山西省呂梁市泰化中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中國景德鎮(zhèn)陶瓷世界聞名，其中青花瓷最受大家的喜愛，如圖1這個精美的青花瓷花瓶，它的頸部（圖2）外形上下對稱，基本可看作是離心率為的雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，若該頸部中最細(xì)處直徑為16厘米，瓶口直徑為20厘米，則頸部高為（）A.10 B.20C.30 D.402．已知梯形ABCD中，，，且對角線交于點E，過點E作與AB所在直線的平行線l.若AB和CD所在直線的方程分別是與，則直線l與CD所在直線的距離為（）A.1 B.2C.3 D.43．正方體的表面積為，則正方體外接球的表面積為（

）A. B.C. D.4．設(shè)是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，滿足，若，則（）A. B.C. D.a，b的大小無法判斷5．已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，左焦點、右頂點和下頂點分別為，坐標(biāo)原點到直線的距離為，則的面積為（）A. B.4C. D.6．將一枚骰子先后拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點數(shù)分別記為a，b，則直線到原點的距離不超過1的概率是（）A. B.C. D.7．某班進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)測試，全班學(xué)生的成績都落在區(qū)間內(nèi)，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，若該班學(xué)生這次數(shù)學(xué)測試成績的中位數(shù)的估計值為，則的值為（）A. B.C. D.8．已知m是2與8的等比中項，則圓錐曲線x2﹣＝1的離心率是（）A.或 B.C. D.或9．若函數(shù)恰好有個不同的零點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．若拋物線的焦點與橢圓的左焦點重合，則m的值為（）A.4 B.-4C.2 D.-211．已知橢圓的左、右焦點分別為，，焦距為，過點作軸的垂線與橢圓相交，其中一個交點為點(如圖所示)，若的面積為，則橢圓的方程為()A B.C. D.12．已知雙曲線，過原點作一條傾斜角為的直線分別交雙曲線左、右兩支于、兩點，以線段為直徑的圓過右焦點，則雙曲線的離心率為（）.A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是橢圓的一個焦點，為橢圓上一點，為坐標(biāo)原點，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為__________14．已知函數(shù)，則曲線在處的切線方程為___________.15．直線l交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為，直線是線段AB的垂直平分線，若，D為垂足，則D點的軌跡方程是______16．正三棱柱的底面邊長和高均為2，點為側(cè)棱的中點，連接，，則點到平面的距離為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）從某居民區(qū)隨機抽取2021年的10個家庭，獲得第個家庭的月收入(單位：千元)與月儲蓄(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，計算得，，，（1）求家庭的月儲蓄對月收入的線性回歸方程；（2）判斷變量與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；（3）利用（1）中的回歸方程，分析2021年該地區(qū)居民月收入與月儲蓄之間的變化情況，并預(yù)測當(dāng)該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，該家庭的月儲蓄額．附：線性回歸方程系數(shù)公式中，，，其中，為樣本平均值18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若，且，討論函數(shù)的零點個數(shù).19．（12分）已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且B，A，C成等差數(shù)列.（1）求A的大小；（2）若，且的面積為，求的周長.20．（12分）已知橢圓點（1）若橢圓的左焦點為，上頂點為，求點到直線的距離；（2）若點是橢圓的弦的中點，求直線的方程21．（12分）如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，|AB|＝|AD|＝2，|CD|＝4，為的中點（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正切值22．（10分）如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，，，設(shè)，，（1）用，，表示，并求；（2）求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件可得的值，由可得雙曲線的方程，再將代入方程可得的值，即可求解.【詳解】因為雙曲線焦點在軸上，設(shè)雙曲線方程為由雙曲線的性質(zhì)可知：該頸部中最細(xì)處直徑為實軸長，所以，可得，因為離心率為，即，可得，所以，所以雙曲線的方程為：，因瓶口直徑為20厘米，根據(jù)對稱性可知頸部最右點橫坐標(biāo)為，將代入雙曲線可得，解得：，所以頸部高為，故選：B2、B【解析】先求得直線AB和CD之間的距離，再求直線l與CD所在直線的距離即可解決.【詳解】梯形ABCD中，，，且對角線交于點E，則有△與△相似，相似比為，則，點E到CD所在直線的距離為AB和CD所在直線距離的又AB和CD所在直線的距離為，則直線l與CD所在直線的距離為2故選：B3、B【解析】由正方體表面積求得棱長，再求得正方體的對角線長，即為外接球的直徑，從而可得球表面積【詳解】設(shè)正方體棱長為，由得，正方體對角線長，所以其外接球半徑為，球表面積為故選：B4、A【解析】首先構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷選項.【詳解】設(shè)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，即，所以，那么，即.故選：A5、C【解析】設(shè)，根據(jù)題意，可知的方程為直線，根據(jù)原點到直線的距離建立方程，求出，進(jìn)而求出，的值，以及到直線的距離，再根據(jù)面積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，由題意可知，其中，所以的方程為，即所以原點到直線的距離為，所以，即，；所以直線的方程為，所以到直線的距離為；又，所以的面積為.故選：C.6、C【解析】先由條件得出a，b滿足，得出滿足的基本事件數(shù)，再求出總的基本事件數(shù)，從而可得答案.【詳解】直線到原點的距離不超過1，則所以當(dāng)時，可以為5，6當(dāng)時，可以為4，5，6當(dāng)時，可以為4，5，6當(dāng)時，可以為2，3，4，5，6當(dāng)時，可以為1，2，3，4，5，6當(dāng)時，可以為1，2，3，4，5，6滿足的共有25種結(jié)果.將一枚骰子先后拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點數(shù)分別記為a，b，共有種結(jié)果所以滿足條件的概率為故選：C7、A【解析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意有，得，又由，得，解得，，有故選：A.8、A【解析】利用等比數(shù)列求出m，然后求解圓錐曲線的離心率即可【詳解】解：m是2與8的等比中項，可得m＝±4，當(dāng)m=4時,圓錐曲線為雙曲線x2﹣＝1,它的離心率為：,當(dāng)m=-4時，圓錐曲線x2﹣＝1為橢圓，離心率：，故選：A9、D【解析】分析可知，直線與函數(shù)的圖象有個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】令，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，由題意可知，直線與函數(shù)的圖象有個交點，，由，可得或，列表如下：增極大值減極小值增所以，，，作出直線與函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，即當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有個交點，即函數(shù)有個零點.故選：D.10、B【解析】根據(jù)拋物線和橢圓焦點與其各自標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系即可求解.【詳解】由題可知拋物線焦點為，橢圓左焦點為，∴.故選：B.11、A【解析】由題意可得，令，可得，再由三角形的面積公式，解方程可得，，即可得到所求橢圓的方程【詳解】由題意可得，即，即有，令，則，可得，則，即，解得，，∴橢圓的方程為故選：A12、A【解析】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接、，求得、，利用雙曲線的定義可得出關(guān)于、的等式，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接、，如下圖所示：由題意可知，點為的中點，也為的中點，且，則四邊形為矩形，故，由已知可知，由直角三角形的性質(zhì)可得，故為等邊三角形，故，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)題中幾何關(guān)系，求得點坐標(biāo)，代入橢圓方程求得齊次式，整理化簡即可求得離心率.【詳解】根據(jù)題意，取點為第一象限的點，過點作的垂線，垂足為，如下所示：因為△為等邊三角形，又，故可得則點的坐標(biāo)為，代入橢圓方程可得：，又，整理得：，即，解得（舍）或.故答案為：.14、【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再利用點斜式求出切線方程【詳解】解：∵，∴，又，∴曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：.15、【解析】設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程并化簡，然后根據(jù)M為線段AB的中點結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到k,t間的關(guān)系，進(jìn)而寫出線段AB的垂直平分線的直線方程，可以判斷它過定點E，再考慮直線l的斜率不存在的情況，根據(jù)題意可知，點D在以O(shè)E為直徑的圓上，最后求出點D的軌跡方程.【詳解】設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程并化簡得：，設(shè)，則，解得.因為直線是線段AB的垂直平分線，故直線：，即：令，此時，，于是直線過定點當(dāng)直線l的斜率不存在時，，直線也過定點點D在以O(shè)E為直徑的圓上，則圓心為，半徑，所以點D軌跡方程為：16、【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求點面距離的公式可以直接求出.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，為的中點，由已知，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，，即：，取，得，，則點到平面的距離為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）＝0.3x－0.4（2）正相關(guān)（3）1.7千元【解析】（1）由題意得到n＝10，求得，進(jìn)而求得，寫出回歸方程；.（2）由判斷；（3）將x＝7代入回歸方程求解.【小問1詳解】由題意知n＝10，，則，所以所求回歸方程為＝0.3x－0.4.【小問2詳解】因為，所以變量y的值隨x的值增加而增加，故x與y之間是正相關(guān).【小問3詳解】將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲蓄為＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).18、（1）.（2）答案見解析.【解析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，求得，，由此可求得曲線在點處的切線方程；（2）求得導(dǎo)函數(shù)，分和討論，當(dāng)時，設(shè)，求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號，得出所令函數(shù)的單調(diào)性，從而得函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點存在定理可得答案.【小問1詳解】解：當(dāng)時，，所以，故，，所以曲線在點處的切線方程為.【小問2詳解】解：依題意，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，設(shè)，此時，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)，即時，有唯一零點在區(qū)間上，當(dāng)，即時，在上無零點；故當(dāng)時，在上有1個零點；當(dāng)時，在上無零點.19、（1）（2）【解析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合內(nèi)角和定理得出A的大??；（2）先由余弦定理，結(jié)合，，得到的關(guān)系式，再由的面積為，得到的關(guān)系式，兩式聯(lián)立可求出，進(jìn)而可確定結(jié)果.【小問1詳解】因為B，A，C成等差數(shù)列，所以，所以.【小問2詳解】因為，，由余弦定理可得：；又的面積為，所以，所以，所以,所以周長為.20、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)橢圓基本關(guān)系求得,,再利用截距式求得方程,進(jìn)而求得點到直線的距離.(2)設(shè),利用點差法求解即可.【詳解】（1）橢圓的左焦點是,上頂點,方程為,即,點到直線的距離；（2）設(shè),,,,又,,兩式相減得：,,即直線的斜率為,直線的方程為：,即【點睛】本題主要考查了橢圓中的基本量運算以及點差法的運用,屬于基礎(chǔ)題.21、（1）見解析；（2）.【解析】(1)證明BC⊥平面BDE即可；(2)以D為原點，DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，求平面BMD和平面BCD的法向量，利用法向量的求二面角的余弦，再求正切﹒【小問1詳解】∵ADEF為正方形∴ED⊥AD又∵正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，且ED?平面ADEF∴ED⊥平面ABCD∵BC?平面ABCD∴ED⊥BC在直角梯形ABCD中，|AB|＝|AD|＝2，|CD|＝4，則，|BD|＝2，在△BCD中，，∴BC⊥BD∵DE∩BD＝D，DE與BD平面BDE，∴BC⊥平面BDE又∵BC?平面BEC∴平面BDE⊥平面BEC；【小問2詳解】由(1)知