太原市重點中學2026屆高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中國共產(chǎn)黨建黨100周年之際,廣安市某中學組織了“黨史知識競賽”活動,已知該校共有高中學生1000人,用分層抽樣的方法從該校高中學生中抽取一個容量為25的樣本參加活動,其中高二年級抽取了8人,則該校高二年級學生人數(shù)為()A.960 B.720C.640 D.3202．已知命題對任意，總有；是方程的根則下列命題為真命題的是A. B.C. D.3．過兩點、的直線的傾斜角為，則的值為（）A.或 B.C. D.4．如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為延長線上一點，，則為（）A. B.C. D.5．意大利數(shù)學家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個有趣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，這就是著名的斐波那契數(shù)列，該數(shù)列的前2022項中有（）個奇數(shù)A.1012 B.1346C.1348 D.13506．在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.7．函數(shù)在處有極小值5，則（）A. B.C.或 D.或38．已知點，，直線：與線段相交，則實數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.9．已知集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，則M∪N＝()A.{0，x,1,2} B.{2,0,1,2}C.{0,1,2} D.不能確定10．如圖，、分別是橢圓的左頂點和上頂點，從橢圓上一點向軸作垂線，垂足為右焦點，且，點到右準線的距離為，則橢圓方程為（）A. B.C. D.11．已知直線和直線互相垂直，則等于（）A.2 B.C.0 D.12．已知點，動點P滿足，則點P的軌跡為（）A橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.圓二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某學校為了獲得該校全體高中學生的體有鍛煉情況，按照男、女生的比例分別抽樣調(diào)查了55名男生和45名女生的每周鍛煉時間，通過計算得到男生每周鍛煉時間的平均數(shù)為8小時，方差為6；女生每周鍛煉時間的平均數(shù)為6小時，方差為8．根據(jù)所有樣本的方差來估計該校學生每周鍛煉時間的方差為________14．已知等比數(shù)列滿足，，公比，則的前2021項和______15．點到直線的距離為______.16．設(shè)函數(shù)，.若對任何，，恒成立，求的取值范圍______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知命題實數(shù)滿足不等式，命題實數(shù)滿足不等式.（1）當時，命題，均為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且經(jīng)過點和（1）求圓C的標準方程；（2）若過點的直線l與圓C交于A，B兩點，且，求直線l的方程19．（12分）已知圓，P（2，0），M點是圓Q上任意一點，線段PM的垂直平分線交半徑MQ于點C，當M點在圓上運動時，點C的軌跡為曲線C（1）求曲線C方程；（2）已知直線l：x＝8，A、B是曲線C上的兩點，且不在x軸上，，垂足為，，垂足為，若D（3，0），且的面積是△ABD面積的5倍，求△ABD面積的最大值20．（12分）已知函數(shù)，滿足，已知點是曲線上任意一點，曲線在處的切線為.（1）求切線的傾斜角的取值范圍；（2）若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）某書店剛剛上市了《中國古代數(shù)學史》，銷售前該書店擬定了5種單價進行試銷，每種單價（元）試銷l天，得到如表單價（元）與銷量（冊）數(shù)據(jù)：單價（元）1819202122銷量（冊）6156504845（l）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，請建立關(guān)于的回歸直線方程：（2）預計今后的銷售中，銷量（冊）與單價（元）服從（l）中的回歸方程，已知每冊書的成本是12元，書店為了獲得最大利潤，該冊書的單價應(yīng)定為多少元？附：，，，.22．（10分）已知為數(shù)列的前項和，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和（3）設(shè)，若不等式對一切恒成立，求實數(shù)取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由分層抽樣各層成比例計算即可【詳解】設(shè)高二年級學生人數(shù)為,則,解得故選:D2、A【解析】由絕對值的意義可知命題p為真命題；由于，所以命題q為假命題；因此為假命題，為真命題，“且”字聯(lián)結(jié)的命題只有當兩命題都真時才是真命題，所以答案選A3、D【解析】利用斜率公式可得出關(guān)于實數(shù)的等式與不等式，由此可解得實數(shù)的值.詳解】由斜率公式可得，即，解得.故選：D.4、B【解析】根據(jù)空間向量運算求得正確答案.【詳解】.故選：B5、C【解析】由斐波那契數(shù)列的前幾項分析該數(shù)列的項的奇偶規(guī)律，由此確定該數(shù)列的前2022項中的奇數(shù)的個數(shù).【詳解】由已知可得為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，因為，所以為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，…………所以為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，又故該數(shù)列的前2022項中共有1348個奇數(shù)，故選：C.6、D【解析】以為坐標原點，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】以為坐標原點，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，，，因此異面直線與所成角的余弦值等于.故選：D.7、A【解析】由題意條件和，可建立一個關(guān)于的方程組，解出的值，然后再將帶入到中去驗證其是否滿足在處有極小值，排除增根，即可得到答案.【詳解】由題意可得，則，解得，或．當，時，．由，得；由，得．則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處有極大值5，不符合題意．當，時，．由，得；由，得．則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處有極小值5，符合題意，從而故選：A.8、A【解析】由可求出直線過定點，作出圖象，求出和，數(shù)形結(jié)合可得或，即可求解.【詳解】由可得：，由可得，所以直線：過定點，由可得，作出圖象如圖所示：，，若直線與線段相交，則或，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是或，故選：A.9、C【解析】集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，則.所以.故選C.點睛：集合的交集即為由兩個集合的公共元素組成的集合，集合的并集即由兩集合的所有元素組成.10、A【解析】設(shè)橢圓方程為，設(shè)該橢圓的焦距為，則，求出點的坐標，根據(jù)可得出，可得出，，結(jié)合已知條件求得的值，可得出、的值，即可得出橢圓的方程.【詳解】設(shè)橢圓方程為，設(shè)該橢圓的焦距為，則，由圖可知，點第一象限，將代入橢圓方程得，得，所以，點，易知點、，，，因為，則，得，可得，則，點到右準線的距離為為，則，，因此，橢圓的方程為.故選：A.11、D【解析】利用直線垂直系數(shù)之間的關(guān)系即可得出.【詳解】解：直線和直線互相垂直，則，解得：.故選：D.12、A【解析】根據(jù)橢圓的定義即可求解.【詳解】解：，故，又，根據(jù)橢圓的定義可知：P的軌跡為橢圓.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求出100名學生每周鍛煉的平均時間，然后再求這100名學生每周鍛煉時間的方差，從而可估計該校學生每周鍛煉時間的方差【詳解】由題意可得55名男生和45名女生的每周鍛煉時間的平均數(shù)為小時，因為55名男生每周鍛煉時間的方差為6；45名女生每周鍛煉時間的方差為8，所以這100名學生每周鍛煉時間的方差為，所以該校學生每周鍛煉時間的方差約為，故答案為：14、【解析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】因為等比數(shù)列滿足，，公比，所以，故答案為：15、【解析】直接利用點到直線的距離公式計算即可.【詳解】點到直線的距離為.故答案為：.16、【解析】先把原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用恒成立，求出的取值范圍.【詳解】因為對任何，，所以對任何，，所以在上為減函數(shù).，，所以恒成立，即對恒成立，所以，所以.即的取值范圍是.故答案為：.【點睛】恒（能）成立問題求參數(shù)的取值范圍：①參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的最值問題；②不能參變分離，直接對參數(shù)討論，研究的單調(diào)性及最值；③特別地，個別情況下恒成立，可轉(zhuǎn)換為（二者在同一處取得最值）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）分別求出命題，均為真命題時的取值范圍，再求交集即可.（2）利用集合間的關(guān)系求解即可.【詳解】實數(shù)滿足不等式，即命題實數(shù)滿足不等式，即（1）當時，命題，均為真命題，則且則實數(shù)的取值范圍為；（2）若是的充分不必要條件，則是的真子集則且解得故的取值范圍為.【點睛】判斷充分條件與必要條件應(yīng)注意：首先弄清條件和結(jié)論分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗試.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題；對于范圍問題也可以轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系來處理.18、（1）（2）或【解析】（1）點和的中垂線經(jīng)過圓心，兩直線聯(lián)立方程得圓心坐標，再利用兩點間距離公式求解半徑.（2）已知弦長，求解直線方程，分類討論斜率是否存在.小問1詳解】點和的中點為，,所以中垂線的，利用點斜式得方程為，聯(lián)立方程得圓心坐標為，所以圓C的標準方程為.【小問2詳解】當過點的直線l斜率不存在時，直線方程為，此時弦長，符合題意.當過點的直線l斜率存在時,設(shè)直線方程為，化簡得，弦心距，所以，解得，所以直線方程為.綜上所述直線方程為或.19、（1）（2）【解析】（1）由定義法求出曲線C的方程；（2）先判斷出直線AB過定點H(2,0)或H(4,0).當AB過定點H(4,0)，求出最大；當H(2,0)時，可設(shè)直線AB：.用“設(shè)而不求法”表示出，不妨設(shè)（），利用函數(shù)的單調(diào)性求出△ABD面積的最大值.【小問1詳解】因為線段PM的垂直平分線交半徑MQ于點C，所以,所以,符合橢圓的定義，所以點C的軌跡為以P、Q為焦點的橢圓，其中，所以，所以曲線C的方程為.【小問2詳解】不妨設(shè)直線l：x＝8交x軸于G(8,0)，直線AB交x軸于H(h,0)，則,.因為，，，所以.又因為的面積是△ABD面積的5倍，所以.因為G(8,0)，D（3，0），所以，所以H(2,0)或H(4,0).當H(4,0)時，則H與A（或H與B）重合，不妨設(shè)H與A重合，此時，，要使△ABD面積最大，只需B在短軸頂點時，=2最大，所以最大；當H(2,0)時，要想構(gòu)成三角形ABD，直線AB的斜率不為0，可設(shè)直線AB：.設(shè),則，消去x可得：，所以，，，所以.不妨設(shè)（），則，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，所以當t=4時，，此時最大綜上所述，△ABD面積的最大值為.【點睛】（1）“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題；（2）解析幾何中最值計算方法有兩類：①幾何法：利用幾何圖形求最值；②代數(shù)法：表示為函數(shù)，利用函數(shù)求最值.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意求出值，求導后通過導數(shù)的值域求出斜率范圍，從而得到傾角范圍.（2）利用導數(shù)幾何意義得到過P點的切線方程，化簡后構(gòu)造m的函數(shù)，求新函數(shù)的極大值極小值即可.【小問1詳解】因為，則，解得，所以，則，故，，，，，切線的傾斜角的的取值范圍是，，.小問2詳解】設(shè)曲線與過點，的切線相切于點，則切線的斜率為，所以切線方程為因為點，在切線上，所以，即，由題意，該方程有三解設(shè)，則，令，解得或，當或時，，當時，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值為，極大值為，所以實數(shù)的取值范圍是.21、(1)(2)當單價應(yīng)定為22.5元時，可獲得最大利潤【解析】（l）先計算的平均值，再代入公式計算得到（2）計算利潤為：計算最大值.【詳解】解：（1），，，所以對的回歸直線方程為：（2）設(shè)獲得的利潤為，，因為二次函數(shù)的開口向下，所以當時，取最大值，所以當單價應(yīng)定為2