一元一次不等式組【題型1一元一次不等式組的定義】【題型2解一元一次不等式組】

【題型3解特殊不等式組】【題型4一元一次不等式組的整數(shù)解】

【題型5由一元一次不等式組的解集求參數(shù)】

【題型6由不等式組解集的情況求參數(shù)】【題型7一元一次不等式組的應用-盈不足問題】【題型8一元一次不等式組的應用-方案問題】

【題型9一元一次不等式組的其他應用】考點1：一元一次不等式組的定義一般地，由幾個同一未知數(shù)的一元一次不等式所組成的一組不等式?！绢}型1一元一次不等式組的定義】【典例1】（2024八年級上·全國·專題練習）下列不等式組：①x>-2x<3；②x>0x+2>4；③x+1>0y-A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】本題考查一元一次不等式組的定義，根據(jù)共含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1來判斷．根據(jù)一元一次不等式組的定義判斷即可．【詳解】解：①x>-2②x>0③x+1>0④x+3>0⑤x2+1<x其中是一元一次不等式組的有3個，故選：B．【變式1-1】（23-24八年級下·河南鄭州·期中）下列各項中，是一元一次不等式組的是（

）A．5x+2>0x-1>2x B．【答案】D【分析】本題考查了一元一次不等式組的定義，根據(jù)一元一次不等式組的定義逐個判斷即可．含有相同字母的幾個不等式，如果每個不等式都是一次不等式，那么這幾個不等式組合在一起，就叫一元一次不等式組．【詳解】解：A.5x+2>0B.x+1>0yC.2x>3D.x<2故選：D．【變式1-2】（22-23七年級下·全國·課后作業(yè)）下列選項中，是一元一次不等式組的是（

）A．x+4=0,1xC．y+2>0,x-【答案】D【解析】略【變式1-3】（22-23八年級下·廣東佛山·階段練習）下列不是一元一次不等式組的是（

）A．x>3x<1 B．3x>72【答案】C【分析】根據(jù)一元一次不等式組的定義進行解答．【詳解】解：A、該不等式組符合一元一次不等式組的定義，故本選項不合題意；B、該不等式組符合一元一次不等式組的定義，故本選項不合題意；C、該不等式組中含有2個未知數(shù)，不是一元一次不等式組，故本選項符合題意；D、該不等式組符合一元一次不等式組的定義，故本選項不合題意；故選：C．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的定義，每個不等式中含有同一個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式組是一元一次不等式組．考點2：一元一次不等式組的解集考點3：解一元一次不等式組的步驟：（1）求分解，分別解不等式組中的每一個不等式，并求出它們的解；（2）畫公解，將每一個不等式的解集畫在同一數(shù)軸上，并找出它們的公共部分；（3）寫組解，將（2）步中所確定的公共部分用不等式表示出來，就是原不等式組的解集?！绢}型2解一元一次不等式組】【典例2】（21-22七年級下·安徽六安·期末）解不等式組：4x-【答案】不等式組的解集為-1≤【分析】本題考查了一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．首先解每個不等式，兩個不等式解集的公共部分就是不等式組的解集，將解集在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】解：解不等式4x-1>7解不等式2x-1則不等式組的解集為-1≤將不等式組的解集在數(shù)軸上表示如下：【變式2-1】（24-25八年級上·浙江嘉興·階段練習）解不等式組，并在數(shù)軸上表示其解集：2x【答案】-3<【分析】本題考查了解一元一次不等式組、在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握不等式組的解法是解題關鍵．先分別求出兩個不等式的解集，再找出它們的公共部分即為不等式組的解集，然后將其在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】解：2由①得：x≤1由②得：x>-3∴原不等式組的解集為：-3<數(shù)軸表示為：【變式2-2】（24-25八年級上·浙江·階段練習）解不等式組：3x

【答案】-1<【分析】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，先求出每個不等式的解集，取解集的公共部分可得不等式組的解集，再把解集在數(shù)軸上表示出來即可，掌握以上知識點是解題的關鍵．【詳解】解：3x由①得，x>-1由②得，x<3∴不等式組的解集為-1<不等式組的解集在數(shù)軸上表示如下：

【變式2-3】（24-25八年級上·浙江金華·階段練習）解不等式組(1)x-1>0x【答案】(1)x>1(2)1≤x【分析】本題考查了解一元一次不等式組，熟記口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到是解答的關鍵．（1）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣確定不等式組的解集即可；（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣確定不等式組的解集即可．【詳解】（1）解：x-1>0解不等式x-1>0得：解不等式x+4>3得：x∴不等式組的解集為：x>1（2）解：2x解不等式2x-1≥1解不等式32-x>-6∴不等式組的解集為：1≤x【題型3解特殊不等式組】

【典例3】（24-25八年級上·黑龍江哈爾濱·開學考試）閱讀以下例題：解不等式：x解：①當x+4>0，則x即可以寫成：x+4>0x②當若x+4<0，則x即可以寫成：x+4<0x-綜合以上兩種情況：原不等式的解集為：x>1或x以上解法的依據(jù)為：當ab>0，則ab請你模仿例題的解法，解不等式：(1)x+1(2)2x【答案】(1)x>2或(2)-【分析】本題考查了因式分解式不等式的求解，解題的關鍵在于熟練掌握兩式之積大于0，則兩式為同號，兩式之積小于0則兩式為異號．（1）利用兩式之積大于0，推出兩式同號，分別列出兩個不等式組，按照不等式的大大取大，小小取小即可求出原不等式的解集．（2）利用兩式之積小于0，推出兩式異號，分別列出兩個不等式組，按照不等式的大小小大取中間，即可求出原不等式的解集．【詳解】（1）解：①當x+1>0，則x∴x+1>0x②當若x+1<0，則x∴x+1<0x∴原不等式的解集為：x>2或x（2）解：①當2x-1>0∴2∴不等式組無解．②當若2x-1<0∴2x-∴原不等式的解集為：-2【變式3-1】（2024八年級上·全國·專題練習）解不等式2x【答案】-【分析】本題主要考查了解不等式組，絕對值等知識點，分x+2≥0和x【詳解】解：①當x+2≥0，即解集為-2≤②當x+2<0，即x解集為-6<綜上可知，原不等式的解集為-6<【變式3-2】（2024八年級上·全國·專題練習）解不等式2x【答案】-【分析】本題主要考查了解不等式，解不等式組，絕對值等知識點，分2x+1≥0和【詳解】①當2x+1≥0，即解集為-1②當2x+1<0，即：解集為-2<綜上可知，原不等式的解集為-2<【變式3-3】（21-22七年級下·陜西安康·期末）閱讀下列關于不等式x-由兩實數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”可得：①x-1>0x+2>0解不等式組①得x>1解不等式組②得x<∴等式x-1x+2請利用上面的解題思路解答下列問題：(1)求出x-(2)求不等式x-【答案】(1)-(2)x>3或【分析】（1）根據(jù)實數(shù)的乘法法則以及解一元一次不等式組解決此題．（2）根據(jù)實數(shù)的除法法則以及解一元一次不等式組解決此題．【詳解】（1）由兩數(shù)相乘，異號為負，得：①x-1>0x+2<0解不等式組①，無解；解不等式組②，-∴(x-（2）由兩數(shù)相除，同號為正，得：①x-3>0x+2>0解不等式組①，x>3；解不等式組②，∴不等式x-3x+2【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解決本題的關鍵．【題型4一元一次不等式組的整數(shù)解】【典例4】（24-25八年級上·四川眉山·期中）解不等式組：4x【答案】-1<x≤2，數(shù)軸表示見解析，不等式組的非負整數(shù)解為2，【分析】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的法則是解答此題的關鍵，分別計算出兩個不等式的解集，再根據(jù)大小小大中間找確定不等式組的解集，最后找出解集范圍內(nèi)的非負整數(shù)即可．【詳解】解：4解不等式①得：x≤2解不等式②得：x>-1數(shù)軸表示如下；所以不等式組的解集為：-1<所以不等式組的非負整數(shù)解為2，1，0．【變式4-1】（24-25八年級上·浙江溫州·期末）解不等式組-7+4【答案】-175【分析】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，熟練掌握該知識點是解題的關鍵．先求出兩個不等式的解集，再求其公共解，然后寫出范圍內(nèi)的非正整數(shù)，即可得到答案．【詳解】解：-解①得，x解②得，x∴原不等式組的解為：-∴非正整數(shù)解為-3、-2、-∵-3+∴所有非正整數(shù)解的和為-6【變式4-2】（24-25七年級上·吉林長春·階段練習）解不等式組2x【答案】-2<x【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．先分別求出兩個不等式的解集，再得出不等式組的解集，最后求出整數(shù)解即可．【詳解】解：2x解不等式①得x>-2解不等式②得x≤-∴不等式組的解集為：-2<∴不等式組的整數(shù)解為-1【變式4-3】（2024·湖北武漢·模擬預測）求不等式組21-【答案】-【分析】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，解題的關鍵是掌握一元一次不等式組的解法．求出各個不等式的解集，再尋找解集的公共部分即可．【詳解】解：2由①得x≥-2由②得x<-∴-2≤∴不等式組的最大整數(shù)解為-1【題型5由一元一次不等式組的解集求參數(shù)】【典例5】（24-25八年級上·浙江杭州·期中）不等式組x+9<5x+1x>m+1A．m<2 B．m≥2 C．m≤1【答案】C【分析】本題考查了解一元一次不等式組，解題的關鍵是熟練掌握解不等式組的方法和步驟．先求解不等式x+9<5x+1，結(jié)合原不等式組的解集是x【詳解】解：解不等式x+9<5可得：x>2∵原不等式組x+9<5x+1∴m+1≤2解得：m≤1故答案為：C．【變式5-1】（23-24八年級上·浙江杭州·期中）若不等式組3x-4>11x<A．m<5 B．m>5 C．m≤5【答案】B【分析】本題主要考查了不等式組有解情況．熟練掌握不等式組的解集的確定的四種情況：“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”是解題的關鍵．求出第一個不等式的解集，再根據(jù)不等式組有解，得出m的范圍即可．【詳解】解：解不等式3x-4>11∵不等式組有解，x<∴5<x∴m>5故選：B．【變式5-2】（24-25八年級上·浙江金華·期中）關于x的不等式組4-2x<02x≤a恰好有A．8<a<10 B．8≤a<10 C．【答案】B【分析】本題主要考查了求不等式組的解集，由一元一次不等式組的解集求參數(shù)等知識點，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解題的關鍵．首先求不等式組的解集，得到2<x≤a2，由該不等式組恰好有2個整數(shù)解可知其整數(shù)解是3和4，于是可得【詳解】解：4-2x對于①，解得：x>2對于②，解得：x≤∴不等式組的解集為2<x∵該不等式組恰好有2個整數(shù)解，∴其整數(shù)解是3和4，∴a對于①，解得：a≥8對于②，解得：a<10∴8≤a故選：B．【變式5-3】（24-25八年級上·浙江麗水·期中）已知關于x的不等式組x-a>03-2x>0的整數(shù)解共有A．-2≤a<-1C．-2<a<-1【答案】A【分析】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關鍵．不等式組整理后，表示出解集，根據(jù)整數(shù)解共有3個，確定出a的取值范圍即可．【詳解】解：不等式組整理得：x>∵不等式組的整數(shù)解共有3個，∴a<x<32，整數(shù)解為則a的取值范圍是-2≤故選：A．考點3：一元一次不等式組的應用步驟如下：（1）審：審清題意，找出已知量和未知量；（2）設：設出適當?shù)奈粗獢?shù)（只能設一個未知數(shù)）；（3）找：找出反映題目數(shù)量關系的不等關系；（4）列：用代數(shù)式表示不等關系中的量，列不等式組；（5）解：解不等式組，并用數(shù)軸上表示它的解集；（6）寫出答案（包括單位名稱）?！绢}型6一元一次不等式組的應用-盈不足問題】【典例6】（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）將兩個班學生編成人數(shù)相等的8組，若每組分配人數(shù)比預定多1名，則總數(shù)超過100人；若每組分配比預定人數(shù)少1名，則總數(shù)不足90人，問預定每組分配多少名學生？【答案】預定每組分配12名學生【分析】此題主要考查了一元一次不等式組的應用，弄清題意，根據(jù)關鍵語句“分配給每組的人數(shù)比預定人數(shù)多1名，那么學生總數(shù)超過100人；如果每組分配的人數(shù)比預定人數(shù)少1名，那么學生人數(shù)不到90人”得到學生總數(shù)的兩個關系式是解決本題的關鍵．首先設預定每組分配x人，根據(jù)題意可得關系式為：（預定每組分配的人數(shù)+1）×組數(shù)>100；（預定每組分配的人數(shù)-1）×組數(shù)<90，把相關數(shù)值代入后可得到不等式組，解不等式組后，取整數(shù)解即可．【詳解】解：設預定每組分配x名學生，得8x解得111∴整數(shù)x=12答：預定每組分配12名學生．【變式6-1】（23-24七年級下·山東濟寧·期末）醫(yī)院安排護士若干名負責護理病人，若每名護士護理4名病人，則有20名病人沒人護理，如果每名護士護理8名病人，有一名護士護理的病人多于1人不足8人，這個醫(yī)院安排了幾名護士護理病人？【答案】這個醫(yī)院安排了6名護士護理病人【分析】本題主要考查了一元一次不等式組的實際應用，設這個醫(yī)院安排了x名護士護理病人，則一共有4x+20名病人，根據(jù)如果每名護士護理8名病人，有一名護士護理的病人多于1人不足【詳解】解：設這個醫(yī)院安排了x名護士護理病人，由題意得，1<4x解得5<x∵x為正整數(shù)，∴x=6答：這個醫(yī)院安排了6名護士護理病人．【變式6-2】（2024·廣東清遠·模擬預測）我市鷹嘴桃果品肉質(zhì)爽脆、味甜如蜜，現(xiàn)在將一箱鷹嘴桃分給若干名到果園參觀的游客品嘗，如果每人分4個，則剩下20個鷹嘴桃；如果每人分8個，則有一名游客分得不足8個，求這批游客的人數(shù)和這箱鷹嘴桃的個數(shù)．【答案】游客有6名，這箱鷹嘴桃有44個【分析】本題主要考查一元一次不等式組，根據(jù)條件列出不等式組是解題的關鍵．設設有x名游客，則鷹嘴桃有4x+20個，根據(jù)如果每人分8個，則有一名游客分得不足【詳解】解：設有x名游客，則鷹嘴桃有4x依題意得：0<4x解得：5<x∵游客人數(shù)應取整數(shù)，∴x=6∴4x答：游客有6名，這箱鷹嘴桃有44個．【變式6-3】（22-23七年級下·廣西賀州·期末）富川縣有個愛心人士在“六一”兒童節(jié)到來之際購買了一批棒棒糖到某邊遠教學點進行節(jié)日慰問，如果每個小學生發(fā)放3個棒棒糖，則剩下86個；如果每人發(fā)放5個棒棒糖，則最后一個小學生有棒棒糖吃但不足3個．請問該教學點有多少個小學生？該愛心人士一共買了多少個棒棒糖？【答案】該教學點有45個小學生；該愛心人士一共買了221個棒棒糖【分析】設該教學點有x個小學生，根據(jù)每個小學生發(fā)放3個棒棒糖，則剩下86個；每人發(fā)放5個棒棒糖，則最后一個小學生有棒棒糖吃但不足3個，列出不等式組進行求解即可．【詳解】解：設該教學點有x個小學生，依題意，得3x解之，得

44<x∵x是正整數(shù)，∴x=45∴3x答：該教學點有45個小學生；該愛心人士一共買了221個棒棒糖．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組的實際應用，正確理解題意列出不等式組是解題的關鍵．【題型7一元一次不等式組的應用-方案問題】【典例7】（23-24七年級下·湖南衡陽·期末）某中學開學初到商場購買A、B兩種品牌的足球，購買A種品牌的足球50個，B種品牌的足球25個，共花費4500元，已知購買一個B種品牌的足球比購買一個A鐘品牌的足球多花30元．(1)求購買一個A種品牌、一個B種品牌的足球各需多少元．(2)學校為了響應習總書記“足球進校園”的號召，決定再次購進A、B兩種品牌足球共50個，正好趕上商場對商品價格進行調(diào)整，A品牌足球售價比第一次購買時提高4元，B品牌足球按第一次購買時售價的9折出售，如果學校此次購買A、B兩種品牌足球的總費用不超過第一次花費的70%，且保證這次購買的B種品牌足球不少于21個，則這次學校有哪幾種購買方案？(3)請你求出學校在第二次購買活動中最多需要多少資金？【答案】(1)購買一個A種品牌的足球需要50元，購買一個B種品牌的足球需要80元(2)見解析(3)學校在第二次購買活動中最多需要3150元資金【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，（1）設A種品牌足球的單價為x元，B種品牌足球的單價為y元，根據(jù)“總費用=買A種足球費用+買B種足球費用，以及B種足球單價比A種足球多花30元”可得出關于x、y的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論；（2）設第二次購買A種足球m個，則購買B種足球(50-m)個，根據(jù)“總費用=買A種足球費用+買B種足球費用，以及B種足球不小于23個”可得出關于m的一元一次不等式組，解不等式組可得出（3）分析第二次購買時，A、B種足球的單價，即可得出哪種方案花錢最多，求出花費最大值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設A種品牌足球的單價為x元，B種品牌足球的單價為y元，依題意得：50x+25y答：購買一個A種品牌的足球需要50元，購買一個B種品牌的足球需要80元．（2）解：設第二次購買A種足球m個，則購買B種足球(50-m依題意得：(50+4)m解得：25≤m故這次學校購買足球有五種方案：方案一：購買A種足球25個，B種足球25個；方案二：購買A種足球26個，B種足球24個；方案三：購買A種足球27個，B種足球23個．方案四：購買A種足球28個，B種足球22個．方案五：購買A種足球29個，B種足球21個．（3）解：∵第二次購買足球時，A種足球單價為50+4=54(元)，B種足球單價為80×0.9=72(元)，∴當購買方案中B種足球最多時，費用最高，即方案一花錢最多．∴25×54+25×72=3150(元)．答：學校在第二次購買活動中最多需要3150元資金．【變式7-1】（24-25八年級上·重慶·期中）學校計劃購買一批平板電腦和一批學習機，經(jīng)投標，購買1臺平板電腦比購買3臺學習機多200元，購買3臺平板電腦和2臺學習機共需7200元．(1)求購買1臺平板電腦和1臺學習機各需多少元？(2)學校根據(jù)實際情況，決定購買平板電腦和學習機共90臺，要求購買的總費用不超過98800元，且購買學習機的臺數(shù)不超過購買平板電腦臺數(shù)的2倍．請問有哪幾種購買方案？哪種方案最省錢？【答案】(1)購買一臺平板電腦需2000元，一臺學習機需600元(2)3種方案，見解析；購買平板電腦30臺，學習機60臺最省錢【分析】本題考查了一元一次不等式組的應用，以及二元一次方程組的應用，找出題中的等量關系是解本題的關鍵．（1）設購買一臺平板電腦需x元，一臺學習機需y元，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可求出x和y的值，即可；（2）設購買平板電腦m臺，則購買學習機90-m臺，根據(jù)題意列出不等式組，解不等式組求出m【詳解】（1）解：設購買一臺平板電腦需x元，一臺學習機需y元．由題意得：x-解得：x=2000故購買一臺平板電腦需2000元，一臺學習機需600元．（2）解：設購買平板電腦m臺，則購買學習機90-m由題意得：2000m解得：30≤m∵m是整數(shù)，∴m=30，31，32方案1：購買平板電腦30臺，學習機90-30=60臺，費用為2000×30+600×60=96000（元）；方案2：購買平板電腦31臺，學習機90-31=59臺，費用為2000×31+600×59=97400（元）；方案3：購買平板電腦32臺，學習機90-32=58臺，費用為2000×32+600×58=98800（元）；則購買平板電腦30臺，學習機60臺最省錢．【變式7-2】（23-24八年級下·廣東深圳·單元測試）為保護環(huán)境，我市某公交公司計劃購買A型和B型兩種環(huán)保節(jié)能公交車共10輛，若購買A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；若購買A型公交車3輛，B型公交車2輛，共需600萬元．(1)求購買A型和B型公交車每輛各需多少萬元？(2)預計在某線路上A型和B型公交車每輛年均載客量分別為60萬人次和100萬人次．若該公司購買A型和B型公交車的總費用不超過1200萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于680萬人次，則該公司有哪幾種購車方案？(3)在（2）的條件下，哪種購車方案總費用最少？最少總費用是多少萬元？【答案】(1)購買A型公交車每輛需100萬元，購買B型公交車每輛需150萬元(2)三種方案：①購買A型公交車6輛，B型公交車4輛；②購買A型公交車7輛，B型公交車3輛；③購買A型公交車8輛，B型公交車2輛．(3)購買A型公交車8輛，則B型公交車2輛總費用最少，最少總費用為1100萬元【分析】此題考查二元一次方程組和一元一次不等式組的應用，注意理解題意，找出題目蘊含的數(shù)量關系，列出方程組或不等式組解決問題．（1）設購買A型公交車每輛需x萬元，購買B型公交車每輛需y萬元，根據(jù)“A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；A型公交車3輛，B型公交車2輛，共需600萬元”可列出二元一次方程組解決問題；（2）設購買A型公交車a輛，則B型公交車10-a輛，由“購買A型和B型公交車的總費用不超過1200萬元”和“10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于680萬人次”（3）分別求出各種購車方案總費用，再根據(jù)總費用作出判斷．【詳解】（1）解：設購買A型公交車每輛需x萬元，購買B型公交車每輛需y萬元，由題意得：x+2解得x=100答：購買A型公交車每輛需100萬元，購買B型公交車每輛需150萬元．（2）解：設購買A型公交車a輛，則B型公交車10-a100a解得：6≤a所以a=6，7，8則(10-a)=4，3，三種方案：①購買A型公交車6輛，B型公交車4輛；②購買A型公交車7輛，B型公交車3輛；③購買A型公交車8輛，B型公交車2輛．（3）解：①購買A型公交車6輛，B型公交車4輛：100×6+150×4=1200(萬元)；②購買A型公交車7輛，則B型公交車3輛：100×7+150×3=1150(萬元)；③購買A型公交車8輛，則B型公交車2輛：100×8+150×2=1100(萬元)．故購買A型公交車8輛，則B型公交車2輛總費用最少，最少總費用為1100萬元．【變式7-3】（2024·山東東營·模擬預測）5G具有高速率、低時延、高可靠性等特點，是新一代信息技術(shù)發(fā)展方向和數(shù)字經(jīng)濟的重要基礎設施，5G將開啟令人振奮的全新機遇，為世界相互連接、計算和溝通方式帶來超越想象的變革，中國的5G規(guī)模領先世界．某科技公司試生產(chǎn)了兩批A，B兩種5G通信設備，經(jīng)市場調(diào)查研究，將A，B兩種設備的售價分別定為3500元、2800元．兩批試生產(chǎn)的設備情況及相應的生產(chǎn)成本統(tǒng)計如下表：A設備（單位：臺）B設備（單位：臺）總生產(chǎn)成本（單位：元）第一批10535000第二批151057500(1)A，B兩種設備平均每臺的成本分別為多少元？(2)因核心科技材料供不應求，該公司計劃正式生產(chǎn)A，B兩種設備共100臺，若A設備數(shù)量不超過B設備數(shù)量的3倍，并且B設備數(shù)量不超過30臺，一共有多少種生產(chǎn)方案？哪種生產(chǎn)方案能獲得最大利潤？【答案】(1)A，B兩種設備平均每件的成本分別為2500，2000元．(2)生產(chǎn)A設備75臺，B設備25臺時，能獲得最大利潤．【分析】考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，進而找到所求的量的等量關系和不等關系．（1）設A，B兩種設備平均每臺的成本分別為x，y元，由題意列出二元一次方程組，則可得出答案；（2）設公司計劃正式生產(chǎn)A設備x臺，則生產(chǎn)B設備(100-x【詳解】（1）設A，B兩種設備平均每臺的成本分別為x，y元，由題意得10x解得x=2500答：A，B兩種設備平均每件的成本分別為2500，2000元．（2）設公司計劃正式生產(chǎn)A設備x臺，則生產(chǎn)B設備(100-x由題意得x≤3(100-解得70≤x∵x∴x=70，71，72，73，74，∴一共有6種生產(chǎn)方案．由（1）知，A，B兩種設備平均每件的利潤分別為1000，800元．∵A設備平均每件的利潤1000元大于B設備平均每件的利潤800∴當x=75，100-即生產(chǎn)A設備75臺，B設備25臺時，能獲得最大利潤．

【題型8一元一次不等式組的其他應用】【典例8】（24-25八年級上·浙江嘉興·階段練習）如圖1是一架自制天平，支點O固定不變，左側(cè)托盤固定在點A處，右側(cè)托盤的點P可以在橫梁BC段滑動．已知OA=OC=12cm，BC=50cm，根據(jù)杠桿原理，平衡時：左盤物體質(zhì)量×OA(1)測量一個硬幣的質(zhì)量：如圖1，在天平左側(cè)托盤放置一個100g砝碼，右側(cè)托盤放入10個相同的1元硬幣，調(diào)整點P的位置，發(fā)現(xiàn)當PC=8cm時，天平平衡，則測得每個1元硬幣的質(zhì)量為(2)估算硬幣的數(shù)量：已知空的存錢罐的質(zhì)量約為80g，將裝了若干個1元硬幣的存錢罐放在左側(cè)托盤，右側(cè)托盤放入120g砝碼，調(diào)整點P的位置，發(fā)現(xiàn)當PC=44cm時，天平向左側(cè)傾斜（如圖2），當PC=45【答案】(1)6(2)存錢罐里大約有81個1元硬幣．【分析】本題考查了一元一次方程的應用，不等式組的應用．（1）設每個1元硬幣的質(zhì)量為xg（2）設存錢罐里有a個1元硬幣，根據(jù)題意列出不等式組80+6a×12>12+44【詳解】（1）解：設每個1元硬幣的質(zhì)量為xg，10個1元硬幣的質(zhì)量為10由題意得100×12=10x解得x=6答：每個1元硬幣的質(zhì)量為6g故答案為：6；（2）解：設存錢罐里有a個1元硬幣，當PC=44cm時，由題意得解得a>80當PC=45cm時，由題意得解得a<81∴80<a∵a為正整數(shù)，∴a=81答：存錢罐里大約有81個1元硬幣．【變式8-1】（24-25八年級上·浙江湖州·階段練習）根據(jù)以下素材，探索完成任務：快餐方案的確定素材1100g雞蛋、100g牛奶和項目雞蛋牛奶谷物蛋白質(zhì)g153.09.0脂肪g5.23.632.4碳水化合物g1.44.550.8素材2L中學為學生提供的早餐中，包含一個60g素材3L中學為學生提供的午餐有A、B兩種套餐（見表）．為了平衡膳食，建議控制學生的主食和肉類攝入量，在一周內(nèi)，每個學生午餐主食的攝入量不超過830g，午餐肉類攝入量不超過410套餐主食肉類其他A15085165B18060160問題解決任務1若一份早餐包含一個60g的雞蛋、200g牛奶和100g任務2已知L中學提供的一份早餐的總質(zhì)量為300g，蛋白質(zhì)總含量占早餐總質(zhì)量的8%．則每份早餐中牛奶和谷物食品各多少任務3為平衡膳食，每個學生一周內(nèi)午餐可以選擇A、B套餐各幾天（一周按5天計算）【答案】任務一：24g；任務二：該早餐中牛奶110g，谷物130g；任務三：每個學生一周內(nèi)午餐可以選擇A套餐3天、B套餐2天或可以選擇A套餐4天、B【分析】本題考查了有理數(shù)混合運算的應用，二元一次方程組的應用，一元一次不等式組的應用，理解題意，正確列方程組和不等式組是解題關鍵．任務一：根據(jù)題意得到谷物、牛奶以及雞蛋中每100g任務二：設該早餐中牛奶xg，谷物yg，根據(jù)“早餐的總質(zhì)量為300g，蛋白質(zhì)總含量占早餐總質(zhì)量的任務三：設每周共有a天選A套餐，(5-a)天選B套餐，根據(jù)“在一周內(nèi)，每個學生午餐主食的攝入量不超過830g，午餐肉類攝入量不超過【詳解】解：任務一：由題意可知：谷物中蛋白質(zhì)含量9%，牛奶中蛋白質(zhì)含量3%，雞蛋中蛋白質(zhì)含量則100×9%答：該份早餐中蛋白質(zhì)總含量為24g任務二：設該早餐中牛奶xg，谷物y列方程組得：3%x解得：x=110答：該早餐中牛奶110g，谷物130任務三：設每周共有a天選A套餐，(5-a)天選根據(jù)題意得：150a解得：7∴a=3或當a=3時，5-a=2；當a答：每個學生一周內(nèi)午餐可以選擇A套餐3天、B套餐2天或可以選擇A套餐4天、B套餐1天．【變式8-2】（2024七年級上·全國·專題練習）根據(jù)以下素材，探索完成任務．獎品購買及兌換方案設計素材1小明在瓷都愛心超市購物時發(fā)現(xiàn)：顧客甲購買2個風琴包和1個精美書簽花了35元，顧客乙購買1個風琴包和3個精美書簽花了30元．素材2瓷都中學花費600元購買該超市的風琴包和精美書簽作為獎品頒發(fā)給七年級期末考試優(yōu)秀學生，兩種獎品的購買數(shù)量均不少于20個，且購買精美書簽的數(shù)量是10的倍數(shù)．問題解決任務1探求商品單價請運用列方程組的方法，求出風琴包與精美書簽的單價．任務2探究購買方案探究購買風琴包和精美書簽數(shù)量的所有方案．【答案】（1）風琴包的單價為15元，精美書簽的單價為5元；（2）見解析【分析】本題考查了方程組的應用，不等式組的應用，整數(shù)解，熟練掌握方程組的應用是解題的關鍵．（1）設風琴包的單價為x元，精美書簽的單價為y元．根據(jù)題意得2x（2）設購買a個風琴包，b個精美書簽，根據(jù)題意得：15a+5b=600，所以a=40-13b．又因為a≥20，b【詳解】解：（1）設風琴包的單價為x元，精美書簽的單價為y元．根據(jù)題意得2x解得x=15答：風琴包的單價為15元，精美書簽的單價為5元．（2）解：設購買a個風琴包，b個精美書簽，根據(jù)題意得：15a故a=40-∵a≥20，b∴40-1解得20≤b∵b是10的倍數(shù)，∴b=20或b=30或b=40或b∵a，b為整數(shù)，∴a=30b=30∴共有2種購買方案，方案1：購買30個風琴包，30個精美書簽；方案2：購買20個風琴包，60個精美書簽．【變式8-3】（24-25八年級上·浙江杭州·期中）數(shù)學項目小組為解決某超市購物車從1樓到2樓的轉(zhuǎn)運問題，進行了調(diào)研，獲得如下信息：信息1購物車的尺寸如圖1所示．為節(jié)省空間，工作人員常將購物車疊放在一起形成購物車列．如圖2所示，3輛購物車疊放所形成的購物車列，長度為1.6米．信息2購物車可以通過扶手電梯或直立電梯轉(zhuǎn)運．為安全起見，該超市的扶手電梯一次最多能轉(zhuǎn)運24輛購物車，直立電梯一次性最多能轉(zhuǎn)運2列長度均為2.6米的購物車列．

如果你是項目小組成員，請根據(jù)以上信息，完成下列問題：(1)當n輛購物車按圖2的方式疊放時，形成購物車列的長度為L米，則L與n的關系式是________；(2)求該超市直立電梯一次最多能轉(zhuǎn)運的購物車數(shù)量；(3)若該超市需轉(zhuǎn)運100輛購物車，使用電梯總次數(shù)為5次，則有幾種方案可供選擇？請說明理由．【答案】(1)L=0.2(2)直立電梯一次性最多可以運輸16輛購物車；(3)共有3種運輸方案，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)“一輛購物車車身長1m，每增加一輛購物車，車身增加0.2m（2）把L=2.6代入解析式，求出n（3）設用扶手電梯運輸m次，直立電梯運輸5-m次，根據(jù)題意得5-m≥0本題考查了一次函數(shù)的應用和一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是列出函數(shù)解析式和不等式組．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：L=0.2∴車身總長L與購物車輛數(shù)n的表達式為L=0.2故答案為：L=0.2（2）解：當L=2.6時，0.2解得：n=8，2×8=16答：直立電梯一次性最多可以運輸16輛購物車；（3）解：有3種，設用扶手電梯運輸m次，直立電梯運輸5-m由（2）得：直立電梯一次性最多可以運輸16輛購物車，∴5-m解得：52∴m為正整數(shù)，∴m=3，4，5∴共有3種運輸方案：①扶手電梯運3次，直立電梯運2次；②扶手電梯運4次，直立電梯運1次；③扶手電梯運5次．1．（24-25八年級上·浙江·期末）如圖，下面數(shù)軸上表示的是某不等式組的解集，則這個不等式組可以是（

）

A．x≤1x>-3 B．x≥1x>-3【答案】A【分析】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式組的解集．根據(jù)數(shù)軸上表示的不等式組的解集，可得答案．【詳解】解：觀察數(shù)軸得：-3<∴這個不等式組可以是x≤1故選：A2．（24-25八年級上·黑龍江綏化·期末）已知x>y，則下列不等式成立的是（A．-2x>-2y B．x-3>【答案】B【分析】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，熟知不等式的性質(zhì)是解題的關鍵：不等式兩邊同時加上（或減去）一個數(shù)或者式子，不等號不改變方向，不等式兩邊同時乘以（或除以）一個正數(shù)，不等號不改變方向，不等式兩邊同時乘以（或除以）一個負數(shù)，不等號改變方向．利用不等式的性質(zhì)逐項判斷即可．【詳解】解：已知x>y，兩邊同乘-2得-已知x>y，兩邊同時減去3得x-已知x>y，兩邊同乘-1再同時加上5得-已知x>y，兩邊同乘12得x故選：B．3．（24-25八年級上·浙江寧波·階段練習）將一箱蘋果分給若干個學生，每個學生都分到蘋果，若每個學生分4個蘋果，則還剩8個蘋果；若每個學生分5個蘋果，則有一個學生所分蘋果不足2個，若學生的人數(shù)為x，則列式正確的是（

）A．1≤4x+8-5xC．0<4x+8-5x【答案】D【分析】此題主要考查了一元一次不等式的應用，根據(jù)題意找出不等式的取值范圍是解決問題的關鍵．根據(jù)若每個學生分4個蘋果，則還剩8個蘋果；若每個學生分5個蘋果，則有一個學生所分蘋果不足2個，由此得出不等式組．【詳解】解：根據(jù)小朋友的人數(shù)為x，根據(jù)題意可得：1≤4x故選：D．4．（24-25八年級上·浙江寧波·期中）一次智力測驗，有20道選擇題．評分標準是：對1題給5分，錯1題扣2分，不答題不給分也不扣分．小明有兩道題未答，要使總分不低于70分，那么小明至少答對的題數(shù)是（

）A．17道 B．16道 C．15道 D．14道【答案】B【分析】本題考查了一元一次不等式的應用．設小明答對的題數(shù)是x道，根據(jù)“總分不低于70分”列出不等式5x-220-2-x≥70【詳解】解：設小明答對的題數(shù)是x道，5xx≥∵x為整數(shù)，∴x的最小整數(shù)為16，故選：B．5．（24-25八年級上·浙江·階段練習）若不等式組x+a≥01-2xA．a(chǎn)≤-1 B．a(chǎn)≥-1 C．a(chǎn)≤1【答案】A【分析】本題考查了解一元一次不等式組（由不等式組解集的情況求參數(shù)），熟練掌握一元一次不等式組的解法是解題的關鍵．先解不等式組中的兩個不等式，然后由不等式組無解可得出關于a的不等式，解不等式即可求出實數(shù)a的取值范圍．【詳解】解：x+解不等式①，得：x≥-解不等式②，得：x<1∵不等式組x+∴-a∴a故選：A．6．（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·期末）不等式組2x+4>0x【答案】-2<【分析】本題考查求不等式組的解集，分別求出每一個不等式的解集，找到它們的公共部分即為不等式組的解集．正確的求出每一個不等式的解集，是解題的關鍵．【詳解】解：2x由①，得：x>-2由②，得：x<1∴不等式組的解集為：-2故答案為：-27.（24-25八年級上·浙江·期中）如果