3本案例通過引入古代都江堰和現(xiàn)代大壩工程來展開對第二型曲面積分定義的探討，同時(shí)講授德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯的事跡，在教學(xué)過程中達(dá)到思政育人的目的。表3-2《第二型曲面積分》思政案例設(shè)計(jì)一、授課內(nèi)容課程名稱數(shù)學(xué)分析所屬學(xué)校廣西師范大學(xué)授課章節(jié)第二十二章第二節(jié)《第二型曲面積分》授課對象數(shù)學(xué)類專業(yè)教學(xué)課時(shí)2課時(shí)使用教材數(shù)學(xué)分析（第四版）華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系二、學(xué)情分析學(xué)生知識經(jīng)驗(yàn)分析學(xué)生前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了《第一型曲面積分》，對曲面積分的概念和計(jì)算有了初步的了解。學(xué)生學(xué)習(xí)能力分析學(xué)生已經(jīng)預(yù)習(xí)了第二型曲面積分的概念，但是深入了解和相關(guān)應(yīng)用任需教師的引導(dǎo)、講解和幫助.學(xué)生思想狀況分析1.曲面的側(cè)和第二型曲面積分涉及空間想象，內(nèi)容有些抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)其有一定的難度，可能會(huì)導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生畏難心理；2.學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容大多停留在初步了解和應(yīng)用，沒有領(lǐng)悟到里面所蘊(yùn)含的抽象思維和邏輯思想；3.學(xué)生的求知欲不高，面對疑惑缺乏探究精神，在思想覺悟?qū)哟紊线€需進(jìn)一步提高.三、教學(xué)內(nèi)容課堂教學(xué)目標(biāo)1.理解曲面的側(cè)和第二型曲面積分的定義，掌握第二型曲面積分的計(jì)算，學(xué)會(huì)應(yīng)用第二型曲面積分解決問題；2.掌握推導(dǎo)過程所運(yùn)用的積分思想；3.增強(qiáng)學(xué)生民族自豪感和民族責(zé)任感，激勵(lì)學(xué)生更加努力學(xué)習(xí)。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：了解曲面的側(cè)，理解第二型曲面積分的定義，掌握第二型曲面積分的計(jì)算；難點(diǎn)：理解第二型曲面積分的定義的推導(dǎo)過程。思政資源1.古代大壩的建設(shè)與現(xiàn)代大壩的建設(shè)，展示中國人民的智慧結(jié)晶；2.為自己作為中華兒女驕傲，加深愛國情懷和民族責(zé)任感。3.通過數(shù)學(xué)家莫比烏斯的故事，提高數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)；4.推導(dǎo)第二型曲面積分定義的過程所體現(xiàn)出來的人生哲學(xué)道理，目標(biāo)和夢想都很大，但是把它們分成一個(gè)個(gè)小目標(biāo)去完成，終有一天，大目標(biāo)和大夢想也能夠?qū)崿F(xiàn)。四、教學(xué)方法與手段教學(xué)方法本節(jié)課從學(xué)生自身實(shí)際情況出發(fā)，以學(xué)生為主體和教師為主導(dǎo)相結(jié)合而設(shè)計(jì)的，采用講授和引導(dǎo)的教學(xué)方法.教學(xué)手段運(yùn)用多媒體與板書相結(jié)合.五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（第0-3分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境1.古有蜀郡太守李冰父子主持修建的都江堰大壩（如圖4-1），今有聞名世界的中國三峽大壩（如圖4-2）。這些水利工程在面對自然災(zāi)害時(shí)起到巨大的作用，給當(dāng)?shù)厝嗣竦纳顜肀憷?。圖4-1都江堰圖4-2三峽大壩2.那同學(xué)們有沒有思考過這樣一些問題，當(dāng)大壩泄洪時(shí)，在單位時(shí)間內(nèi)通過一曲面從壩的一側(cè)流向另一側(cè)河水的流量應(yīng)該如何計(jì)算呢REF_Ref12383\r\h[6]？如圖4-3的大壩泄洪。圖4-3大壩泄洪若想計(jì)算流量，則需要知道流速的方向和壩體所在曲面的方向。那如何確定一個(gè)曲面的方向呢？（第0-2分鐘）結(jié)合課程內(nèi)容融入【案例1——把古代大壩與現(xiàn)代大壩作為例子引入，不僅能夠讓抽象的第二型曲面積分概念增添一些色彩，激起同學(xué)們學(xué)習(xí)的欲望，還能讓同學(xué)們感受到古代人民智慧的偉大和祖國今天科技實(shí)力的強(qiáng)大，更加努力地去學(xué)習(xí)，增強(qiáng)民族自豪感，提高民族責(zé)任感.】（第4-9分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)二：探究發(fā)現(xiàn)要給一個(gè)曲面定向，首先要知道什么是曲面的側(cè)。曲面的側(cè)有兩種，一種是雙側(cè)曲面，另一種是單側(cè)曲面。設(shè)連通曲面上到處都有連續(xù)變動(dòng)的切平面（或法線），為曲面上的一點(diǎn)，曲面在處的法線有兩個(gè)方向：當(dāng)取定其中一個(gè)指向?yàn)檎较驎r(shí)，則另一個(gè)指向就是負(fù)方向。設(shè)為上任一點(diǎn)，為上任一經(jīng)過點(diǎn)，且不超出邊界的閉曲線REF_Ref9672\r\h[4].又設(shè)為動(dòng)點(diǎn)，它在處與有相同的法線方向，且有如下特性：當(dāng)從出發(fā)沿連續(xù)移動(dòng)，這時(shí)作為曲面上的點(diǎn)，它的法線方向也連續(xù)地變動(dòng)。最后當(dāng)沿回到時(shí)，若這時(shí)的法線方向仍與的法線方向相一致，則說這曲面是雙側(cè)曲面；若與的法線方向相反，則說是單側(cè)曲面REF_Ref9672\r\h[4]。在生活中，我們看到的曲面大多數(shù)都是雙側(cè)曲面，而關(guān)于單側(cè)曲面，最典型的莫過于莫比烏斯帶。在講解前，我們可以先來了解一下關(guān)于偉大的數(shù)學(xué)家莫比烏斯的故事。莫比烏斯帶是他在1858年發(fā)現(xiàn)的，那這個(gè)發(fā)現(xiàn)令莫比烏斯感到很神奇，那它神奇在什么地方呢？接下來讓我們來探究一下莫比烏斯帶的神奇之處。莫比烏斯帶的構(gòu)造：取一條形狀為矩形的長紙帶，把所在一側(cè)扭轉(zhuǎn)180°之后再與所在的另一側(cè)粘連在一起，此時(shí)和重合，和重合。接下來，若是沿著這個(gè)帶子上任一處為起點(diǎn)涂上一種顏色，我們發(fā)現(xiàn)可以不越過帶子的最外邊而將整條紙帶全部涂遍，好比一只蟲子可以爬遍整個(gè)曲面而不必跨過它的邊緣。若是用一把剪刀沿紙帶的中央將其剪開，紙帶沒有被分成兩個(gè)紙帶，反而是變成了一個(gè)兩倍長的紙圈。在了解曲面的側(cè)的兩種類型后，我們要知道一般由所表示的曲面都是雙側(cè)曲面，當(dāng)以曲面的法線正方向與軸正方向的夾角為銳角的一側(cè)（也稱為上側(cè)）為正側(cè)時(shí)，則另一側(cè)（也稱下側(cè)）為負(fù)側(cè)。若為封閉的曲面，一般規(guī)定曲面的外側(cè)為正側(cè)，內(nèi)側(cè)為負(fù)側(cè)REF_Ref9672\r\h[4].（第6-8分鐘）結(jié)合課程內(nèi)容融入【案例2——在講解單側(cè)曲面時(shí)為同學(xué)們科普關(guān)于德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯的事跡，不僅能夠提高同學(xué)們上課積極性，還能夠提高他們的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，擴(kuò)大知識面?！浚ǖ?0-24分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)三：概括定義先假設(shè)曲面為大壩的曲面，而流體的流速為，其中，，為所討論范圍上的連續(xù)函數(shù)，求單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)曲面的總流量REF_Ref9672\r\h[4].設(shè)在曲面的正側(cè)上任一點(diǎn)處的單位法向量為.這里，，是，，的函數(shù)，則單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)小曲面的流量近似地等于其中是上任意取定的一點(diǎn)，，，是的正側(cè)上法線的方向余弦，又，，分別是的正側(cè)在坐標(biāo)面,和上投影區(qū)域的面積的近似值，并分別記作，，，于是單位時(shí)間內(nèi)由小曲面的負(fù)側(cè)流向正側(cè)的流量也近似地等于，故單位時(shí)間內(nèi)由曲面的負(fù)側(cè)流向正側(cè)的總流量這種與曲面的側(cè)有關(guān)的和式極限就是所要討論的第二型曲面積分REF_Ref9672\r\h[4].定義設(shè)，，為定義在雙側(cè)曲面上的函數(shù)，在所指定的一側(cè)作分割，它把分為個(gè)小曲面，，，，分割的細(xì)度，以，，分別表示在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影區(qū)域的面積，它們的符號由的方向來確定REF_Ref9672\r\h[4].若的法線正向與軸正向成銳角時(shí)，在平面的投影區(qū)域的面積為正REF_Ref9672\r\h[4].反之，若法線正向與軸正向成鈍角時(shí)，它在平面的投影區(qū)域的面積為負(fù).在各個(gè)小曲面上任取一點(diǎn)，若存在，且與曲面的分割和在上的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù),，在曲面所指定的一側(cè)上的第二型曲面積分REF_Ref9672\r\h[4]，記作或.故此定義，該流體以速度在單位時(shí)間內(nèi)從曲面的負(fù)側(cè)流向正側(cè)的總流量.（第15-20分鐘）結(jié)合課程內(nèi)容融入【案例3——在推導(dǎo)出第二型曲面積分的定義時(shí)用到了“先分割、再求近似、接著求和、后取極限”的積分思想，讓同學(xué)們學(xué)會(huì)了在遇到不規(guī)則圖形的面積問題時(shí)首先用積分思想去解決，從而慢慢養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的思想去考慮事情，用數(shù)學(xué)的方法去解決問題，提高自己的邏輯能力。】（第25-37分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)四：初步運(yùn)用定理1設(shè)是定義在光滑曲面，上的連續(xù)函數(shù)，以的上側(cè)為正側(cè)（這時(shí)的法線方向與軸正向成銳角），則有.證明：根據(jù)第二型曲面積分的定義可知，這里REF_Ref9672\r\h[4].顯然由立刻可推得REF_Ref9672\r\h[4].由于在上連續(xù)，在上連續(xù)（曲面光滑），根據(jù)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，也是上的連續(xù)函數(shù)REF_Ref9672\r\h[4].由二重積分的定義.所以.同理，若在光滑曲面，上連續(xù)時(shí)，有，這里是以的法線方向與軸的正向成銳角的那一側(cè)為正側(cè)REF_Ref9672\r\h[4].若在光滑曲面，上連續(xù)時(shí)，有，這里是以的法線方向與軸的正向成銳角的那一側(cè)為正側(cè)REF_Ref9672\r\h[4].定理2設(shè)為光滑曲面，正側(cè)法向量為，，，在上連續(xù)，則REF_Ref9672\r\h[4].定理3設(shè)，，是定義在光滑曲面：，上的連續(xù)函數(shù)，以的上側(cè)為正側(cè)，則REF_Ref9672\r\h[4].證明：由于，，，，因此REF_Ref9672\r\h[4].例1計(jì)算，其中，取上側(cè)REF_Ref9672\r\h[4].解：，，，其中由于是的奇函數(shù)，；又因?yàn)閷ΨQ性，故有REF_Ref9672\r\h[4].（第30-33分鐘）結(jié)合課程內(nèi)容融入【案例4——回顧得到第二型曲面積分的定義的過程，會(huì)發(fā)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)自己的夢想和目標(biāo)就需要這樣子做，先把它分成一個(gè)個(gè)小目標(biāo)和小規(guī)劃，然后努力去完成一個(gè)個(gè)這樣子的小目標(biāo)，相信會(huì)在未來的某一天內(nèi)心那個(gè)大的目標(biāo)和夢想就會(huì)實(shí)現(xiàn).同時(shí)，也像我們