/山東省濟南市章丘區(qū)2025?2026學(xué)年上學(xué)期九年級數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)情調(diào)研試題一、單選題1．如圖所示幾何體的左視圖正確的是（）．A． B． C． D．2．已知，則的值為（

）A． B． C． D．3．今年為慶祝共青團成立100周年，教體局舉行籃球友誼賽，初賽采用單循環(huán)制（每兩支球隊之間都進行一場比賽），據(jù)統(tǒng)計，比賽共進行了28場，則一共邀請了多少支球隊參加比賽？設(shè)一共邀請了支球隊參加比賽．根據(jù)題意可列方程是（

）A． B． C． D．4．在小孔成像問題中，如圖所示，若O到AB的距離是18cm，O到CD的距離是6cm，則像CD的長是物AB長的（

）A．3倍 B． C． D．不知AB的長度，無法判斷5．現(xiàn)有3張卡片，正面圖案如圖所示，它們除此之外完全相同．把這3張卡片背面朝上，洗勻放好，小明先從中隨機抽取1張，記下描述的變化后放回，洗勻，再從中隨機抽取1張，則這兩次抽取的卡片正面圖案描述的變化恰好都是物理變化的概率是（

）A． B． C． D．6．如圖，在中，，點D，E，F(xiàn)分別是三邊的中點，，，則四邊形的面積是（

）A． B． C． D．7．設(shè)，，是拋物線上的三點，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．8．一次函數(shù)與反比例函數(shù)（，為常數(shù)且均不等于）在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（

）A． B．C． D．9．如圖，在等腰中，斜邊的長為4，D為的中點，E為邊上的動點，．交于點F，P為的中點，連接，，則的最小值是（）A．3 B． C． D．10．如圖，已知頂點為的拋物線經(jīng)過點，下列結(jié)論：①；②；③若點，在拋物線上，則；④關(guān)于x的一元二次方程的兩根為和，其中正確的有（

）A．①② B．②④ C．①②③ D．①②④二、填空題11．“二維碼”是一種用于編碼和解碼信息的圖象，其基本原理是通過將信息轉(zhuǎn)化成特定的編碼方式并以圖象的形式表現(xiàn)出來．小剛為了估計邊長為的正方形二維碼內(nèi)部黑白部分的面積，他在正方形區(qū)域內(nèi)隨機擲點．經(jīng)過大量重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在左右，據(jù)此可以估計黑色部分的總面積為．12．若關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是．13．把拋物線向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線為．14．如圖，點A在雙曲線y＝（x＞0）上，過點A作AB⊥x軸于點B，點C在線段AB上且BC：CA＝1：2，雙曲線y＝（x＞0）經(jīng)過點C，則k＝．

15．如圖，在正方形中，，對角線，相交于點O，點E從點B出發(fā)，在邊上由B向A移動，同時點F從點A出發(fā)，以相同的速度在邊上由A向D移動，連接，．下列結(jié)論：①；②四邊形的面積為1；③；④四邊形周長的最小值為．其中正確的結(jié)論有（填序號）．三、解答題16．計算：17．解下列方程：（1）；（2）．18．如圖，在菱形中，點，在上，且，連接，，求證：．19．如圖：在中，平分交于點，．（1）求證：．（2）若，，求的長．20．某地計劃為學(xué)校添置新型“躺式”課桌椅，以解決學(xué)生的午休問題．圖①是“躺式”課桌椅的實物圖，圖②是上課期間椅子的擺放樣式．已知座面與支撐腳平行，座面，座面高，背墊，．（結(jié)果精確到）（1）求點G到支撐腳的垂直距離．（2）如圖③是午休時椅子的擺放樣式，此時點G到點A的水平距離為，求背墊旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：，，，）．21．年中國科技發(fā)展進入創(chuàng)新爆發(fā)期，創(chuàng)新指數(shù)首次躋身全球前十，在航空航天、清潔能源、高端制造等多領(lǐng)域斬獲多項世界級突破．為激發(fā)青少年崇尚科學(xué)，探索未知的熱情，某校開展了“逐夢科技強國”為主題的活動．該校某調(diào)查小組對活動中模具設(shè)計水平進行調(diào)查，隨機抽取全校部分學(xué)生的模具設(shè)計成績（成績?yōu)榘俜种?，用表示），并整理，將其分成如下四組：：，：，：，：．下面給出了部分信息：其中組的成績?yōu)椋?，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．根?jù)以上信息解決下列問題：（1）本次抽取的學(xué)生中成績在組的有____________人，抽取學(xué)生成績的中位數(shù)是____________分；（2）請估計全校名學(xué)生的模具設(shè)計成績不低于80分的人數(shù)；（3）學(xué)校決定從模具設(shè)計優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中隨機選擇兩名同學(xué)作經(jīng)驗交流，請用畫樹狀圖或列表的方法求出所選的兩位同學(xué)恰為甲和丙的概率．22．2025年，明水古城依托其深厚的文化底蘊，旅游經(jīng)濟持續(xù)向好．據(jù)統(tǒng)計，2023年明水古城全年接待游客量為100萬人次，預(yù)計到2025年全年，接待游客量將達到144萬人次．（1）求2023年到2025年這兩年明水古城游客量的年平均增長率．（2）古城某特產(chǎn)店銷售一款“平遙推光漆器”紀(jì)念品，已知該紀(jì)念品平均每天可售出20件，每件盈利40元．在2025年“十一”黃金周期間，該店決定降價促銷．如果每件降價1元，平均每天可多售出2件．在每件紀(jì)念品盈利不少于25元的前提下，要使該紀(jì)念品每天盈利1200元，每件紀(jì)念品應(yīng)降價多少元？23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)（）的圖象與反比例函數(shù)（）的圖象交于，兩點，與軸、軸分別交于點，，已知點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時，直接寫出的取值范圍；（3）反比例函數(shù)的圖象上是否存在一點．使得，若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，連接．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖，是線段上方拋物線上的一個動點，過點作交于點，為軸上一動點，當(dāng)線段的長度取得最大值時，求點的坐標(biāo)；（3）在平面內(nèi)，將拋物線沿射線方向平移，當(dāng)平移后的新拋物線經(jīng)過點時停止平移，此時得到新拋物線，在平移后的新拋物線上確定一點，使得，請直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)．25．綜合與探究：如圖，在中，，，．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，，線段與的位置關(guān)系是______，與的數(shù)量關(guān)系是______；（2）類比探究：將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)任意角度得到，連接，，線段與的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系與（1）中結(jié)論是否一致？若與交于點，與交于點，請結(jié)合圖說明理由；（3）拓展延伸：如圖，將繞點旋轉(zhuǎn)一定角度得到，當(dāng)點落到邊上時，連接，求線段的長．

答案1．【正確答案】A【分析】找到從幾何體的左面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在左視圖中．【詳解】解：從幾何體的左面看所得到的圖形是：故選A．2．【正確答案】B【分析】利用比例的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：∵，∴===，故選B．3．【正確答案】C【分析】設(shè)一共邀請了x支球隊參加比賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩支球隊之間都進行一場比賽），則每個隊參加（x-1）場比賽，則共有場比賽，可以列出一元二次方程．【詳解】解：設(shè)一共邀請了x支球隊參加比賽，由題意得，．故選C．4．【正確答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比，列出比例式即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：CD∥AB，∴△ODC△OBA，∴．故選C．5．【正確答案】A【分析】本題考查了畫樹狀圖法求概率，將正面圖案是鐵器生銹、陶瓷燒制、冰雪融化的卡片分別用A，B，C表示．根據(jù)題意畫出樹狀圖，進而根據(jù)概率公式，即可求解．【詳解】將正面圖案是鐵器生銹、陶瓷燒制、冰雪融化的卡片分別用A，B，C表示．根據(jù)題意，畫樹狀圖如下．由樹狀圖，可知共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次抽取的卡片正面圖案描述的變化恰好都是物理變化的結(jié)果有1種，（兩次抽取的卡片正面圖案描述的變化恰好都是物理變化），故選A．6．【正確答案】B【分析】本題考查了與三角形中位線有關(guān)的求解問題，根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長，解題關(guān)鍵是掌握上述知識點并能熟練運用求解．先證明四邊形是矩形，再根據(jù)矩形面積公式求解即可．【詳解】解：∵在中，點D，E，F(xiàn)分別是三邊的中點，∴，，∴四邊形是平行四邊形，又，∴四邊形是矩形，∵，，∴，，∴四邊形的面積是()，故選B．7．【正確答案】D【分析】本題主要考查了比較二次函數(shù)值的大小，根據(jù)解析式可得拋物線開口向下，對稱軸為直線，則離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，再求出三個點到對稱軸的距離即可得到答案．【詳解】解：，可知，拋物線的開口向下，對稱軸為直線，∴當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，隨的增大而增大，∴離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，∵，，是拋物線上的三點，且，∴，故選D．8．【正確答案】D【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象及一次函數(shù)的圖象，熟知反比例函數(shù)及一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，對所給選項依次進行判斷即可．【詳解】解：A．由一次函數(shù)的圖象可知，，；由反比例函數(shù)的圖象可知，，所以選項不符合題意；B．由一次函數(shù)的圖象可知，，；由反比例函數(shù)的圖象可知，，所以選項不符合題意；C．由一次函數(shù)的圖象可知，，；由反比例函數(shù)的圖象可知，，所以選項不符合題意；D．由一次函數(shù)的圖象可知，，；由反比例函數(shù)的圖象可知，，所以選項符合題意；故選D．9．【正確答案】C【分析】連接，、，作線段的垂直平分線，作A關(guān)于垂直平分線的對稱點，根據(jù)題意可得：點P在的垂直平分線上運動，得出的最小值為，結(jié)合圖形利用垂直及平行的關(guān)系得出，且，在中，利用勾股定理求解即可得．本題主要考查了以等腰直角三角形為背景的軸對稱最短路徑問題．熟練掌握等腰直角三角形性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，軸對稱的性質(zhì)，垂直及平行的判定和性質(zhì)等，找出點的運動路徑，作出相應(yīng)輔助線，是解題關(guān)鍵．【詳解】連接，、．是等腰直角三角形，且在中，為的中點，．同理．．點在的垂直平分線上運動．作A關(guān)于垂直平分線的對稱點，連接．的最小值為．，為中點，．在中，．故選C．10．【正確答案】D【分析】根據(jù)拋物線與軸有兩個交點，可判斷①，根據(jù)頂點坐標(biāo)求得最值，即可判斷②，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時，隨的增大而減小，，即可判斷③，根據(jù)對稱性得出點關(guān)于直線的對稱點在拋物線上，即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線與軸有兩個交點，∴，∴，故①符合題意；拋物線的頂點坐標(biāo)為，即時，函數(shù)有最小值，，所以②符合題意；拋物線的對稱軸為直線，而點，在拋物線上，點關(guān)于直線對稱的點為，當(dāng)時，隨的增大而減小，，所以③不符合題意；拋物線經(jīng)過點，而拋物線的對稱軸為直線，點關(guān)于直線的對稱點在拋物線上，關(guān)于的一元二次方程的兩根為和，所以④符合題意．故選D．11．【正確答案】【分析】本題考查的知識點是用頻率估計概率、幾何概率，解題關(guān)鍵是理解頻率與概率的關(guān)系，明確黑色部分面積與正方形面積之比等于概率．先計算正方形面積，再由黑色部分面積與正方形面積之比等于概率即可求解．【詳解】解：由題意得，點落入黑色部分的概率為，邊長為的正方形面積為，黑色部分的總面積．12．【正確答案】且【分析】由一元二次方程的定義，，有實數(shù)根，則，建立不等式求解．【詳解】解：由題意得，且，解得且．13．【正確答案】【分析】直接根據(jù)“左加右減，上加下減”的原則進行解答即可．【詳解】解：由“左加右減”的原則可知：將拋物線向左平移1個單位，所得拋物線的解析式為：，由“上加下減”的原則可知：將拋物線向上平移3個單位所得拋物線的解析式為.14．【正確答案】2【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接OC，

∵點A在雙曲線y＝（x＞0）上，過點A作AB⊥x軸于點B，∴S△OAB＝×6＝3，∵BC：CA＝1：2，∴S△OBC＝3×＝1，∵雙曲線y＝（x＞0）經(jīng)過點C，∴S△OBC＝|k|＝1，∴|k|＝2，∵雙曲線y＝（x＞0）在第一象限，∴k＝2，故答案為2．15．【正確答案】①②③【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．首先利用正方形的性質(zhì)得到相關(guān)邊和角的關(guān)系，證明三角形全等，得到，即可得到①；根據(jù)，得到，結(jié)合，計算即可得到②；連接，得到，求出，，得到，得到③；根據(jù)全等得到四邊形周長為，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時，四邊形周長最小，得到，得到四邊形周長最小值為，判斷④即可．【詳解】解：由題意得，∵四邊形是正方形∴，，，，∴，∴，，∴，∴．∴，故①正確；∵，∴，∴四邊形的面積為：，故②正確；如圖，連接，∵，∴，，∴，∴，，∴，∴，故③正確；∵，∴，，∴四邊形周長為，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時，四邊形周長最小，∵，，∴，∵，∴，四邊形周長最小值為，故④不正確，綜上可知：①②③正確．16．【正確答案】4【分析】根據(jù)零次冪、特殊角的正弦值、二次根式和去絕對值即可求解．【詳解】解：．17．【正確答案】（1），（2），【分析】本題主要考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的因式分解法和配方法是解題的關(guān)鍵．（1）方程運用因式分解法求解即可；（2）方程運用配方法求解即可．【詳解】（1）解：，，或，所以，；（2）解：，，，，，所以，18．【正確答案】見詳解【分析】此題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)菱形的性質(zhì)得，則，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵四邊形是菱形，∴，∴，在與中，，∴，∴．19．【正確答案】（1）見詳解（2）8【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，推導(dǎo)出，進而證明是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明即可．（2）由相似三角形的性質(zhì)得，求出，則，而，則．【詳解】（1）證明：∵平分交于點D，∴，∵，∴，∴，∵，∴．（2）解：∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴的長是8．20．【正確答案】（1）（2）背墊旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為【分析】此題考查三角函數(shù)的實際應(yīng)用，（1）過點G作于點H，利用正弦公式求出即可；（2）過點G作，交的延長線于點M，由題意得，得到，在中，根據(jù)余弦求出，由此得到，進而得到背墊旋轉(zhuǎn)的度數(shù)【詳解】（1）解：過點G作于點H，在中，，∴，∴∴點G到支撐腳的垂直距離約為．（2）過點G作，交的延長線于點M，由題意得∵，∴，在中，∴，∴，∴背墊旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為21．【正確答案】（1）；（2）估計全校名學(xué)生的模具設(shè)計成績不低于分的人數(shù)約人（3）【分析】本題考查了頻數(shù)直方圖，扇形統(tǒng)計圖，中位數(shù)，樣本估計總體，用樹狀圖或列表法求概率，看懂統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵；（1）由直方圖及中位數(shù)定義即可求得；（2）根據(jù)樣本中不低于分的占比來估計總體；（3）畫樹狀圖求解即可.【詳解】解：（1）由直方圖可知在組人數(shù)：人；∵，∴中位數(shù)為：；（2）（人）；∴估計全校名學(xué)生的模具設(shè)計成績不低于分的人數(shù)約人．（3）列表如下：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，?。┮遥ㄒ遥祝ㄒ?，丙）（乙，?。┍ū?，甲）（丙，乙）（丙，丁）?。ǘ?，甲）（丁，乙）（丁，丙）共有種等可能的結(jié)果，其中所選的兩位同學(xué)恰為甲和丙的結(jié)果有：（甲，丙），（丙，甲），共種，∴所選的兩位同學(xué)恰為甲和丙的概率為．22．【正確答案】（1）這兩年古城游客量的年平均增長率（2）每個紀(jì)念品應(yīng)降價10元【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)2023年到2025年這兩年明水古城游客量的年平均增長率為，根據(jù)2023年明水古城全年接待游客量為100萬人次，預(yù)計到2025年全年，接待游客量將達到144萬人次，列出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．（2）設(shè)每件紀(jì)念品應(yīng)降價元，則每件盈利元，平均每天可售出件，利用盈利每件的銷售利潤日銷售量，列出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)這兩年明水古城游客量的年平均增長率為，則，∴，解得：，（舍去），∴這兩年古城游客量的年平均增長率；（2）設(shè)每件紀(jì)念品應(yīng)降價元，則銷售量為件，由題意得，，整理得：，解得，，當(dāng)時，每件紀(jì)念品盈利30元，符合題意；當(dāng)時，每件紀(jì)念品盈利20元，不符合題意；∴每件紀(jì)念品應(yīng)降價10元．23．【正確答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)解析式為（2）或（3）或【分析】（1）由點A坐標(biāo)求出反比例函數(shù)解析式，再求出點C坐標(biāo)，進而求出直線解析式；（2）根據(jù)函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)即可得到結(jié)論；（3）由聯(lián)想等腰直角三角形，構(gòu)造等腰直角三角形，進而利用三垂直全等求出點T坐標(biāo)，再求出直線解析式，聯(lián)立方程組求解即可．【詳解】（1）解：把代入，得，∴反比例函數(shù)的解析式為，∵在反比例函數(shù)圖象上，∴，∴，∵一次函數(shù)（）的圖象過，，∴，解得：，∴一次函數(shù)解析式為；（2）解：∵點A的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為，∴當(dāng)時，x的取值范圍為或．（3）解：①當(dāng)點在第四象限時，如圖，構(gòu)造等腰直角三角形，且，過作軸，再分別過作的垂線段，垂足分別為，則，∴，∵，∴，∴，，∴，由點和點坐標(biāo)同上可得直線解析式為，聯(lián)立，解得或（與點重合，舍去），∴；②當(dāng)點在第二象限時，如圖，構(gòu)造等腰直角三角形且，同①理可得直線解析式為，聯(lián)立得，解得或（與點重合，舍去），∴，綜上，或24．【正確答案】（1）（2）當(dāng)，最大，且最大值為，（3）點M的坐標(biāo)為或【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）過點P作軸，交于點H，交x軸與點N，先確定直線的解析式為：，設(shè)，則，則，利用配方法得到，結(jié)合，根據(jù)拋物線性質(zhì)解答即可；（3）根據(jù)題意，確定這是一個向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度的平移變換，設(shè)平移后拋物線的解析式為，，確定解析式，取的中點，連接，交拋物線于點，此時；過點作，交拋物線于點，此時．【詳