試題2023-2024學(xué)年廣東省深圳市南山區(qū)南海中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2+1＝0 D．2．（3分）若4m＝5n（m≠0），則下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝3．（3分）一個不透明的袋子中裝有3個小球，其中2個紅球，1個綠球，這些小球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機摸出兩個球，恰好都是紅球的概率為（）A． B． C． D．4．（3分）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的兩個根，則（）A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝75．（3分）根據(jù)下列表格的對應(yīng)值：x11.11.21.3x2+12x﹣15﹣2﹣0.590.842.29由此可判斷方程x2+12x﹣15＝0必有一個根滿足（）A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.36．（3分）如圖，若點D是線段AB的黃金分割點（AD＞BD），AB＝8，則AD的長度是（）A．5 B．4﹣4 C．2 D．4+7．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，若AC＝8，S菱形ABCD＝24，則OH的長為（）?A．3 B．4 C．4.8 D．58．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為2cm/s；動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/s；如果P、Q兩動點同時運動，那么經(jīng)過（）秒時△QBP與△ABC相似．A．2秒 B．4秒 C．2或0.8秒 D．2或4秒9．（3分）如圖，四邊形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），點C在第二象限，則點C的坐標是（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，4）10．（3分）如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，點G是EF的中點，連接CG、BG、BD、DG，下列結(jié)論：①BC＝DF；②∠ABG+∠ADG＝180°；③AC：BG＝：1；④若＝，則4S△BDG＝25S△DGF．正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個二、填空題（5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0無實數(shù)根，則k的取值范圍是．12．（3分）已知，則＝．13．（3分）如圖，數(shù)學(xué)活動課上，為測量學(xué)校旗桿高度，小藝同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小藝的眼睛離地面高度為1.6米，同時量得小藝與鏡子的水平距離為2米，鏡子與旗桿的水平距離為10米，則旗桿的高度為米．?14．（3分）如圖，在?ABCD中，E為AD邊上的點，AE＝2DE，連接BE交AC于點F，△AEF的面積為4cm2，則△ABC的面積為cm2．15．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點E是邊AD上一點，其中AE：ED＝1：2．線段BE的垂直平分線分別交AB、BE、CD于點F，G，H，則的值為．?三、解答題（6小題，共55分）16．（12分）解方程：（1）x2﹣1＝4x；（2）2x2﹣7x+3＝0；（3）3x（x﹣2）＝4x2；（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）．17．（6分）△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣1，﹣2），B（﹣3，﹣1），C（﹣2，﹣3），以原點O為位似中心，在第三象限內(nèi)，畫出△ABC的位似圖形△A'B'C'，使△ABC與△A'B'C'的相似比為1：2，并寫出A'，B'，C'的坐標．18．（6分）隨著中國傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”的臨近，某商場決定開展“歡度端午，回饋顧客”的讓利促銷活動，在商場大廳設(shè)置了如圖所示的兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，在端午節(jié)當天消費的顧客可以參與轉(zhuǎn)盤活動．已知這兩個轉(zhuǎn)盤都被平均分成了3份，并在每份內(nèi)均標有數(shù)字．規(guī)則如下：①分別轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A、B；②兩個轉(zhuǎn)盤停止后，將兩個指針所指區(qū)域內(nèi)的數(shù)字相乘（若指針停止在等份線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一區(qū)域為止），若數(shù)字之積為3的倍數(shù)則可以領(lǐng)取3枚粽子；若數(shù)字之積為5的倍數(shù)則可以領(lǐng)取5枚粽子．（1）用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）在端午節(jié)當天，李老師參與了轉(zhuǎn)盤活動，求李老師領(lǐng)取到5枚粽子的概率．19．（6分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，CF＝AE，連接AF，BF．（1）求證：四邊形BFDE是矩形．（2）若AF是∠DAB的平分線．若CF＝6，BF＝8，求DC的長．20．（8分）如圖，AD是△ABC的高，點E、F在BC邊上，點G在AC邊上，點H在BC邊上，BC＝21cm，高AD＝15cm，四邊形EFGH是△ABC內(nèi)接正方形，（1）△AHG與△ABC相似嗎？為什么？（2）求內(nèi)接正方形EFGH邊長EF．21．（8分）某公司2月份銷售新上市的A產(chǎn)品20套，由于該產(chǎn)品的經(jīng)濟適用性，銷量快速上升，4月份該公司銷售A產(chǎn)品達到45套，并且2月到3月和3月到4月兩次的增長率相同．（1）求該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率；（2）若A產(chǎn)品每套盈利2萬元，則平均每月可售30套，為了盡量減少庫存，該公司決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，A產(chǎn)品每套每降0.5萬元，公司平均每月可多售出20套；若該公司在5月份要獲利70萬元，則每套A產(chǎn)品需降價多少？22．（9分）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D為BC邊上的一點．過點D作射線DE⊥DF，分別交邊AB，AC于點E，F(xiàn)．?問題發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，當D為BC的中點，且DE⊥AB，DF⊥AC時，＝；（2）若D為BC的中點，將∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，＝；類比探究（3）如圖3，若改變點D的位置，且時，求的值，并寫出解答過程；問題解決（4）如圖3，連接EF，當CD＝時，△DEF與△ABC相似．

2023-2024學(xué)年廣東省深圳市南山區(qū)南海中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2+1＝0 D．【分析】根據(jù)“只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程”，對照四個選項即可得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)一元二次方程的定義可得出方程x2+1＝0為一元二次方程，故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程的定義，牢記“只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程”是解題的關(guān)鍵．2．（3分）若4m＝5n（m≠0），則下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，把每一個選項中的比例式轉(zhuǎn)化成等積式即可解答．【解答】解：A．因為＝，所以5m＝4n，故此選項不符合題意；B．因為＝，所以mn＝20，故此選項不符合題意；C．因為＝，所以5m＝4n，故此選項不符合題意；D．因為＝，所以4m＝5n，故此選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（3分）一個不透明的袋子中裝有3個小球，其中2個紅球，1個綠球，這些小球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機摸出兩個球，恰好都是紅球的概率為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)隨機事件概率大小的求法，找準兩點：①符合條件的情況數(shù)目；②全部情況的總數(shù)，二者的比值就是其發(fā)生的概率的大?。窘獯稹拷猓寒嫎錉顖D如下：總計有6種可能結(jié)果，其中我們關(guān)注的事件兩個都是紅球的情況有2種，∴隨機摸出兩個球，恰好都是紅球的概率為：＝．故選：B．【點評】此題考查了概率公式，明確概率的意義是解答問題的關(guān)鍵，用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．4．（3分）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的兩個根，則（）A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行判斷即可．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的兩個根，∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，故選：A．【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，應(yīng)掌握：設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數(shù)根，則，．5．（3分）根據(jù)下列表格的對應(yīng)值：x11.11.21.3x2+12x﹣15﹣2﹣0.590.842.29由此可判斷方程x2+12x﹣15＝0必有一個根滿足（）A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3【分析】利用表中數(shù)據(jù)得到x＝1.1時，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，x＝1.2時，x2+12x﹣15＝0.84＞0，則可判斷x2+12x﹣15＝0時，有一個根滿足1.1＜x＜1.2．【解答】解：∵x＝1.1時，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，x＝1.2時，x2+12x﹣15＝0.84＞0，∴1.1＜x＜1.2時，x2+12x﹣15＝0，即方程x2+12x﹣15＝0必有一個解x滿足1.1＜x＜1.2，故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．6．（3分）如圖，若點D是線段AB的黃金分割點（AD＞BD），AB＝8，則AD的長度是（）A．5 B．4﹣4 C．2 D．4+【分析】根據(jù)點D是線段AB的黃金分割點（AD＞BD），可得，進一步求解即可．【解答】解：∵點D是線段AB的黃金分割點（AD＞BD），∴，∵AB＝8，∴AD＝，故選：B．【點評】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金比是解題的關(guān)鍵．7．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，若AC＝8，S菱形ABCD＝24，則OH的長為（）?A．3 B．4 C．4.8 D．5【分析】根據(jù)菱形的面積公式：對角線乘積的一半，求出菱形的對角線的長，再利用菱形的性質(zhì)和勾股定理求出菱形的邊長，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，∵AC＝8，S菱形ABCD＝AC?BD＝24，∴×8?BD＝24，∴BD＝6，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，∵DO＝BO，∴OH＝BD＝3，故選：A．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)．熟練掌握菱形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上中線是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為2cm/s；動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/s；如果P、Q兩動點同時運動，那么經(jīng)過（）秒時△QBP與△ABC相似．A．2秒 B．4秒 C．2或0.8秒 D．2或4秒【分析】設(shè)經(jīng)過t秒時，△QBP與△ABC相似，則AP＝cm，利用兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似進行分類討論：當時，△BPQ∽△BAC，即；當時，△BPQ∽△BCA，即，然后解方程即可求出答案．【解答】解：設(shè)經(jīng)過t秒時，△QBP與△ABC相似，則AP＝cm，BP＝cm，BQ＝cm，∵∠PBQ＝∠ABC，∴當時，△BPQ∽△BAC，即，解得：t＝2，當時，△BPQ∽△BCA，即，解得：t＝0.8，綜上所述：經(jīng)過0.8s或2s秒時，△QBP與△ABC相似，故選：C．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，準確分析題意列出方程求解是解題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，四邊形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），點C在第二象限，則點C的坐標是（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，4）【分析】過C作CE⊥y軸于E，過A作AF⊥y軸于F，得到∠CEO＝∠AFB＝90°，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB＝OC，AB∥OC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE＝AF，OE＝BF，BE＝OF，于是得到結(jié)論．【解答】解：過C作CE⊥y軸于E，過A作AF⊥y軸于F，∴∠CEO＝∠AFB＝90°，∵四邊形ABCO是矩形，∴AB＝OC，AB∥OC，∴∠ABF＝∠COE，∴△OCE≌△ABF（AAS），同理△BCE≌△OAF，∴CE＝AF，OE＝BF，BE＝OF，∵A（2，1），B（0，5），∴AF＝CE＝2，BE＝OF＝1，OB＝5，∴OE＝4，∴點C的坐標是（﹣2，4）；故選：D．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，點G是EF的中點，連接CG、BG、BD、DG，下列結(jié)論：①BC＝DF；②∠ABG+∠ADG＝180°；③AC：BG＝：1；④若＝，則4S△BDG＝25S△DGF．正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】先求出∠BAE＝45°，判斷出△ABE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB＝BE，∠AEB＝45°，從而得到BE＝CD，故①正確；由于∠BGE＝∠DGC，得到∠ABG+∠ADG＝∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG＝∠ABC+∠ADC＝180°，故②正確；先根據(jù)矩形的對角線相等得：AC＝BD，證明：△DCG≌△BEG，得DG＝BG，∠CGD＝∠EGB，得△DGB是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理可得，故③正確；．過點G作GH⊥CD于H，設(shè)AD＝4x＝DF，AB＝3x，由勾股定理可求BD＝5x，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得HG＝CH＝FH＝x，DG＝GB＝x，由三角形面積公式可求，故④正確．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AC＝BD，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠F＝∠FAD，∴AD＝DF，∴BC＝DF，故①正確；∵∠BGE＝∠DGC，∴∠ABG+∠ADG＝∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG＝∠ABC+∠ADC＝180°，故②正確；∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∵點G為EF的中點，∴CG＝EG，∠FCG＝45°，∴∠BEG＝∠DCG＝135°，在△DCG和△BEG中，，∴△DCG≌△BEG（SAS）．∴DG＝BG，∠CGD＝∠EGB，∴∠CGD+∠AGD＝∠EGB+∠AGD＝90°，∴△DGB是等腰直角三角形，∴BD＝BG，∴AC＝BG，∴AC：BG＝：1，故③正確；過點G作GH⊥CD于H，∵3AD＝4AB，∴設(shè)AD＝4x＝DF，AB＝3x，∴CF＝CE＝x，BD＝＝5x，∵△CFG，△GBD是等腰直角三角形，∴HG＝CH＝FH＝x，DG＝GB＝x，∴S△DGF＝DF?HG＝x2，S△DGB＝DG?GB＝x2，∴4S△BDG＝25S△DGF；故④正確；故選：A．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等和等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題（5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0無實數(shù)根，則k的取值范圍是k＜﹣1．【分析】根據(jù)根的判別式即可求出答案．【解答】解：由題意可知：Δ＝4+4k＜0，∴k＜﹣1，故答案為：k＜﹣1【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，需要掌握一元二次方程沒有實數(shù)根相當于判別式小于零．12．（3分）已知，則＝5．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，設(shè)，進而得出x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入代數(shù)式即可求解．【解答】解：設(shè)，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴．故答案為：5．【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（3分）如圖，數(shù)學(xué)活動課上，為測量學(xué)校旗桿高度，小藝同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小藝的眼睛離地面高度為1.6米，同時量得小藝與鏡子的水平距離為2米，鏡子與旗桿的水平距離為10米，則旗桿的高度為8米．?【分析】證明△AOB∽△COD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝，把已知數(shù)據(jù)代入計算即可．【解答】解：由題意得：∠ABO＝∠CDO＝90°，∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴＝，∵AB＝1.6米，OB＝2米，OD＝10米，∴＝，解得：CD＝8，∴旗桿的高度為8米，故答案為：8．【點評】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．14．（3分）如圖，在?ABCD中，E為AD邊上的點，AE＝2DE，連接BE交AC于點F，△AEF的面積為4cm2，則△ABC的面積為15cm2．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，AD＝BC；由平行線的性質(zhì)可得∠AEF＝∠CBF，∠EAF＝∠BCF，從而可判定△AEF∽△CBF，從而可得比例式，根據(jù)AE＝2DE及△AEF的面積為4cm2，由等高三角形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)可求得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠AEF＝∠CBF，∠EAF＝∠BCF，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝，∵AE＝2DE，∴AE＝AD，∴＝＝＝，∴＝，＝＝，∵S△AEF＝4（cm2），∴S△AFB＝S△AEF×＝4×＝6（cm2），S△CBF＝×S△AEF＝×4＝9（cm2），∴S△ABC＝S△AFB+S△CBF＝6+9＝15（cm2），故答案為：15．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．15．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點E是邊AD上一點，其中AE：ED＝1：2．線段BE的垂直平分線分別交AB、BE、CD于點F，G，H，則的值為2．?【分析】過H點作HM⊥AB于M點，交BE于N，如圖，設(shè)AE＝x，ED＝2x，利用正方形的性質(zhì)得到AB＝BC＝AD＝3x，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，則利用勾股定理可計算出BE＝x，所以BG＝x，再證明△BGF∽△BAE，利用相似比可表示出BF＝x，則AF＝x，接著證明△MHF≌△ABE得到FM＝AE＝x，所以CH﹣BM＝x，然后計算的值．【解答】解：過H點作HM⊥AB于M點，交BE于N，如圖，設(shè)AE＝x，ED＝2x，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝AD＝3x，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，在Rt△ABE中，BE＝＝＝x，∵FH垂直平分BE，∴∠BGF＝90°，BG＝BE＝x，∵∠GBF＝∠ABE，∠BGF＝∠A＝90°，∴△BGF∽△BAE，∴BF：BE＝BG：BA，即BF：x＝x：3x，解得BF＝x，∴AF＝AB﹣BF＝3x﹣x＝x，∵∠HMB＝∠MBC＝∠C＝90°，∴四邊形BCHM為矩形，∴MH＝BC，HC＝BM，∴AB＝MH，∵∠NMB＝∠HGN，∠BNM＝∠HNG，∴∠MBN＝∠NHG，在△MHF和△ABE中，，∴△MHF≌△ABE（ASA），∴FM＝AE＝x，∴BM＝BF﹣FM＝x﹣x＝x，∴HC＝x，∴＝＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．在應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)時利用相似比進行幾何計算．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．三、解答題（6小題，共55分）16．（12分）解方程：（1）x2﹣1＝4x；（2）2x2﹣7x+3＝0；（3）3x（x﹣2）＝4x2；（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）．【分析】（1）先把方程化為一般式，再計算判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解；（2）利用因式分解法求解即可；（3）先化簡，再利用因式分解法求解即可．（4）先化簡，再利用求根公式法求解即可．【解答】解：（1）原式＝x2﹣4x﹣1＝0，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣）＝20，x＝＝2±；所以x1＝2+，x2＝2﹣；（2）2x2﹣7x+3＝0，（x﹣3）（2x﹣1）＝0，x﹣3＝0或2x﹣1＝0，x1＝3，x2＝﹣．（3）3x（x﹣2）＝4x2，3x2﹣6x＝4x2，x2+6x＝0，x（x+6）＝0，x＝0或x+6＝0，x1＝0，x2＝﹣6．（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）4x2+16x+16＝3x﹣14x2+13x+17＝0，Δ＝132﹣4×4×17＝﹣103＜0，∴方程無實數(shù)根．【點評】本題考查了解一元二次方程，掌握公式法、配方法和因式分解法是解答本題的關(guān)鍵．17．（6分）△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣1，﹣2），B（﹣3，﹣1），C（﹣2，﹣3），以原點O為位似中心，在第三象限內(nèi)，畫出△ABC的位似圖形△A'B'C'，使△ABC與△A'B'C'的相似比為1：2，并寫出A'，B'，C'的坐標．【分析】由位似圖形的性質(zhì)，結(jié)合要在第三象限內(nèi)，畫出△ABC的位似圖形△A'B'C'，即對應(yīng)點坐標乘以2即可．【解答】解：如圖，△A'B'C'即為所作．由圖可知A'（﹣2，﹣4），B'（﹣6，﹣2），C'（﹣4，﹣6）．【點評】本題考查作圖—位似變換，坐標與圖形的變化—位似變換．掌握位似的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．（6分）隨著中國傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”的臨近，某商場決定開展“歡度端午，回饋顧客”的讓利促銷活動，在商場大廳設(shè)置了如圖所示的兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，在端午節(jié)當天消費的顧客可以參與轉(zhuǎn)盤活動．已知這兩個轉(zhuǎn)盤都被平均分成了3份，并在每份內(nèi)均標有數(shù)字．規(guī)則如下：①分別轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A、B；②兩個轉(zhuǎn)盤停止后，將兩個指針所指區(qū)域內(nèi)的數(shù)字相乘（若指針停止在等份線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一區(qū)域為止），若數(shù)字之積為3的倍數(shù)則可以領(lǐng)取3枚粽子；若數(shù)字之積為5的倍數(shù)則可以領(lǐng)取5枚粽子．（1）用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）在端午節(jié)當天，李老師參與了轉(zhuǎn)盤活動，求李老師領(lǐng)取到5枚粽子的概率．【分析】（1）畫樹狀圖展示所以等可能的結(jié)果數(shù)即可；（2）畫樹狀圖展示出所以等可能的結(jié)果數(shù)，再找出李老師領(lǐng)取到5枚粽子的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【解答】解：（1）每次游戲可能出現(xiàn)的所有結(jié)果列表如下：轉(zhuǎn)盤B的數(shù)字轉(zhuǎn)盤A的數(shù)字4561（1，4）（1，5）（1，6）2（2，4）（2，5）（2，6）3（3，4）（3，5）（3，6）（2）（1）中表格中共有9種等可能的結(jié)果，則李老師領(lǐng)取到5枚粽子的結(jié)果數(shù)有三種，其概率為＝．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．19．（6分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，CF＝AE，連接AF，BF．（1）求證：四邊形BFDE是矩形．（2）若AF是∠DAB的平分線．若CF＝6，BF＝8，求DC的長．【分析】（1）先證四邊形DFBE是平行四邊形，再由DE⊥AB，則∠DEB＝90°，即可得出結(jié)論；（2）由矩形的性質(zhì)得∠BFD＝∠BFC＝90°，再由勾股定理得BC＝10，然后由平行四邊形的性質(zhì)得AD＝BC＝10，AB∥DC，進而證DF＝DA＝10，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，CD＝AB，∵CF＝AE，∴DF＝BE，又∵DF∥BE，∴四邊形DFBE是平行四邊形，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴平行四邊形DFBE是矩形；（2）解：由（1）可知，四邊形BFDE是矩形，∴∠BFD＝90°，∴∠BFC＝90°，∴BC＝＝＝10，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝10，AB∥DC，∴∠BAF＝∠DFA，∵AF是∠DAB的平分線，∴∠BAF＝∠DAF，∴∠DAF＝∠DFA，∴DF＝DA＝10，∴DC＝DF+CF＝10+6＝16．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定以及勾股定理等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（8分）如圖，AD是△ABC的高，點E、F在BC邊上，點G在AC邊上，點H在BC邊上，BC＝21cm，高AD＝15cm，四邊形EFGH是△ABC內(nèi)接正方形，（1）△AHG與△ABC相似嗎？為什么？（2）求內(nèi)接正方形EFGH邊長EF．【分析】（1）根據(jù)四邊形EFGH是△ABC內(nèi)接正方形，得出HG∥BC，得出△AHG與△ABC相似即可；（2）根據(jù)題意易證△AHG∽△ABC，列出比例關(guān)系，可以解出內(nèi)接正方形EFGH的邊長．【解答】解：（1）相似，理由如下：∵四邊形EFGH是△ABC內(nèi)接正方形，∴HG∥BC，∴△AHG∽△ABC；（2）設(shè)AD與HG的交點為M，∵△AHG∽△ABC，∴，，解得：，故內(nèi)接正方形EFGH的邊長為．【點評】本題主要考查正方形的性質(zhì)，三角形相似等知識點，不是很難．21．（8分）某公司2月份銷售新上市的A產(chǎn)品20套，由于該產(chǎn)品的經(jīng)濟適用性，銷量快速上升，4月份該公司銷售A產(chǎn)品達到45套，并且2月到3月和3月到4月兩次的增長率相同．（1）求該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率；（2）若A產(chǎn)品每套盈利2萬元，則平均每月可售30套，為了盡量減少庫存，該公司決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，A產(chǎn)品每套每降0.5萬元，公司平均每月可多售出20套；若該公司在5月份要獲利70萬元，則每套A產(chǎn)品需降價多少？【分析】（1）設(shè)該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長率為x，根據(jù)2月份及4月份該公司A產(chǎn)品的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)每套A產(chǎn)品需降價y萬元，則平均每月可售出（30+×20）套，根據(jù)總利潤＝每套的利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論．【解