江蘇省輔仁高級中學2026屆高二上數(shù)學期末經(jīng)典試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．等差數(shù)列中，，，則（）A.1 B.2C.3 D.42．復數(shù)的共軛復數(shù)是A. B.C. D.3．設為坐標原點，直線與拋物線C：交于，兩點，若，則的焦點坐標為（）A. B.C. D.4．拋物線有一條重要的性質(zhì)：平行于拋物線的軸的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后經(jīng)過它的焦點．反之，從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸．已知拋物線，從點發(fā)出一條平行于x軸的光線，經(jīng)過拋物線兩次反射后，穿過點，則光線從A出發(fā)到達B所走過的路程為（）A.8 B.10C.12 D.145．已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（）A.直線與曲線相切B.函數(shù)只有極大值，無極小值C.若與互為相反數(shù)，則的極值與的極值互為相反數(shù)D.若與互為倒數(shù)，則的極值與的極值互為倒數(shù)6．函數(shù)的圖像在點處的切線方程為（）A. B.C. D.7．過兩點和的直線的斜率為（）A. B.C. D.8．南北朝時期杰出的數(shù)學家祖沖之的兒子祖暅在數(shù)學上也有很多創(chuàng)造，其最著名的成就是祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等，現(xiàn)有一個圓柱體和一個長方體，它們的底面面積相等，高也相等，若長方體的底面周長為，圓柱體的體積為，根據(jù)祖暅原理，可推斷圓柱體的高（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最大值9．直線的傾斜角的大小為A. B.C. D.10．方程所表示的曲線為（）A.射線 B.直線C.射線或直線 D.無法確定11．已知雙曲線，點F為其左焦點，點B，若BF所在直線與雙曲線的其中一條漸近線垂直，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.12．若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)m的值為（）A.1 B.C.或1 D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則________14．萊昂哈德·歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線．后來人們稱這條直線為該三角形的歐拉線．已知的三個頂點坐標分別是，，，則的垂心坐標為______，的歐拉線方程為______15．設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若數(shù)列{an}滿足an＋Sn＝An2＋Bn＋C且A＞0，則＋B－C的最小值為________16．某n重伯努利試驗中，事件A發(fā)生的概率為p，事件A發(fā)生的次數(shù)記為X，，，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2021年2月12日，辛丑牛年大年初一，由賈玲導演的電影《你好，李煥英》上映，截至到2月21日22點8分，票房攀升至40.25億，反超同期上映的《唐人街探案3》，迎來了2021春節(jié)檔最具戲劇性的一幕．正是因為影片中母女間的這份簡單、純粹、誠摯的情感觸碰了人們內(nèi)心柔軟的地方，打動了萬千觀眾，才贏得了良好的口碑，不少觀眾都流下了感動的淚水．影片結(jié)束后，某電影院工作人員當日隨機抽查了100名觀看《你好，煥英》的觀眾，詢問他們在觀看影片的過程中是否“流淚”，得到以下表格：男性觀眾女性觀眾合計流淚20沒有流淚520合計（1）完成表格中的數(shù)據(jù)，并判斷是否有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關(guān)？（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒有流淚的觀眾中抽取5人，然后從這5人中再隨機抽取2人，求這2人都流淚的概率附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，18．（12分）如圖，在四棱錐中，面ABCD，，且，，，，，N為PD的中點.（1）求證：平面PBC；（2）在線段PD上是否存在一點M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是.若存在，求出的值，若不存在，說明理由.19．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域20．（12分）如圖，已知三棱錐的側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，是的中點.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求點到面的距離.（3）求二面角的平面角的正切值.21．（12分）已知拋物線E：y2＝8x（1）求拋物線的焦點及準線方程；（2）過點P(-1,1)的直線l1與拋物線E只有一個公共點，求直線l1的方程；（3）過點M(2,3)的直線l2與拋物線E交于點A，B．若弦AB的中點為M，求直線l2的方程22．（10分）某港口船舶?？康姆桨甘窍鹊较韧?，且每次只能?？恳凰掖?（1）若甲乙兩艘船同時到達港口，雙方約定各派一名代表猜拳：從1，2，3，4，5中各隨機選一個數(shù)，若兩數(shù)之和為奇數(shù)，則甲先停靠；若兩數(shù)之和為偶數(shù)，則乙先停靠，這種方式對雙方是否公平？請說明理由；（2）若甲、乙兩船在一晝夜內(nèi)到達該碼頭的時刻是等可能的.如果甲船停泊時間為1h，乙船停泊時間為2h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)給定條件利用等差數(shù)列性質(zhì)直接計算作答.【詳解】在等差數(shù)列中，因，，而，于是得，解得，所以.故選：B2、B【解析】因,故其共軛復數(shù).應選B.考點：復數(shù)的概念及運算.3、B【解析】根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合拋物線的對稱性，可知，從而可以確定出點的坐標，代入方程求得的值，進而求得其焦點坐標，得到結(jié)果.【詳解】因為直線與拋物線交于兩點，且，根據(jù)拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點坐標為，故選：B.【點睛】該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問題，涉及到的知識點有直線與拋物線的交點，拋物線的對稱性，點在拋物線上的條件，拋物線的焦點坐標，屬于簡單題目.4、C【解析】利用拋物線的定義求解.【詳解】如圖所示：焦點為，設光線第一次交拋物線于點，第二次交拋物線于點，過焦點F，準線方程為：，作垂直于準線于點，作垂直于準線于點，則，，，，故選：C5、C【解析】求出函數(shù)的導函數(shù)，通過在某點處的導數(shù)為該點處切線的斜率，求出切線方程，并且判斷出極值，通過結(jié)合與互為相反數(shù)，若與互為倒數(shù)，分別判斷的極值與的極值是否互為相反數(shù)，以及是否互為倒數(shù).【詳解】，，令，得，所以，因為，，所以曲線在點處的切線方程為，故A錯；當時，存在使，且當時，；當時，，即有極小值，無極大值，故B錯誤；設為的極值點，則，且，所以，，當時，；當時，，故C正確，D錯誤.6、B【解析】求得函數(shù)的導數(shù)，計算出和的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡即可.詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.【點睛】本題考查利用導數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題7、D【解析】應用兩點式求直線斜率即可.【詳解】由已知坐標，直線的斜率為.故選：D8、C【解析】由條件可得長方體的體積為，設長方體的底面相鄰兩邊分別為，根據(jù)基本不等式，可求出底面面積的最大值，進而求出高的最小值，得出結(jié)論.【詳解】依題意長方體的體積為，設圓柱的高為長方體的底面相鄰兩邊分別為，，當且僅當時，等號成立，.故選:C.【點睛】本題以數(shù)學文化為背景，考查基本不等式求最值，要認真審題，理解題意，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】考點：直線的傾斜角專題：計算題分析：因為直線的斜率是傾斜角的正切值，所以欲求直線的傾斜角，只需求出直線的斜率即可，把直線化為斜截式，可得斜率，問題得解解答：解：∵x-y+1=0可化為y=x+，∴斜率k=設傾斜角為θ，則tanθ=k=，θ∈[0，π）∴θ=故選A點評：本題主要考查了直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系，屬于直線方程的基礎(chǔ)題型，需要學生對基礎(chǔ)知識熟練掌握10、C【解析】將方程化為或，由此可得所求曲線.【詳解】由得：或，即或，方程所表示的曲線為射線或直線.故選：C.11、C【解析】設出雙曲線半焦距c，利用斜率坐標公式結(jié)合垂直關(guān)系列式計算作答.【詳解】設雙曲線半焦距為c，則，直線BF的斜率為，雙曲線的漸近線為：，因直線BF與雙曲線的一條漸近線垂直，則有，即，于是得，而，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：C12、B【解析】利用定義法進行判斷.【詳解】把代入，得：，解得：或.當時，可化為：，解得：，此時“”是“”的充要條件，應舍去；當時，可化為：，解得：或，此時“”是“”的充分不必要條件.故.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】將代入計算，利用和互為相反數(shù)，作差可得，計算可得結(jié)果.【詳解】解：函數(shù)則.，，作差可得：，即，解得：代入此時成立.故答案為：.14、①.##(0,1.5)②.【解析】由高線聯(lián)立可得垂心，由垂心與重心可得歐拉線方程.【詳解】由，可知邊上的高所在的直線為，又，因此邊上的高所在的直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線為：，即，所以，所以的垂心坐標為，由重心坐標公式可得的重心坐標為，所以的歐拉線方程為：，化簡得.故答案為：；15、2【解析】因為{an}為等差數(shù)列，設公差為d，由an＋Sn＝An2＋Bn＋C，得a1＋(n－1)d＋na1＋n(n－1)d＝an＋Sn＝An2＋Bn＋C，即(d－A)n2＋(a1＋－B)n＋(a1－d－C)＝0對任意正整數(shù)n都成立所以(d－A)＝0，a1＋d－B＝0，a1－d－C＝0，所以A＝d，B＝a1＋d，C＝a1－d，所以3A－B＋C＝0.＋B－C＝＋3A≥2.16、##0.2【解析】根據(jù)二項分布的均值和方差的計算公式可求解【詳解】依題意得X服從二項分布，則，解得，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）填表見解析；有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關(guān)；（2）【解析】（1）由已知數(shù)據(jù)可完善列聯(lián)表，然后計算可得結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣定義求出5人中流淚與沒有流淚的觀眾人數(shù)并編號，用列舉法寫出作任取2人的所有基本事件，并得出2人都流淚的基本事件，計數(shù)后可計算概率【詳解】解：（1）男性觀眾女性觀眾合計流淚206080沒有流淚15520合計3565100所以有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關(guān)（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒有流淚的觀眾中抽取5人，則流淚的觀眾抽到人，記為，，，，沒有流淚的觀眾抽到人，記為從這5人中抽2人有10種情況，分別是，，，，，，，，，其中這2人都流淚有6種情況，分別是，，，，，所以所求概率18、（1）證明見解析（2）存在，且【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面.（2）設，利用直線與平面所成角的正弦值列方程，化簡求得.【小問1詳解】設是的中點，連接，由于，所以四邊形是矩形，所以，由于平面，所以，以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，，設平面的法向量為，則，故可設.，且平面，所以平面.【小問2詳解】，設，則，，，設直線與平面所成角為，則，，兩邊平方并化簡得，解得或（舍去）.所以存在，使直線與平面所成角的正弦值是，且.19、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值點，從而求出函數(shù)的最值即可【詳解】解：（1）由題意得，，令，得，令，得或，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）易知，因為,所以（或由，可得）,又當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為【點睛】確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：第一步，確定函數(shù)的定義域；第二步，求；第三步，解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間20、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）首先以為原點，、、分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用向量求；（2）首先求平面的法向量，再利用公式求解；（3）求平面的法向量為，先求，再求二面角的正切值.【詳解】（1）以為原點，、、分別為、、軸建立空間直角坐標系.則有、、、.，，所以異面直線與所成角的余弦為（2）設平面的法向量為，則知：；知取，又，點到面的距離所以點到面的距離為.（3）（2）中已求平面的法向量，設平面的法向量為∵；∴取..設二面角的平面角為，則.【點睛】本題考查空間直角坐標系求解空間角和點到平面的距離，重點考查計算能力，屬于中檔題型.21、（1）焦點為(2,0)，準線方程為x＝-2；（2）y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0；（3）4x-3y+1＝0.【解析】（1）根據(jù)拋物線的方程及其幾何性質(zhì)，求焦點和準線；（2）分直線l1的斜率為0和不為0兩種情況，根據(jù)直線與拋物線只有一個公共點，由直線與x軸平行或Δ＝0，得解；（3）利用點差法求出直線l2的斜率，即可得直線l2的方程【小問1詳解】由題意，p＝4，則焦點為(2,0)，準線方程為x＝-2【小問2詳解】當直線l1的斜率為0時，y＝1；當直線l1的斜率不為0時，設直線l1為x+1＝m(y-1)，聯(lián)立，得y2-8my+8m+8＝0，因為直線l1與拋物線E只有一個公共點，所以Δ＝64m2-4(8m+8)＝0，解得m＝1或，所以直線l1的方程為x-y+2＝0或2x+y+1＝0，綜上，直