廣東省廣州荔灣區(qū)廣雅中學(xué)2026屆高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知下列四個(gè)命題，其中正確的是（）A. B.C. D.2．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，已知橢圓的面積為，、分別是的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交于、兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，則的離心率為（）A. B.C. D.3．已知等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列前6項(xiàng)的和（）A.510 B.126C.256 D.5124．已知圓柱的表面積為定值，當(dāng)圓柱的容積最大時(shí)，圓柱的高的值為（）A.1 B.C. D.25．在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了48次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（）A.0.48，0.48 B.0.5，0.5C.0.48，0.5 D.0.5，0.486．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.7．在中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（）A. B.1C. D.28．函數(shù)的圖像大致是（）A. B.C. D.9．若數(shù)列滿足，則（）A.2 B.6C.12 D.2010．已知，，且，則（）A. B.C. D.11．在等差數(shù)列中，，，則公差A(yù).1 B.2C.3 D.412．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F作斜率為2的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若弦的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為3，則拋物線的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓錐曲線有良好的光學(xué)性質(zhì)，光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會(huì)經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（如左圖）；光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出（如中圖）.封閉曲線E（如右圖）是由橢圓C1:+=1和雙曲線C2:-=1在y軸右側(cè)的一部分（實(shí)線）圍成.光線從橢圓C1上一點(diǎn)P0出發(fā)，經(jīng)過點(diǎn)F2，然后在曲線E內(nèi)多次反射，反射點(diǎn)依次為P1，P2，P3，P4，…，若P0，P4重合，則光線從P0到P4所經(jīng)過的路程為_________.14．在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為______（結(jié)果用數(shù)值表示）15．設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的大小_____.16．若命題“，不等式恒成立”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)積，數(shù)列為等差數(shù)列，且，（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面的夾角大小19．（12分）2020年8月，總書記對(duì)制止餐飲浪費(fèi)行為作出重要指示，要求進(jìn)一步加強(qiáng)宣傳教育，切實(shí)培養(yǎng)節(jié)約習(xí)慣，在全社會(huì)營(yíng)造浪費(fèi)可恥、節(jié)約光榮的氛圍．為貫徹總書記指示，大慶市某學(xué)校食堂從學(xué)生中招募志愿者，協(xié)助食堂宣傳節(jié)約糧食的相關(guān)活動(dòng)．現(xiàn)已有高一63人、高二42人，高三21人報(bào)名參加志愿活動(dòng)．根據(jù)活動(dòng)安排，擬采用分層抽樣的方法，從已報(bào)名的志愿者中抽取12名志愿者，參加為期20天的第一期志愿活動(dòng)（1）第一期志愿活動(dòng)需從高一、高二、高三報(bào)名的學(xué)生中各抽取多少人？（2）現(xiàn)在要從第一期志愿者中的高二、高三學(xué)生中抽取2人粘貼宣傳標(biāo)語，求抽出兩人都是高二學(xué)生的概率是多少？（3）食堂每天約有400人就餐，其中一組志愿者的任務(wù)是記錄學(xué)生每天倒掉的剩菜剩飯的重量（單位：公斤），以10天為單位來衡量宣傳節(jié)約糧食的效果．在一個(gè)周期內(nèi)，這組志愿者記錄的數(shù)據(jù)如下：前10天剩菜剩飯的重量為：后天剩菜剩飯的重量為：借助統(tǒng)計(jì)中的圖、表、數(shù)字特征等知識(shí)，分析宣傳節(jié)約糧食活動(dòng)的效果（選擇一種方法進(jìn)行說明即可）20．（12分）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，短軸長(zhǎng)等于焦距.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，直線與曲線的交點(diǎn)為，求的值.22．（10分）2021年國(guó)慶期間，某電器商場(chǎng)為了促銷，給出了兩種優(yōu)惠方案，顧客只能選擇其中的一種，方案一：每消費(fèi)滿8千元，可減8百元.方案二：消費(fèi)金額超過8千元（含8千元），可抽取小球三次，其規(guī)則是依次從裝有2個(gè)紅色小球、2個(gè)黃色小球的一號(hào)箱子，裝有2個(gè)紅色小球、2個(gè)黃色小球的二號(hào)箱子，裝有1個(gè)紅色小球、3個(gè)黃色小球的三號(hào)箱子各抽一個(gè)小球（這些小球除顏色外完全相同），其優(yōu)惠情況為：若抽出3個(gè)紅色小球則打6折；若抽出2個(gè)紅色小球則打7折；若抽出1個(gè)紅色小球則打8折；若沒有抽出紅色小球則不打折.（1）若有兩名顧客恰好消費(fèi)8千元，他們都選中第二方案，求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率；（2）若你朋友在該商場(chǎng)消費(fèi)了1萬元，請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)幫助你朋友分析一下應(yīng)選擇哪種付款方案.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則即可求解判斷.【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：B.2、A【解析】本題首先可根據(jù)題意得出，然后根據(jù)的周長(zhǎng)為得出，最后根據(jù)求出的值，即可求出的離心率.【詳解】因?yàn)闄E圓的面積為，所以長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，所以根據(jù)橢圓的定義易知，，，，則的離心率，故選：A.3、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題設(shè)條件，求得，再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，可得，解得，所以?shù)列前6項(xiàng)的和.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.4、B【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側(cè)，則可得，則圓柱的體積為，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值，確定值.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側(cè)，∴，∴，則圓柱的體積，∴，由得，由得，∴當(dāng)時(shí)，取極大值，也是最大值，即故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱表面積和體積的計(jì)算，考查了導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).5、C【解析】頻率跟實(shí)驗(yàn)次數(shù)有關(guān)，概率是一種現(xiàn)象的固有屬性，與實(shí)驗(yàn)次數(shù)無關(guān)，即可得到答案.【詳解】頻率跟實(shí)驗(yàn)次數(shù)有關(guān)，出現(xiàn)正面朝上的頻率為實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)除以總試驗(yàn)次數(shù)，故為.概率是拋硬幣試驗(yàn)的固有屬性，與實(shí)驗(yàn)次數(shù)無關(guān)，拋硬幣正面朝上的概率為.故選：C6、A【解析】根據(jù)原函數(shù)圖象判斷出函數(shù)單調(diào)性，由此判斷導(dǎo)函數(shù)的圖象.【詳解】原函數(shù)在上從左向右有增、減、增，個(gè)單調(diào)區(qū)間；在上遞減.所以導(dǎo)函數(shù)在上從左向右應(yīng)為：正、負(fù)、正；在上應(yīng)為負(fù).所以A選項(xiàng)符合.故選：A7、C【解析】由余弦定理求出，利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)二倍角公式得到，即可得到，最后利用面積公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，又，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，即，所以或，即或（舍去），所以，因?yàn)椋?，所以；故選：C8、B【解析】由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及指數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，排除A、D；又由指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)，排除C.故選：B9、D【解析】由已知條件變形可得，然后累乘法可得，即可求出詳解】由得，，.故選：D10、D【解析】利用空間向量共線的坐標(biāo)表示可求得、的值，即可得解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，，，因此，.故選：D11、B【解析】由，將轉(zhuǎn)化為表示，結(jié)合，即可求解.【詳解】，.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】設(shè)出直線，并與拋物線聯(lián)立，得到，再根據(jù)拋物線的定義建立等式即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€l的方程為，即，由消去y，得，設(shè)，則，又因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3，所以，而，所以，故，解得，所以拋物線的方程為故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】結(jié)合橢圓、雙曲線的定義以及它們的光學(xué)性質(zhì)求得正確答案.【詳解】橢圓；雙曲線，雙曲線和橢圓的焦點(diǎn)重合.根據(jù)雙曲線的定義有，所以①，②，根據(jù)橢圓的定義由，所以路程.故答案為：14、12【解析】通過二次展開式就可以得到.【詳解】的展開式中含含項(xiàng)的系數(shù)為故答案為：1215、【解析】，，利用橢圓的定義、結(jié)合余弦定理、已知條件，可得，解得，從而可得結(jié)果【詳解】橢圓，可得，設(shè)，，可得，化簡(jiǎn)可得：，，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義以及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.16、【解析】，不等式恒成立，只要即可，利用基本不等式求出即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，不等式恒成立，只要即可，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），.（2）.【解析】（1）由已知得，，兩式相除得，由已知得，求得數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得；（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法可求得.【小問1詳解】解：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)積，所以，所以，兩式相除得，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，，所以，即，所以數(shù)列的公差為，所以，所以，【小問2詳解】解：由（1）得，所以，，所以，所以.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，證得，利用線面平行的判定定理，即可求解；（2）以為原點(diǎn)，以方面為軸，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S，建立坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量的夾角公式，即可求解【小問1詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)，由，，則，又由平面，平面，所以平面.【小問2詳解】以為原點(diǎn)，以方面為軸，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S，建立坐標(biāo)系，可得，，，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則又平面的法向量為；則，所以平面與平面所成的銳二面角為.19、（1）6，4，2；（2）；（3）答案見解析.【解析】（1）先求出抽樣比，然后每次按比例抽取即可求出；（2）先求出抽出兩人的基本事件，再求出兩人都是高二學(xué)生包含的基本事件，即可求出概率；（3）可求出平均值進(jìn)行判斷；也可畫出莖葉圖觀察判斷.【詳解】解：（1）報(bào)名的學(xué)生共有126人，抽取的比例為，所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人.（2）記高二四個(gè)學(xué)生為1，2，3，4，高三兩個(gè)學(xué)生為5，6，抽出兩人表示為（x，y），則抽出兩人的基本事件為（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15個(gè)基本事件，其中高二學(xué)生都在同一組包含（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6個(gè)基本事件.記抽出兩人都是高二學(xué)生為事件，則，所以高二學(xué)生都在同一組的概率是.（3）法一：（數(shù)字特征）前10天的平均值為23.5，后10天的平均值為20.5，因?yàn)?0.5<23.5，所以宣傳節(jié)約糧食活動(dòng)的效果很好.法二：（莖葉圖）畫出莖葉圖因?yàn)榍?0天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近，所以節(jié)約宣傳后剩飯剩菜明顯減少，宣傳效果很好.20、（1）；（2）.【解析】（1）由橢圓頂點(diǎn)可知，又短軸長(zhǎng)等于焦距可知，求出，即可寫出橢圓方程（2）根據(jù)“點(diǎn)差法”可求直線的斜率，寫出直線方程，聯(lián)立橢圓方程可得，，代入弦長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】（1）依題意，解得.故橢圓方程為.（2）設(shè)的坐標(biāo)分別為，，直線的斜率顯然存在，設(shè)斜率為，則，兩式相減得，整理得.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，所以直線的方程為，聯(lián)立，得，則，，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，“點(diǎn)差法”，弦長(zhǎng)公式，屬于中檔題.21、（1）；（2）3.【解析】（1）把展開得，兩邊同乘得,再代極坐標(biāo)公式得曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）將代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得，再利用直線參數(shù)方程t的幾何意義和韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）把展開得，兩邊同乘得①將代入①，即得曲線的直角坐標(biāo)方程為②（2）將代入②式，得，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（0，3），設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為t1，t2，則∴t1＜0，t2＜0則由參數(shù)t的幾何意義即得.【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化、直線參數(shù)方程t的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.22、（1）（2）選擇方案二更劃算【解析】（1）要使方案二比方案一優(yōu)惠，則需要抽出至少一個(gè)紅球，求出沒有抽