/河北省唐山市第二十一中學2025?2026學年上學期九年級12月月考數學試卷一、單選題1．下列選項中與成反比例關系的是（

）A． B． C． D．2．為紀念抗戰(zhàn)偉大勝利，弘揚抗戰(zhàn)偉大精神，某班舉行抗戰(zhàn)歷史知識測評．該班學生測試成績的最高分是100分，最低分是70分，則他們的平均測試成績可能是（

）A．110分 B．100分 C．85分 D．65分3．關于的一元二次方程的較小實數根為（

）A．2 B．1 C．0 D．-14．如圖，一座高的過街天橋，天橋的坡面的長為，則天橋的坡面的坡度為（

）A． B． C． D．5．反比例函數的圖象在平面直角坐標系中的位置如圖所示，則的值可能是（

）A． B．3 C． D．6．用如圖1的半徑為的扇形紙板做成圖2的圓錐形帽子（忽略接縫），已知帽子的底面周長為，則扇形紙板的面積是（

）A． B． C． D．7．糧店計劃從10袋面粉（質量如圖所示）中挑選出7袋面粉，其中五袋面粉的質量已經確定，且這五袋面粉質量的中位數為，第6袋面粉從A、B、C中選擇1袋，第7袋面粉從D、E中選擇1袋，若要使選出的7袋面粉質量的中位數仍為，則第6袋面粉和第7袋面粉可能會選擇（

）A．A、D B．A、E C．B、E D．C、E8．如圖，在的正方形方格中，的頂點，都在邊長為1的小正方形的頂點上，邊上的點也在小正方形的頂點上，則的面積等于（）A． B． C． D．9．一個圓弧形對開門的平面示意圖及相關尺寸如圖所示，則該圓弧門所在圓的半徑為（

）A． B． C． D．10．已知一元二次方程，當時方程的兩根分別是和，則的值為（）A．3 B． C． D．11．密度計浸在液體中的深度是液體的密度的反比例函數，圖象如圖所示．下列結論：結論一：當時，；結論二：當時，．下列判斷正確的是（

）A．結論一正確，結論二不正確 B．結論一不正確，結論二正確C．結論一正確，結論二正確 D．結論一不正確，結論二不正確12．如圖，在扇形中，，為邊上一點且，連接，將沿折疊，點恰好落在上的點處，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．二、填空題13．已知是銳角，且，則為°.14．如圖，為的直徑，點C，D在上．若，則的度數為°．15．如圖，一個裝有液體的錐形瓶軸截面是軸對稱圖形，底部，當處于水平位置時，液面寬，液體高度，此時往瓶中再倒入一些液體，液面上升到寬，則此時液體的高度為．16．如圖，在平面直角坐標系中，點，將向右平移到的位置，點A、O的對應點分別是C、E．函數的圖象經過點和的中點．則的長為．三、解答題17．如圖，數軸上點表示的數為，點表示的數為．（1）當時，點對應的實數為____________，點對應的實數為____________，A，B兩點之間的距離為____________；（2）若，求的值．18．《墨經》中記載：“景到，在午有端，與景長，說在端．”大約在兩千四百年前，墨子和他的學生做了世界上第一個小孔成像的實驗．如圖1所示的小孔成像實驗中，當像距（小孔到像的距離）和物高（蠟燭火焰的高度）不變時，火焰的像高（單位：）是關于物距（小孔到蠟燭的距離）（單位：）的反比例函數．已知當時，．（1）①求火焰的像高關于物距的函數表達式；②請借助網格中的格點（不少于3個），在圖2中畫出①所對應的函數圖象；（2）若控制火焰的像高不超過，則小孔到蠟燭的最短距離為____________．19．某校開展安全教育系列活動，為提升學生急救素養(yǎng)，了解學生對急救知識技能的掌握情況，從該校學生中隨機抽取20名學生進行了一次測試，共10道測試題，學生答對1題得1分．根據測試結果繪制出如下統(tǒng)計圖．（1）求抽取的20名學生測試得分的平均數、中位數、眾數；（2）若該校共有學生2400人，急救知識測試得8分及其以上達到“優(yōu)秀”等級，請你估計該校達到“優(yōu)秀”等級的學生人數．20．如圖，在中，．（1）尺規(guī)作圖：作的外接圓（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若的半徑為1，求的長．21．將一款臺燈放置在水平桌面上，其平面示意圖如圖1、圖2所示，臺燈支架可繞點A，B，C轉動，底座與桌面垂直，，支撐桿．（1）如圖1，當，且點A，C，D在一條直線上，求點到桌面的距離；（2）如圖2，在轉動臺燈的支撐桿的過程中，當點A，B，C在一條直線上，且時，求點到桌面的距離．（參考數據：取，取，取，取1.7，計算結果精確到）22．如圖，四邊形內接于，是四邊形的一個外角，且平分．（1）求證：；（2）若，，求的長度．23．綜合與實踐【情境】已知，正方形的邊長為4，點是邊上一點，，將沿翻折，點落在點處，連接并延長交的延長線于點，交于點．【計算】（1）____________；【探究】（2）淇淇說：“是等腰三角形．”①請判斷淇淇的說法是否正確？并說明理由；②求的長；【拓展】（3）求的長．24．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點和點，交軸于點，以為邊在左側作正方形ABCD．（1）求m，n的值；（2）寫出不等式的解集為____________；（3）①求一次函數的解析式；②請判斷點是否在反比例函數的圖象上？并說明理由；（4）記一次函數的圖象為，若與反比例函數的圖象沒有公共點，直接寫出的取值范圍．

答案1．【正確答案】B【分析】本題主要考查反比例函數的定義，熟練掌握反比例函數的定義是解題的關鍵；反比例關系是指兩個變量的乘積為常數（常數不等于0），即形式為，直接驗證各選項是否符合此形式即可．【詳解】解：選項A：，為正比例關系；選項B：，符合反比例關系；選項C：即，為一次函數；選項D：，為正比例關系；故選B．2．【正確答案】C【分析】本題考查了求一組數據的平均數，根據平均成績不低于最低分，且不高于最高分，則可求出平均數的范圍，據此結合選項可得答案．【詳解】∵平均成績不低于最低分，且不高于最高分，又∵最低分為70分，最高分為100分，且成績不相等，∴平均成績滿足：平均成績．觀察各選項，只有選項C符合題意，∴他們的平均測試成績可能是85分．故選C．3．【正確答案】C【分析】本題主要考查了解一元二次方程，把，化為標準形式后因式分解，得到兩個實數根，比較大小后得出較小根【詳解】∵，∴，∴，∴或，∴較小實數根為，故選項C4．【正確答案】D【分析】先根據勾股定理求出，再根據坡面坡度等于即可得出答案．本題考查了坡度的定義，坡度，【詳解】解：在中，，，，∴，∴橋的坡面AC的坡度，故選D．5．【正確答案】A【分析】本題主要考查了反比例函數的圖象，直接利用反比例函數的圖象上點的坐標特點得出k的取值范圍，進而得出答案．【詳解】解：由圖象可知：點在反比例圖象下方，點在反比例函數圖象上方，∵，觀察圖象得：，選項A．，符合條件，選項BCD均不符合，∴k的值可能是．故選A．6．【正確答案】D【分析】從圖中可以看出帽子的底面圓周長就是扇形的弧長，根據此求出扇形的面積．本題主要考查了扇形的面積公式．即，熟記相關的公式是解題的關鍵．【詳解】解：扇形面積，故選D．7．【正確答案】B【分析】本題主要考查了中位數的含義，由圖形可知，要使選定7袋面粉質量的中位數仍為10kg，則第6袋面粉和第7袋面粉需要選擇一袋不低于，另一袋不高于，根據選項即可得出正確的答案．【詳解】解：∵序號為1到5袋的面粉已選定，這5袋面粉質量的中位數恰好為10kg，第6袋面粉從A、B、C中選擇1袋，第7袋面粉從D、E中選擇1袋，使選定7袋面粉質量的中位數仍為，∴選定的第6袋面粉和第7袋面粉的質量應該一袋不低于，另一袋不高于，結合題圖可得，第6袋面粉和第7袋面粉分別可以選擇A和E、或B和D、或C和D，選項B符合題意故選B．8．【正確答案】A【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，三角形的面積，熟練利用網格中的平行線判定相似是解題的關鍵．由圖，利用，判定，得出，即可求出，則可求出，再利用，即可求解．【詳解】解：如圖，由圖可知，，，，，，，∴，∴，即，解得：，∴，∴，故選A．9．【正確答案】D【分析】本題考查了勾股定理及垂徑定理．解題的關鍵是構造由半徑、半弦長、弦心距組成的直角三角形進行有關的計算．根據垂徑定理的推論，可得此圓的圓心在的垂直平分線上，設圓心是O，連接．根據垂徑定理和勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，是圓心，設半徑為，即，依題意得：，，，，∴，，∴，在中，，∴，解得：答：圓弧門所在圓的半徑為．故選D．10．【正確答案】B【分析】本題考查一元二次方程根與系數的關系，算術平方根，熟記關于x的一元二次方程的兩根分別為、，則，是解決問題的關鍵．當時方程的兩根分別是和，可得，求出的值，再求的值，即可求解．【詳解】解：∵當時方程的兩根分別是和，∴，解得：，∴，，∴，∴．故選B．11．【正確答案】B【分析】此題考查了反比例函數的應用，由題意可設，把，代入解析式，進而結合函數圖象，逐項分析判斷，求解即可．【詳解】解：設關于的函數解析式為，把，代入解析式，得．關于的函數解析式為．結論一．當液體密度時，浸在液體中的高度，故該結論不正確，結論二．當，，故當浸在液體中的高度時，液體的密度，故結論二正確，故選B．12．【正確答案】C【分析】本題考查了折疊問題，求扇形面積，等邊三角形的性質與判定，勾股定理；連接，交于點，根據折疊得出是等邊三角形，進而得出是等腰直角三角形，求得半徑，進而根據即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，交于點∵折疊，∴，，又∵∴∴是等邊三角形，∴∵，∴∵，∴∴∴是等腰直角三角形，∴，∴∴∴故選C．13．【正確答案】60【分析】本題考查了特殊角的三角函數值，根據特殊角的三角函數值即可解答．【詳解】解：已知是銳角，且，，則的度數是.14．【正確答案】30【分析】本題主要考查了圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角，三角形內角和定理，先根據直徑所對的圓周角是直角得到，則由三角形內角和定理可得，再根據同弧所對的圓周角相等可得．【詳解】解：為直徑，，，，∵，．15．【正確答案】【分析】本題考查了相似三角形的應用．利用軸對稱的性質求得，，證明，利用相似三角形的性質列式計算即可求解．【詳解】解：如圖，由題意得，，，，∵錐形瓶軸截面是軸對稱圖形，∴，，∵，∴，∴，即，解得.16．【正確答案】【分析】本題考查了平面直角坐標系中的平移變換與反比例函數的性質，解題的關鍵是利用平移的性質表示出點的坐標，再結合反比例函數的解析式列方程求解．設平移的距離為，則點的坐標為；由平移性質得、的坐標，進而得到中點的坐標；結合反比例函數圖象過、，列方程求出，即的長．【詳解】解：設平移的距離為，則由平移性質得，，，故的中點的坐標為∵過、，∴，解得．故的長為．17．【正確答案】（1），0，3．（2），【分析】本題考查了數軸上兩點之間的距離，數軸與一元二次方程的結合，（1）把代入代數式即可求出對應的實數，構造表示A、B兩點間距離的代數式；（2）根據題意列出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：當時，數軸上點對應的實數為，點對應的實數為．∴A，B兩點之間的距離為，（2）∴；依題意，∴∴∴，解得：，.18．【正確答案】（1）①；②見詳解（2）【分析】本題考查的是反比例函數的應用，掌握待定系數法是解本題的關鍵．（1）①由題意設關于的函數表達式為，再利用待定系數法求解函數解析式；②根據①先列表，然后描點，連線可畫出函數圖象；（2）把當代入，然后結合圖象即可解答．【詳解】（1）解：①設關于的函數表達式為，把，代入得：，解得，關于的函數表達式為：；②由①列表如下：…..348…..…..863…...描點、連線，則可得反比例函數的圖象如圖所示：（2）解：當時，，解得：，，∴當時，隨著的增大而減小，∴當時，．故答案為4.8．19．【正確答案】（1），，（2）估計該校達到“優(yōu)秀”等級的學生人數為人【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖，樣本估計總體，平均數，中位數，眾數熟練掌握平均數，中位數，眾數的求法是解題的關鍵．（1）根據平均數，中位數，眾數的求法，即可求解；（2）利用樣本中測試得8分及其以上的比例乘以即可．【詳解】（1）解：由條形圖可知，第10和第11個數據都是7分，∴中位數為；平均數為：；這組數據中7分出現(xiàn)的次數最多，則眾數為．（2）解：（人）答：估計該校達到“優(yōu)秀”等級的學生人數為人．20．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】本題主要考查了畫三角形外接圓，圓周角定理，勾股定理：（1）作的垂直平分線，二者交于點O，點O即為圓心，再以點O為圓心，的長為半徑畫圓即可得到答案；（2）如圖所示，連接，由圓周角定理得到，進而利用勾股定理求出即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：如圖所示，連接，∵，∴，又∵，∴，∴．21．【正確答案】（1）（2）【分析】本題主要考查了解三角形，需通過構造直角三角形，利用三角函數（正弦）求解垂直高度，關鍵在于根據已知角度確定直角三角形中的銳角，進而結合邊長計算垂直分量，最后加上底座的高度得到點到桌面的距離．（1）先根據已知等腰，結合三線合一的性質，求出當時的長度，再利用點、、共線及桌面的條件，即可求出到桌面的距離；（2）當A、B、C共線時，先確定長度，再根據求出與豎直方向的夾角，利用三角函數計算垂直高度，加上得到結果．【詳解】（1）過點作，垂足為，∵，，∴，，∴，．即點到桌面的距離．（2）過點作于點當點，，在一條直線上時，．∵，∴，∴．∴即：點A到桌面的距離為．22．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】本題考查了弧長的計算：弧長公式：弧長為l，圓心角度數為n，圓的半徑為，也考查了圓周角定理和圓內接四邊形的性質．（1）先根據角平分線的定義得到，再利用圓內接四邊形的性質得到，所以，從而得到結論；（2）連結交圓于，連接、，則，利用的結論得到，則為等邊三角形，所以，再在中求出直徑，然后根據圓周角定理得到，最后根據弧長公式求解．【詳解】（1）證明：平分，，∵四邊形內接于，∴，，∴，∵，；（2）解：如圖，連接交圓于，連接、，則，，為等邊三角形，，，，∴，∴，∵，，∴，解得（負值舍去），∴圓半徑為，∴的長度．23．【正確答案】（1）；（2）①正確，理由見詳解；②；（3）【分析】（1）根據勾股定理可求即可；（2）①利用折疊性質得到角相等，再結合正方形對邊平行的性質，推導角的關系，進而證明線段相等即可；②設，在中，根據勾股定理可得出，解方程即可；