an中，a1，an0,，且tanan1.

42cosan

1

(1)證明：數(shù)列2是等差數(shù)列；

cosan

n

1SiSi11

(2)記bnlog2sinan，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，證明：4；

6i12

(3)證明：cosa1cosa1cosa2cosan1cosanlnn1.

*2n

4．設(shè)nnN次多項(xiàng)式Pnxa0a1xa2xanxan0，若其滿足Pncosxcosnx，則稱多項(xiàng)式

Pnx為切比雪夫多項(xiàng)式．已知Fnx為切比雪夫多項(xiàng)式．

(1)求F1x的解析式；

(2)求證：F2x34cosx；

nsinb1

1*i

(3)若bnnN，求證：n1．

ni1bi2n

考向04數(shù)列與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合

數(shù)列與導(dǎo)數(shù)結(jié)合，一般查考的是壓軸題，主要是利用導(dǎo)數(shù)的一些不等式鏈的放縮，以及數(shù)列的放縮相結(jié)

1

合，從而達(dá)到想要的不等式的證明目的。常見(jiàn)的函數(shù)不等式鏈為exx1xx1lnx1，

x

1

以及exex，lnxx，對(duì)數(shù)列的放縮常見(jiàn)的是裂項(xiàng)相消放縮以及等比數(shù)列放縮。

e

1．nN，都存在唯一的實(shí)數(shù)cn，使得fcnn，則稱函數(shù)fx存在“源數(shù)列”cn．已知

fxxlnx,x0,1．

(1)證明：fx存在源數(shù)列；

(2)①若fx0恒成立，求的取值范圍；

x

7

②記fx的源數(shù)列為c，前n項(xiàng)和為S．證明：S．

nnn4

2．已知fx是定義在I上的函數(shù)，若對(duì)任意xI,fx0恒成立，則稱fx為I上的非負(fù)函數(shù)．

1

(1)判斷fxlnx1是否為區(qū)間0,上的非負(fù)函數(shù)，并說(shuō)明理由；

x

2

(2)已知n為正整數(shù)，gxnx2alnxa0為區(qū)間0,上的非負(fù)函數(shù)，記a的最大值為an，求證：數(shù)

列an為等差數(shù)列；

x

*n

(3)已知n2且nN，函數(shù)hxx0，若Fxhxhbn為區(qū)間0,上的非負(fù)函數(shù)，an為

xn

eeee11

（2）中的等差數(shù)列，求證：．

a1b2a2b3a3b4an1bn2n1

考向05數(shù)列與解析幾何相結(jié)合

數(shù)列與解析幾何的結(jié)合中，主要考察數(shù)列的基本基本性質(zhì)的基本應(yīng)用，利用圓錐曲線的基本性質(zhì)，主要

n2

利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本結(jié)構(gòu)anAnB，anAq以及等差SnAnBn，等比數(shù)列

前項(xiàng)和的基本結(jié)構(gòu)n，或者是利用等差等比數(shù)列的等差等比中項(xiàng)去，。

nSnAAq2anan1an1

2

anan1an1，

23135

1．已知拋物線yx的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P1m,在拋物線上，已知直線l:yx，按如下方法構(gòu)造

22324

點(diǎn)列Pnxn,yn（其中yn0）：過(guò)拋物線上的點(diǎn)Pn作x軸的平行線，交直線l于點(diǎn)Pn1，直線PnPn1關(guān)于直線

35

l:yx的對(duì)稱直線交拋物線于點(diǎn)Pn2

324

(1)求實(shí)數(shù)m的值，并求直線P2P3的方程；

**15

(2)求數(shù)列y2n1nN的通項(xiàng)公式，并證明：對(duì)任意nN,yn；

24

11616*

(3)數(shù)列yn的前n項(xiàng)積為T(mén)n，若不等式lnTnaTn0對(duì)任意的nN恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．

433

22

yx

2．已知雙曲線C:1（a0，b0）的漸近線方程為yx，且過(guò)點(diǎn)A1(3,5).按照如下方式依次構(gòu)

a2b2

*

造點(diǎn)An(nN)：過(guò)An作斜率為k（k為常數(shù)且k1）的直線與C的下支交于點(diǎn)Bn，令A(yù)n1為Bn關(guān)于x軸

的對(duì)稱點(diǎn)，記An的坐標(biāo)為(xn,yn).

(1)若k3，求A2的坐標(biāo)(x2,y2)；

xy

(2)證明：數(shù)列nn是等比數(shù)列，并求其公比（用k表示）；

xnyn

(3)設(shè)Sn為△AnAn1An2的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)n，Sn為定值.

（建議用時(shí)：60分鐘）

1．已知函數(shù)yfx及其導(dǎo)函數(shù)yfx的定義域均為D．設(shè)x0D，曲線yfx在點(diǎn)x0,fx0處的

切線交x軸于點(diǎn)x1,0．當(dāng)n1時(shí)，設(shè)曲線yfx在點(diǎn)xn,fxn處的切線交x軸于點(diǎn)xn1,0．依此類推，

稱得到的數(shù)列xn為函數(shù)yfx關(guān)于x0的“N數(shù)列”．

1

(1)若fxlnx，x是函數(shù)yfx關(guān)于x的“N數(shù)列”，求x的值；

n0e1

x2

2n

(2)若fxx4，xn是函數(shù)yfx關(guān)于x03的“N數(shù)列”，記anlog3，證明：an是等比數(shù)

xn2

列，并求出其公比；

x

(3)若f0xex，記函數(shù)fnx為fn1x的導(dǎo)函數(shù)（nN），函數(shù)yfnx的圖象在x1處的切線與x軸

n

相交的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為an，求aiai1．

i1

x

2．已知函數(shù)fxesinx，gxsinxcosx.記an為函數(shù)ygx在區(qū)間0,內(nèi)的從小到大的第

nnN*個(gè)零點(diǎn).

(1)證明：數(shù)列fan是等比數(shù)列；

*

(2)記bn為函數(shù)yfx在區(qū)間0,內(nèi)的從小到大的第nnN個(gè)極值點(diǎn)，將數(shù)列an，bn中的所有項(xiàng)

*

從小到大排列構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列cn.若nN，fcnkcn，求k的最大值.

3．記數(shù)列an前k項(xiàng)的最大值bk依次構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列bn，稱數(shù)列bn為an的“生成子列”，數(shù)列bn所

有項(xiàng)組成的集合為A．

(1)已知數(shù)列an為7，6，5，8，求數(shù)列bn；

n

若5*，且中恰有個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)annanNA5a

6

n1π

若*，的生成子列的前項(xiàng)和為，從中任取

(3)anncosnNan“”bnnSnS1,S2,S3,,S4na3Y

2

個(gè)數(shù)，記其中能被2整除且不能被4整除的個(gè)數(shù)為X，

①若Y3，求X的數(shù)學(xué)期望EX；

②若Y2n，求使P(X=m)取得最大值時(shí)的m值．

4．張明在暑假為了鍛煉身體，制定了一項(xiàng)堅(jiān)持晨跑的計(jì)劃：30天晨跑訓(xùn)練．規(guī)則如下：張明從第1天開(kāi)始

1

晨跑，若第i天晨跑，則他第i1天晨跑的概率為，且他不能連續(xù)兩天沒(méi)有晨跑．設(shè)他第n天晨跑的概率

4

為Pn1n30,nN．

(1)求P1,P2,P3的值；

(2)求數(shù)列Pn的通項(xiàng)公式；

(3)若X,Y都是離散型隨機(jī)變量，則EXYEXEY，記張明前n天晨跑的天數(shù)為X，求EX．

5．已知函數(shù)f(x)lnxax2，aR．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

111132

(2)求證：對(duì)任意的nN*且n2，都有：1111e．（其中e2.718為自然

223242n2

對(duì)數(shù)的底數(shù)）

6．已知圓C:x2y24，點(diǎn)P為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，設(shè)D為PQ的中點(diǎn)，

且D的軌跡為曲線E．

(1)求曲線E的方程