/河北省保定市高碑店市2025?2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．如果把一個(gè)的三邊都擴(kuò)大2倍，那么銳角A的正切值（

）A．?dāng)U大2倍 B．保持不變 C．縮小到原來(lái)的 D．以上都有可能3．已知，則的值是（

）A． B． C． D．4．榫卯是我國(guó)古代建筑、家具的一種結(jié)構(gòu)方式，它通過(guò)兩個(gè)構(gòu)件上凹凸部位相結(jié)合來(lái)將不同構(gòu)件組合在一起．如圖，這是其中一種榫，其左視圖是（

）A． B． C． D．5．若，是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值為（

）A． B． C． D．6．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．7．若一個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，則它的面積是（

）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)，，均在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．9．大約在兩千四五百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個(gè)小孔成像的實(shí)驗(yàn)．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長(zhǎng)，說(shuō)在端”，如圖，在小孔成像實(shí)驗(yàn)中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是（

）A． B． C． D．10．如圖，菱形對(duì)角線，，則菱形高的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．11．“少年強(qiáng)，則國(guó)強(qiáng)”，為豐富校園文化生活，激發(fā)學(xué)生參與體育運(yùn)動(dòng)的積極性，進(jìn)一步推動(dòng)學(xué)校體育活動(dòng)的健康發(fā)展，以賽促練．我縣計(jì)劃組織初中學(xué)生籃球賽，若首輪進(jìn)行單循環(huán)賽（每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng)），則首輪需要安排28場(chǎng)比賽，設(shè)共有x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．12．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A． B．C． D．（m為任意實(shí)數(shù)）二、填空題13．陽(yáng)光下旗桿的影子屬于投影．（填“平行”或“中心”）14．若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)根，則的值為．15．將二次函數(shù)的圖象先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為16．如圖，P是反比例函數(shù)的圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作y軸、x軸的平行線，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)A，B，連接，，則的面積為．三、解答題17．（1）計(jì)算：．（2）已知線段，，，是成比例線段，其中，，，求線段的長(zhǎng)．18．對(duì)于解方程，小剛的做法如下：解：等號(hào)右邊因式分解，得，……步驟①等號(hào)兩邊同時(shí)除以，得，……步驟②去括號(hào)，得，……步驟③移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得，……步驟④系數(shù)化為．得．………步驟⑤（1）已知小剛的解答是錯(cuò)誤的，開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是_____________（填序號(hào)）．（2）請(qǐng)給出正確的解答過(guò)程．19．在一個(gè)不透明的盒子里裝有除顏色外，其他完全相同的紅、黑、白三種顏色的球，其中紅球1個(gè)、黑球1個(gè)、白球2個(gè)．（1）從盒子中摸出一個(gè)球是白球的概率為_(kāi)______________．（2）從盒子中摸出一個(gè)球后不放回，再摸出一個(gè)球，求兩次摸到的球顏色不一樣的概率．20．為了預(yù)防冬季流感，某學(xué)校對(duì)教室采用藥熏消毒法進(jìn)行消毒，已知藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間x（分鐘）成正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例．如圖，這是含藥量y與時(shí)間x的函數(shù)圖象．現(xiàn)測(cè)藥物8分鐘燃畢，此時(shí)空氣中每立方米含藥量為10毫克．請(qǐng)根據(jù)題中所提供的信息，回答下列問(wèn)題．（1）藥物燃燒時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______；自變量x的取值范圍是__________；藥物燃燒完后，y與x的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______；自變量x的取值范圍是_______．（2）研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于5毫克且持續(xù)時(shí)間不低于10分鐘時(shí)，才能有效地殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？21．如圖，在中，，是邊上的中線，，垂足為E．若，．（1）求的長(zhǎng)；（2）求的正弦值．22．如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊上，，垂足為F．（1）求證：．（2）當(dāng)E為的中點(diǎn)，且時(shí)，求的長(zhǎng)．23．手機(jī)普及率的提高對(duì)社會(huì)和個(gè)人產(chǎn)生了多方面的影響，在經(jīng)濟(jì)方面不僅推動(dòng)了消費(fèi)升級(jí)，還重塑了傳統(tǒng)商業(yè)模式，由此催生的“手機(jī)直播”正逐漸演變?yōu)橐环N新興社會(huì)潮流．圖1是一種常見(jiàn)的懸臂式手機(jī)直播支架，圖2和圖3是其幾何示意圖，手機(jī)支架的底座放置于水平地面上，立桿，支桿可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，懸臂的長(zhǎng)度可以調(diào)節(jié)．已知．（1）如圖2，B，C，D三點(diǎn)共線，，處于收縮狀態(tài)（最小長(zhǎng)度狀態(tài)）時(shí)的長(zhǎng)度為，此時(shí)點(diǎn)A距離地面，求的長(zhǎng)；（2）如圖3，在（1）的條件下，先將支桿繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，再將懸臂繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°．①求點(diǎn)B到地面的距離；②調(diào)節(jié)懸臂的長(zhǎng)度，此時(shí)點(diǎn)A到地面的距離為，求調(diào)節(jié)后懸臂的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，）24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式．（2）將一次函數(shù)圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，使得與反比例函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值．（3）若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，F(xiàn)是線段延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作直線，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)．若，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

答案1．【正確答案】C【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的定義，形如的函數(shù)是二次函數(shù)，僅選項(xiàng)C符合此形式．【詳解】解：∵二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式為，A．是反比例函數(shù)，不符合二次函數(shù)定義，故A不符合題意；B．是一次函數(shù)，不符合二次函數(shù)定義，故B不符合題意；C．，其中，符合二次函數(shù)定義，故C符合題意；D．不符合二次函數(shù)定義，故D不符合題意．故選C．2．【正確答案】B【分析】本題主要考查了求角的正切值，在直角三角形中，一個(gè)銳角的正切值等于該角所對(duì)的直角邊與另一條直角邊的比值，據(jù)此求解即可．【詳解】解：在中，不妨設(shè)，∴，∴把三邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍后，∴銳角A的正切值保持不變，故選B．3．【正確答案】C【分析】本題主要考查了比例的基本性質(zhì)，將所求分式拆分為已知比例與常數(shù)之和，直接計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴．故選C．4．【正確答案】B【分析】本題考查了從三個(gè)方向看立體圖形，先明確左視圖的定義，再分析該榫結(jié)構(gòu)從左面觀察所得圖形的形狀與線條特征，最后匹配選項(xiàng)得出答案．【詳解】解：A、該圖形與從左面觀察該榫所得圖形的形狀、線條特征不匹配；B、該圖形為矩形且內(nèi)部有虛線，符合從左面觀察該榫結(jié)構(gòu)的輪廓與線條特征；C、該圖形與從左面觀察該榫所得圖形的形狀、線條特征不匹配；D、該圖形與從左面觀察該榫所得圖形的形狀、線條特征不匹配，故選B．5．【正確答案】D【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．解題的關(guān)鍵是掌握：若，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，．據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩個(gè)根，∴，∴的值為．故選D．6．【正確答案】A【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)形式，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，據(jù)此進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為．故選A．7．【正確答案】A【分析】本題考查正方形的面積與對(duì)角線的關(guān)系，利用公式“正方形面積等于對(duì)角線平方的一半”直接計(jì)算．【詳解】解：∵正方形對(duì)角線長(zhǎng)為，且面積，∴．故選A．8．【正確答案】D【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，通過(guò)點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在象限判斷函數(shù)值的正負(fù)，是本題的解題關(guān)鍵．反比例函數(shù)比例系數(shù)，則函數(shù)圖象位于第一、三象限，根據(jù)點(diǎn)的橫坐標(biāo)符號(hào)判斷縱坐標(biāo)正負(fù)，并比較大?。驹斀狻拷猓悍幢壤瘮?shù)，其中，即，當(dāng)，反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，且在同一象限內(nèi)，隨的增大而減小，點(diǎn)：，故在第三象限，第三象限內(nèi)的函數(shù)值為負(fù)數(shù)，因此；點(diǎn)，點(diǎn)：橫坐標(biāo)、，故、在第一象限，第一象限內(nèi)的函數(shù)值為正數(shù)，且在第一象限內(nèi)隨增大而減小，由，故．綜上，．故選．9．【正確答案】A【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，先理解小孔成像的原理，再確定相似三角形的對(duì)應(yīng)邊，最后利用相似三角形的性質(zhì)列比例即可求解．【詳解】解：由題意知，設(shè)蠟燭火焰的高度是，由相似三角形的性質(zhì)得，解得，即蠟燭火焰的高度是，故選A．10．【正確答案】B【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分求出，然后利用勾股定理求出，再根據(jù)菱形的面積，然后代入即可求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，，∴，，，根據(jù)勾股定理，，∵菱形的面積，∴，∴，故選．11．【正確答案】D【分析】設(shè)共有x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)首輪需要安排28場(chǎng)比賽列方程即可．本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握列方程的基本要領(lǐng)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)共有x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意，得．故選D．12．【正確答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，如開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等，來(lái)判斷各項(xiàng)結(jié)論的正確性．【詳解】解：A項(xiàng)：由二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下，可得，對(duì)稱軸，且，則，圖象與y軸交點(diǎn)在y軸正半軸，所以，那么，故A結(jié)論正確，不符合題意；B項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，代入得，由圖象可知，時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸下方，即，因此，由拋物線對(duì)稱軸可得，代入得：，所以，故B結(jié)論正確，不符合題意；C項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，代入得，由拋物線對(duì)稱軸為可知，與時(shí)的函數(shù)值相等，而時(shí)，，所以，故C結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；D項(xiàng)：二次函數(shù)的頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為對(duì)稱軸，此時(shí)函數(shù)取得最大值，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值不超過(guò)頂點(diǎn)處的函數(shù)值，當(dāng)頂點(diǎn)處時(shí)，，因此有，即（m為任意實(shí)數(shù)），故D結(jié)論正確，不符合題意，故選C．13．【正確答案】平行【分析】本題考查投影．根據(jù)太陽(yáng)光是平行光，得到投影為平行投影，即可．【詳解】陽(yáng)光下旗桿的影子屬于平行投影．14．【正確答案】4【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，根據(jù)一元二次方程根的判別式，當(dāng)判別式等于零時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，再進(jìn)一步求解即可.【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)根，∴，解得.15．【正確答案】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的平移，熟練掌握平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)圖象平移規(guī)則“左加右減，上加下減”，先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，逐步代入計(jì)算即可．【詳解】解：原函數(shù)為，向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到：；再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到：．16．【正確答案】3【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用反比例函數(shù)中k的幾何意義，結(jié)合圖形中線段的平行關(guān)系計(jì)算出三角形面積即可．【詳解】解：如圖，連接，由題意知，設(shè)，∵軸，軸，A，B在上，∴設(shè)，，∴，，∴．17．【正確答案】（1）；（2）6【分析】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值混合運(yùn)算，比例線段，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值．（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)成比例線段的定義列式計(jì)算即可．【詳解】解：（1）；（2）∵線段，，，是成比例線段，∴，∵，，，∴，解得：．18．【正確答案】（1）②（2）過(guò)程見(jiàn)詳解【分析】本題一元二次方程的解法，等式的基本性質(zhì)，理解“等式兩邊不能同時(shí)除以一個(gè)可能為0的代數(shù)式”是解題關(guān)鍵．（1）步驟②直接除以，未考慮可能為的情況，會(huì)丟失方程的根；（2）先對(duì)原方程右邊因式分解，移項(xiàng)后提公因式，將方程化為乘積為的形式，再令各因式為，可求得方程的兩個(gè)根．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可知步驟②兩邊同時(shí)除以，未考慮可能為的情況，會(huì)導(dǎo)致丟失方程的一個(gè)根，故出錯(cuò)的步驟為②．（2）解：已知，因式分解并移項(xiàng)：，；提公因式：；化簡(jiǎn)求解：，，則或，解得，．19．【正確答案】（1）（2）【分析】本題考查了概率公式，用畫樹(shù)狀圖或列表法求概率，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)白球數(shù)量和盒子里的總球數(shù)，進(jìn)而求得從盒子中摸出一個(gè)球是白球的概率；（2）先畫出樹(shù)狀圖，然后再根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵紅球1個(gè)、黑球1個(gè)、白球2個(gè)，∴從中任意摸出一個(gè)白球的概率是；（2）解：畫出樹(shù)狀圖，如圖所示：∵有12種等可能情況數(shù)，其中兩次摸到的球顏色不一樣的有10種情況，∴兩次摸到的球顏色不一樣的概率為．20．【正確答案】（1），，，（2）此次消毒有效，理由見(jiàn)詳解【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．（1）分別根據(jù)題意利用待定系數(shù)法可求得函數(shù)的解析式；（2）分別把代入兩個(gè)函數(shù)解析式，從而求得時(shí)間差并進(jìn)行比較．【詳解】（1）解：藥物燃燒時(shí)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，將原點(diǎn)和分別代入得：，解得，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為，自變量x的取值范圍是，藥物燃燒后，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，將代入得：，解得，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為，自變量x的取值范圍是.（2）解：此次消毒有效，理由：藥物燃燒時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，；藥物燃燒后，y與x的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，，而空氣中每立方米的含藥量不低于5毫克的持續(xù)時(shí)間為：，∴此次消毒有效．21．【正確答案】（1）（2）的正弦值為【分析】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，三角形的中位線定理，勾股定理的應(yīng)用；（1）先由中點(diǎn)的定義求出，在中，求出，在中，求出，再求的長(zhǎng)；（2）作，垂足為，由中位線定理求出，再求出、，用勾股定理求出，在中，利用正弦的定義求解即可．【詳解】（1）∵，，∴，∴.∵是邊上的中線，，∴.在中，.又∵∴∴.（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為F，則，∵是邊的中線，∴是的中位線，∴.∵，∴∴.在中，由勾股定理，得∴，∴的正弦值為．22．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理為解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)矩形性質(zhì)及直角三角形兩銳角互余可得，即可證明；（2）利用相似三角形性質(zhì)得到，結(jié)合矩形性質(zhì)求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理進(jìn)行求解的值，從而得出，證明，再利用相似三角形的性質(zhì)得到，求解的值，最終利用線段和差求得結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵四邊形為矩形，∴，，∵，∴，∴，∴．（2）解：由（1）知，∴，∵，E為的中點(diǎn)，∴，則，∴，在中，由勾股定理得，，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得，∴．23．【正確答案】（1）（2）①；②【分析】本題主要考查了解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，再進(jìn)行求解．（1）過(guò)點(diǎn)作，，在中，，，，再由求得的長(zhǎng)．（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可知四邊形為矩形，則，，由旋轉(zhuǎn)得，得，在中，解直角三角形得，即可求解．過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求得，再求得，在中，解直角三角形即可求解．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作，，∵∴四邊形為矩形．∴在中，，∴，∵，∴，∵∴．（2）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，四邊形為矩形，，，由旋轉(zhuǎn)得，，在中，，，，，答：點(diǎn)到地面的距離為．解：過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，，