/天津河西實驗中學2025?2026學年上學期12月月考九年級數(shù)學試題一、單選題1．下列四個圓形圖案中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．如圖，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB于點C，交⊙O于點D，連接OA．若AB=4，CD=1，則⊙O的半徑為（）A．5 B． C．3 D．3．如圖，將鈍角繞點A按逆時針方向旋轉，得到，連接，若，則的大小為（

）A．75° B．70° C．65° D．60°4．如圖，，是的切線，，為切點，是的直徑，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．妙妙上學經過兩個路口，如果每個路口可直接通過和需等待的可能性相等，那么妙妙上學時在這兩個路口都直接通過的概率是（

）A． B． C． D．6．已知二次函數(shù)圖象上部分點的坐標（x，y）對應值列表如下：x…02…y…1500…則關于x的方程的解為（

）A．， B．，C．， D．，7．正方形內接于，P是劣弧上任意一點，則等于（）

A． B． C． D．8．如圖，與x軸交于點，，與軸的正半軸交于點．若，則點的縱坐標為(

)A． B． C． D．9．對于二次函數(shù)，下列說法不正確的是（

）A．當時，有最大值 B．當時，隨的增大而減小C．開口向下 D．函數(shù)圖象與軸交于點和10．如圖，用繩子圍成周長為的矩形，記矩形的一邊長為，它的鄰邊長為，矩形的面積為．當在一定范圍內變化時，和都隨的變化而變化，則與與滿足的函數(shù)關系分別是（

）A．一次函數(shù)關系，二次函數(shù)關系 B．反比例函數(shù)關系，二次函數(shù)關系C．一次函數(shù)關系，反比例函數(shù)關系 D．反比例函數(shù)關系，一次函數(shù)關系11．如圖，在長方形ABCD中，AB=6，BC=8，F(xiàn)為邊CD的中點，E為長方形ABCD外一動點，且∠AEC=90°，則線段EF的最大值為（）A．7 B．8 C．9 D．1012．如圖，是拋物線（）圖象的一部分，拋物線的頂點坐標為B（－1，－3），與軸的一個交點為A（－4，0）．直線（）經過點A和點B．以下結論：①；②；③拋物線與軸的另一個交點是（4，0）；④方程有兩個不相等的實數(shù)根；⑤；⑥不等式的解集為．其中結論正確的是（

）A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．②③⑤ D．①⑤⑥二、填空題13．已知二次函數(shù)，則當時，的最大值與最小值的差為．14．正六邊形的半徑為3，則正六邊形的邊心距為．15．如圖，從一塊直徑為的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為的扇形，則此扇形的面積為．16．如圖，在中，是直徑，弦的長為5cm，點在圓上，且，則的半徑為．17．如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m，水面下降2m，水面寬度增加m.18．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，的頂點均落在格點上，點B在網格線上，且．（Ⅰ）線段的長等于___________；（Ⅱ）以為直徑的半圓與邊相交于點D，若分別為邊上的動點，當取得最小值時，請用無刻度的直尺，在如圖所示的網格中，畫出點，并簡要說明點的位置是如何找到的（不要求證明）．三、解答題19．解下列方程：（1）（2）20．如圖，四邊形內接于，為的直徑，．

（1）試判斷的形狀，并給出證明；（2）若，，求與的長度．21．如圖，平面直角坐標系內，小正方形網格的邊長為1個單位長度，的頂點均在格點上．（1）畫出將關于原點O的中心對稱圖形．（2）將繞點E順時針旋轉得到，畫出．（3）若由繞著某點旋轉得到的，則這點的坐標為______．22．如圖，AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E．（1）求證：直線DE是⊙O的切線；（2）若AE＝8，⊙O的半徑為5，求DE的長．23．某單位食堂為全體名職工提供了四種套餐，為了解職工對這四種套餐的喜好情況，單位隨機抽取名職工進行“你最喜歡哪一種套餐（必選且只選一種）”問卷調查，根據調查結果繪制了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，部分信息如下：在抽取的人中最喜歡套餐的人數(shù)為，扇形統(tǒng)計圖中“”對應扇形的圓心角的大小為；依據本次調查的結果，估計全體名職工中最喜歡套餐的人數(shù)；現(xiàn)從甲、乙、丙、丁四名職工中任選兩人擔任“食品安全監(jiān)督員”，求甲被選到的概率．24．在平面直角坐標系中，四邊形是矩形，點，點，點，以點A為中心，順時針旋轉矩形，得到矩形，點O，B，C的對應點分別為D，E，F(xiàn)，記旋轉角為α（）．（1）如圖①，當時，求點D的坐標；（2）如圖②，當點E落在的延長線上時，求點D的坐標；（3）當點D落在線段上時，求點E的坐標（直接寫出結果即可）．25．如圖，拋物線過點，且與直線交于B、C兩點，點B的坐標為．（1）求拋物線的解析式；（2）點D為拋物線上位于直線上方的一點，過點D作軸交直線于點E，點P為對稱軸上一動點，當線段的長度最大時，求的最小值；（3）設點M為拋物線的頂點，在y軸上是否存在點Q，使？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

答案1．【正確答案】C【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意；D、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意．故選C．2．【正確答案】D【分析】設⊙O的半徑為r，在Rt△ACO中，根據勾股定理列式可求出r的值．【詳解】設⊙O的半徑為r，則OA=r，OC=r-1，∵OD⊥AB，AB=4，∴AC=AB=2，在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2，∴r2=22+（r-1）2，r=，故選D．3．【正確答案】A【分析】由旋轉的性質可得，，由此即可求出，由平行線的性質求出，即可得到答案．【詳解】解：由旋轉的性質可得，，∴，∵，∴，∴，故A正確．故選A．4．【正確答案】B【分析】根據切線的性質和切線長的性質定理，即可求解．【詳解】∵，是的切線，是的直徑，∴∠CAP=90°，PA=PB，∴∠PAB=∠PBA，∵，∴∠PAB=∠CAP-=75°，∴=180°-75°-75°=30°．故選B．5．【正確答案】A【分析】根據題意畫出樹形圖，即可求出在這兩個路口都直接通過的概率．【詳解】解：由題意畫樹形圖得，由樹形圖得共有4種等可能性，其中在這兩個路口都直接通過的概率是P=．故選A6．【正確答案】A【分析】本題考查的是二次函數(shù)的性質，先根據表格信息求解的對稱軸為直線，再進一步求解即可.【詳解】解：由表格信息可得：的對稱軸為直線，而當時，，根據對稱性可得：當時，，∴的解為：，；故選A7．【正確答案】C【分析】本題主要考查的是圓內接正多邊形的性質以及圓周角定理的應用，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．連接，由于圓內接正方形將圓分成四等分，所以，由圓周角定理知，根據即可得出答案．【詳解】解：連接；四邊形是圓的內接正方形，；，，故選C．

8．【正確答案】B【分析】連接PA，PB，PC，過P作PD⊥AB于D，PE⊥y軸于E，根據圓周角定理得到∠APB=120°，根據等腰三角形的性質得到∠PAB=∠PBA=30°，由垂徑定理得到AD=BD=3，解直角三角形得到PD=，PA=PB=PC=2，根據勾股定理得到CE=，于是得到結論．【詳解】連接，，，過作于，于，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴點的縱坐標為.故選B．9．【正確答案】A【分析】先把一般式配成頂點式得到y(tǒng)=-（x-1）2+4，再根據二次函數(shù)的性質可對A、B、C進行判斷；通過解方程-x2+2x+3=0得拋物線與x軸的交點坐標，可對D進行判斷．【詳解】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，-1＜0，∴拋物線開口向下，頂點坐標為（1，4），故C正確，不符合；當x≥1時，y隨x的增大而減小，故B正確，不符合；當x=1時，y有最大值4，故A錯誤，符合；當y=0時，-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，∴拋物線與x軸的交點坐標為（-1，0），（3，0），故D正確，不符合；故選A．10．【正確答案】A【分析】由題意及矩形的面積及周長公式可直接列出函數(shù)關系式，然后由函數(shù)關系式可直接進行排除選項．【詳解】解：由題意得：，整理得：，，∴y與x成一次函數(shù)的關系，S與x成二次函數(shù)的關系；故選A．11．【正確答案】C【分析】連接AC，取AC的中點O，求出OF、OE，當O、E、F三點共線時EF最大，據此即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接AC，取AC的中點O，∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∠B=90°，F(xiàn)為CD的中點，∴AC==10，∵AO=OC，CF=FD，∴OF=AD=BC=4，∵∠AEC=90°，∴OE=AC=×10=5，當O、E、F三點共線時EF最大，此時EF的最大值為4+5=9．故選C．12．【正確答案】B【分析】觀察圖象得：拋物線的對稱軸為直線，可得到；進而得到同號，再有拋物線開口向上，與軸交于負半軸，可得，，從而得到；再由拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個交點為A（－4，0），可得線與軸的另一個交點為；然后根據拋物線的頂點坐標為B（－1，－3），可得拋物線與直線只有一個交點，從而得到方程有兩個相等的實數(shù)根；再由觀察圖象得：當時，，根據拋物線的增減性，可得：；最后根據觀察圖象得：當時，直線的圖象位于拋物線的上方，可得不等式的解集為，即可求解．【詳解】解：觀察圖象得：拋物線的對稱軸為直線，∴，即，故①錯誤；∵，∴，即同號，∵拋物線開口向上，與軸交于負半軸，∴，，∴，∴，故②正確；∵拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個交點為A（－4，0），∴拋物線與軸的另一個交點為，故③錯誤；∵拋物線的頂點坐標為B（－1，－3），∴當時，，即拋物線與直線只有一個交點，∴方程有兩個相等的實數(shù)根，故④錯誤；觀察圖象得：當時，，在對稱軸的右側，拋物線的圖象自左向右呈上升趨勢，即此時隨的增大而增大，又當時，，∴，故⑤正確；觀察圖象得：當時，直線的圖象位于拋物線的上方，∴不等式的解集為，故⑥正確；∴正確的有②⑤⑥．故選B13．【正確答案】//【分析】首先根據二次函數(shù)的性質得到開口向上，對稱軸為，然后將和代入求解即可．【詳解】∵二次函數(shù)，∵，∴開口向上，對稱軸為，∴當時，y隨x的增大而減小，當時，y隨x的增大而增大，∴當時，∴當時，y取得最小值，即，∵當時，即，當時，即，∴當時，y取得最大值4，∴，∴的最大值與最小值的差為．14．【正確答案】【分析】依題意，依據正六邊形的性質，構造等邊三角形；然后求其高即可．【詳解】解：如圖：過O作于G，連接，

∵六邊形是正六邊形，∴，，∴是等邊三角形，∴為等邊的高，∴即為正六邊形的邊心距，又,∴，由勾股定理可得.15．【正確答案】【分析】如圖，連接證明為圓的直徑，再利用勾股定理求解再利用扇形面積公式計算即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接為圓的直徑，16．【正確答案】5cm【分析】連接BC，由題意易得，進而問題可求解．【詳解】解：連接BC，如圖所示：∵，∴，∵是直徑，∴，∵，∴，∴的半徑為5cm；故答案為5cm．17．【正確答案】【分析】根據已知建立平面直角坐標系，進而求出二次函數(shù)解析式，再通過把代入拋物線解析式得出水面寬度，即可得出答案．【詳解】建立平面直角坐標系，設橫軸x通過AB，縱軸y通過AB中點O且通過C點，則通過畫圖可得知O為原點，拋物線以y軸為對稱軸，且經過A，B兩點，OA和OB可求出為AB的一半2米，拋物線頂點C坐標為通過以上條件可設頂點式，其中可通過將A點坐標代入到拋物線解析式得出：所以拋物線解析式為當水面下降2米，通過拋物線在圖上的觀察可轉化為：當時，對應的拋物線上兩點之間的距離，也就是直線與拋物線相交的兩點之間的距離，可以通過把代入拋物線解析式得出：解得：

所以水面寬度增加到米，比原先的寬度當然是增加了故答案是：18．【正確答案】（1）；（2）見詳解【分析】（1）將AC放在一個直角三角形，運用勾股定理求解；（2）取格點M，N，連接MN，連接BD并延長，與MN相交于點；連接，與半圓相交于點E，連接BE，與AC相交于點P，連接并延長，與BC相交于點Q，則點P，Q即為所求．【詳解】解：（Ⅰ）如圖，在Rt△AEC中，CE=3,AE=2,則由勾股定理，得AC==；（Ⅱ）如圖，取格點M，N，連接MN，連接BD并延長，與MN相交于點；連接，與半圓相交于點E，連接BE，與AC相交于點P，連接并延長，與BC相交于點Q，則點P，Q即為所求．19．【正確答案】（1），（2），【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程．（1）利用因式分解法先提取公因式，得到，此時或，進而求得x的值；（2）先整理方程得，利用因式分解法得到，此時或，進而求得x的值．【詳解】（1）解：，，∴或，∴，．（2）解：，，，∴或，∴，．20．【正確答案】（1）等腰直角三角形，見詳解（2），【分析】（1）圓周角定理得到為直角，，進而得到，即可得出結論；（2）勾股定理求出的長，再用勾股定理求出的長，過點作于點，分別利用勾股定理求出，即可．【詳解】（1）解：是等腰直角三角形，證明如下：∵為的直徑，∴，∵（同弧所對的圓周角相等），又，∴，∴，∴是等腰直角三角形；（2）∵是等腰直角三角形，，∴，，∵為的直徑，∴，∴，過點作于點，

∵，∴，∴，∴，∴．21．【正確答案】（1）見詳解（2）見詳解（3）【分析】本題主要考查了作關于原點對稱的圖形，旋轉作圖，確定旋轉中心，對于（1），作點A，B，C關于原點對稱的點，再依次連接即可；對于（2），將點D，F(xiàn)繞點E順時針旋轉得到點，再依次連接；對于（3），連接，并作的垂直平分線，再連接，并作的垂直平分線，兩條直線交于點P，確定坐標即可．【詳解】（1）如圖所示，（2）如圖所示，（3）如圖所示，點P即為所求作的點，其坐標是．22．【正確答案】（1）見詳解；（2）4【分析】（1）連接OD，由角平分線和等腰三角形的性質得出∠ODA＝EAD，證出EA∥OD，再由已知條件得出DE⊥OD，即可得出結論．（2）作DF⊥AB，垂足為F，由AAS證明△EAD≌△FAD，得出AF＝AE＝8，DF＝DE，求出OF＝3，由勾股定理得出DF，即可得出結果．【詳解】（1）證明：連接OD，如圖1所示：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠OAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠EAD，∴EA∥OD，∵DE⊥EA，∴DE⊥OD，∵點D在⊙O上，∴直線DE與⊙O相切．（2）作DF⊥AB，垂足為F，如圖2所示：作，垂足為F，如圖2所示：，在和中，，≌，，，，，在中，，．23．【正確答案】（1）60，108°；（2）336；（3）【分析】（1）用最喜歡套餐的人數(shù)對應的百分比乘以總人數(shù)即可，先求出最喜歡C套餐的人數(shù)，然后用最喜歡C套餐的人數(shù)占總人數(shù)的比值乘以360°即可求出答案；（2）先求出最喜歡B套餐的人數(shù)對應的百分比，然后乘以960即可；（3）用列舉法列出所有等可能的情況，然后找出甲被選到的情況即可求出概率．【詳解】（1）最喜歡套餐的人數(shù)=25%×240=60（人），最喜歡C套餐的人數(shù)=240-60-84-24=72（人），扇形統(tǒng)計圖中“”對應扇形的圓心角為：360°×=108°.（2）最喜歡B套餐的人數(shù)對應的百分比為：×100%=35%，估計全體名職工中最喜歡套餐的人數(shù)為：960×35%=336（人）；（3）由題意可得，從甲、乙、丙、丁四名職工中任選兩人，總共有6種不同的結果，每種結果發(fā)生的可能性相同，列舉如下：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，其中甲被選到的情況有甲乙，甲丙，甲丁3種，故所求概率P==