北京市延慶區(qū)2025-2026學(xué)年高二上期期末考試數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.23.已知拋物線的焦點(diǎn)為，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B. C. D.4.已知、，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.5.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到的距離與到的距離相等，則的軌跡方程為（）A. B.C. D.6.已知直線和拋物線，那么“與相切”是“與只有一個(gè)公共點(diǎn)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.若雙曲線的方程為，則它的離心率和漸近線的方程分別為（）A.， B.，C.， D.，8.已知是拋物線的焦點(diǎn)，、是該拋物線上的兩點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)到軸的距離是（）A.1 B.2 C.3 D.49.已知點(diǎn)在拋物線上，且，則的最小值為（）A.2 B. C. D.10.過橢圓的中心作一條直線交橢圓于、兩點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則的周長的最小值為（）A.5 B.6 C.8 D.10二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.函數(shù)的定義域?yàn)開_____．12.雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是，且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的實(shí)軸長為______，標(biāo)準(zhǔn)方程為_____．13.函數(shù)的值域?yàn)開_____．14.已知中，，，，則______，______．15.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論：①的最大值為；②的最大值為；③若，則的面積為；④斜率為1的直線不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，而且與橢圓相交于、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，那么直線和不能垂直.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為______．三、解答題（共6小題，共85分）16.根據(jù)下列條件，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）圓心在，且過點(diǎn)；（2）以，為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的圓；（3）圓心在直線上，且過和點(diǎn)．17.如圖，已知點(diǎn)，，圓．（1）求過點(diǎn)的圓的切線方程；（2）設(shè)過點(diǎn)、的直線交圓于、兩點(diǎn)，求線段的長；（3）求經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)且被圓截得弦長最短的直線的方程．18.如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求與平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．19.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是、，橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和等于4，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)（不重合）．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的取值范圍；（3）求的最大值．20.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦距為2，離心率為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于、（不重合）兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在直線，使得線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若點(diǎn)在以為直徑的圓上，求直線的方程．21.已知集合，若存在數(shù)陣滿足：①；②．則稱集合為“好集合”，并稱數(shù)陣為集合的一個(gè)“好數(shù)陣”．（1）已知數(shù)陣是的一個(gè)“好數(shù)陣”，試寫出，，，的值；（2）已知是“好集合”，求出滿足條件的所有“好數(shù)陣”．參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）題號(hào)12345678910答案ADCCDADCAB二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.12.①；②.13.14.；15.①②④16.【答案】（1）由條件可知，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2），所以半徑，圓心為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（3）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，解得：，，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.17.（1）當(dāng)過點(diǎn)，且斜率不存在時(shí)，直線與圓相切，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，則圓心到切線的距離，解得：，所以切線方程為，整理為，綜上可知過點(diǎn)的圓的切線方程為或.（2），所以直線為，即，圓心到直線的距離，所以；（3）當(dāng)點(diǎn)是弦的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)弦長最短，此時(shí)和所求弦所在直線垂直，，所以所求直線的斜率為，所以弦所在直線方程為，整理為，所以弦長最短的直線方程為.18.【答案】（1）如圖，在棱長為2的正方體中，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則.所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以有，令，則，所以.所以與平面所成角的正弦值為.（2）由（1）可知，平面的法向量為.而平面的一個(gè)法向量為，所以二面角的余弦值為.（3）因?yàn)?，所?由（1）知平面的法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離為.19.【答案】（1）由條件可知橢圓的焦點(diǎn)在軸，，，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）聯(lián)立，整理為，若直線與橢圓有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則，解得：，所以的取值范圍是；（3）設(shè)，，，，，當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，所以的最大值為.20.【答案】（1）依題意，設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；，則，，，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由圖知，直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消元整理得，由可得,設(shè)，，由韋達(dá)定理，,因線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則，解得，因,故不存在直線.如圖：（3）因點(diǎn)在以為直徑的圓上，則，即（*）,由（2）中韋達(dá)定理;,,代入上式，可得,代入（*）可得，解得因此，直線的方程為；，即，.21.【答案】（1）由“好數(shù)陣”的定義知，，，則，，，，進(jìn)一步得到，，故，，，.（2）當(dāng)時(shí)，，由，可得，又因?yàn)?，所以，?lián)立，解得，，因?yàn)?，①若，則由可得，由可得或或，當(dāng)，時(shí)，由可得，，所以，則，逐一驗(yàn)證得此時(shí)沒有滿足題意的“好數(shù)陣”；當(dāng)，時(shí)，由可得，，所以或，當(dāng)時(shí)，，符合題意的“好數(shù)陣”為；當(dāng)時(shí)，，逐一驗(yàn)證得此時(shí)沒有滿足題意的“好數(shù)陣”；當(dāng)，時(shí)，由可得，，所以，則，逐一驗(yàn)證得此時(shí)沒有滿足題意的“好數(shù)陣”；②若，則由可得，由可得或或，當(dāng)，時(shí)，由可得，，所以，則，逐一驗(yàn)證得此時(shí)沒有滿足題意的“好數(shù)陣”；當(dāng)，時(shí)，由可得，，所以，則，逐一驗(yàn)證得此時(shí)沒有滿足題意的“好數(shù)陣”；當(dāng)，時(shí)，由可得，，所以，則，符合題意的“好數(shù)陣”為；③若，則由可得，由可得或或，當(dāng)，時(shí)，由可得，，所以，則，逐一驗(yàn)