黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)三中2026屆數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．經(jīng)過(guò)點(diǎn)作圓的弦,使點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，則弦所在直線的方程為A. B.C. D.2．函數(shù)在（0，e]上的最大值為（）A.－1 B.1C.0 D.e3．設(shè)命題，，則為（）.A.， B.，C.， D.，4．函數(shù)在單調(diào)遞增的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B.C. D.5．若函數(shù)，（其中，）的最小正周期是，且，則（）A. B.C. D.6．已知三棱錐O-ABC，點(diǎn)M，N分別為AB，OC的中點(diǎn)，且，用表示，則等于（）A. B.C. D.7．若函數(shù)，滿足且，則（）A.1 B.2C.3 D.48．直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是A. B.C. D.9．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距長(zhǎng)成等比數(shù)列，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.10．直線是雙曲線的一條漸近線，，分別是雙曲線左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，且，則（）A.2 B.6C.8 D.1011．已知實(shí)數(shù)，，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.12．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，已知正方形邊長(zhǎng)為，長(zhǎng)方形中，，平面與平面互相垂直，是線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_____14．已知數(shù)列滿足，則其通項(xiàng)公式________15．已知離心率為，且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的雙曲線C過(guò)點(diǎn)，過(guò)雙曲線C上任意一點(diǎn)P，向雙曲線C的兩條漸近線分別引垂線，垂足分別是A，B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形OAPB的面積為_(kāi)_____16．復(fù)數(shù)的實(shí)部為_(kāi)________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且（1）證明：面；（2）求平面和平面夾角的余弦值18．（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，都是等腰直角三角形，，，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面.19．（12分）在中，是的中點(diǎn)，，現(xiàn)將該平行四邊形沿對(duì)角線折成直二面角，如圖：（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是，以其短軸為直徑的圓過(guò)橢圓的左右焦點(diǎn)，.（1）求橢圓E的方程；（2）過(guò)橢圓E左焦點(diǎn)作不與坐標(biāo)軸垂直的直線，交橢圓于M，N兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)Q，若點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的最大值是，求面積的取值范圍.21．（12分）已知A（-3，0），B（3，0），四邊形AMBN的對(duì)角線交于點(diǎn)D（1，0），kMA與kMB的等比中項(xiàng)為，直線AM，NB相交于點(diǎn)P.（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）若點(diǎn)N也在C上，點(diǎn)P是否在定直線上?如果是，求出該直線，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（10分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓的上頂點(diǎn)，以為圓心且過(guò)的圓與直線相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線交橢圓于兩點(diǎn).（ⅰ）若直線的斜率等于，求面積的最大值；（ⅱ）若，點(diǎn)在上，.證明：存在定點(diǎn)，使得為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由題知為弦AB的中點(diǎn)，可得直線與過(guò)圓心和點(diǎn)的直線垂直，可求的斜率，然后用點(diǎn)斜式求出的方程【詳解】由題意知圓的圓心為，，由，得，∴弦所在直線的方程為，整理得.選A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線的斜率，直線的點(diǎn)斜式方程，屬于基礎(chǔ)題2、A【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最大值【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，故選：A3、B【解析】根據(jù)全稱命題和特稱命題互為否定，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)槊}，，所以為，.故選：B.4、D【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，由于函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，可得在區(qū)間上恒成立，求出的范圍，再根據(jù)充分必要條件的定義即可判斷得解.【詳解】由題得，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間上恒成立，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，選項(xiàng)中只有是的必要不充分條件.選項(xiàng)AC是的充分不必要條件，選項(xiàng)B是充要條件.故選：D5、B【解析】利用余弦型函數(shù)的周期公式可求得的值，由結(jié)合的取值范圍可求得的值.【詳解】由已知可得，且，因此，.故選：B.6、D【解析】根據(jù)空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】.故選：D7、C【解析】先取，得與之間的關(guān)系，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算直接求導(dǎo)，代值可得.【詳解】取，則有，即，又因?yàn)樗裕?，所?故選：C8、A【解析】分析：先求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得到再計(jì)算圓心到直線距離，得到點(diǎn)P到直線距離范圍，由面積公式計(jì)算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn),則點(diǎn)P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點(diǎn)P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題9、A【解析】由題意，，結(jié)合，求解即可【詳解】∵橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距長(zhǎng)成等比數(shù)列∴∴又∵∴∴，即∴e=又在橢圓e＞0∴e=故選：A10、C【解析】根據(jù)漸近線可求出a，再由雙曲線定義可求解.【詳解】因?yàn)橹本€是雙曲線的一條漸近線，所以，，又或，或（舍去），故選：C11、C【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)和作差法判斷大小依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式不成立，錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤正確；當(dāng)時(shí)，不等式不成立，錯(cuò)誤；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，作差法判斷大小，意在考查學(xué)生對(duì)于不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用.12、D【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可確定復(fù)數(shù)所在象限【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出，后可求異面直線所成角的余弦值.【詳解】長(zhǎng)方形可得，因?yàn)槠矫媾c平面互相垂直，平面平面，平面，故平面，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，，故.故答案為：14、【解析】利用累加法即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，，，…，，把以上個(gè)式子相加，得，即，所以.故答案為：.15、2【解析】由離心率為，∴雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，可得雙曲線方程為，設(shè)，則到兩漸近線的距離為，，從而可求四邊形的面積【詳解】由離心率為，∴雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，又雙曲線過(guò)點(diǎn)，，∴，故雙曲線方程為，∴漸近線方程為，設(shè)，則到兩漸近線的距離為，，且，∵漸近線方程為，∴四邊形為矩形，∴四邊形的面積為故答案為：216、【解析】復(fù)數(shù)，其實(shí)部為.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、實(shí)部.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）證明平面，可得出，再由結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】證明：正中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，因?yàn)槠矫?，平面，則，，則平面，平面，則，又，且，平面.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)椋渣c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，平面，平面，則，又因?yàn)椋?，故平面，所以，平面的一個(gè)法向量為，則.因此，平面和平面夾角的余弦值為.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由三角形的中位線定理可證得MN∥AB，再由線面垂直的判定定理可證得結(jié)論，（2）由已知可得AB⊥BC，VC⊥AC，再由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得VC⊥平面ABC，從而有AB⊥VC，然后由線面垂直的判定定理可證得結(jié)論【小問(wèn)1詳解】證明：∵M(jìn)，N分別為VA，VB的中點(diǎn)，∴MN∥AB，∵AB?平面CMN，MN?平面CMN，∴AB∥平面CMN【小問(wèn)2詳解】證明：∵△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，AB＝BC，AC＝CV，∴AB⊥BC，VC⊥AC，∵平面VAC⊥平面ABC，平面VAC∩平面ABC＝AC，∴VC⊥平面ABC，∵AB?平面ABC，∴AB⊥VC，又VC∩BC＝C，∴AB⊥平面VBC19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）先求出BD，通過(guò)勾股定理的逆定理得，再由面面垂直的性質(zhì)得線面垂直，從而得線線垂直；（2）作出二面角，然后再解直角三形即可.【小問(wèn)1詳解】在中，，，由余弦定理有：，∴，∴，即.又∵二面角是直二面角，平面ABD平面BCD＝BD，AB?平面ABD，∴AB⊥平面BCD.又CD?平面BCD，∴AB⊥CD.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，在中，由（1）易知,.過(guò)點(diǎn)作垂直的延長(zhǎng)線于，再連接.由（1）有AB⊥平面BCD，又平面BCD，所以，又，平面，平面，且,所以平面，又平面，所以，因此的大小即二面角的大小.而在中有,，可得，所以，所以.所以二面角的余弦值是.20、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合列式計(jì)算即可作答.(2)設(shè)出直線MN的方程，與橢圓方程聯(lián)立并結(jié)合已知求出m的范圍，再借助韋達(dá)定理求出面積函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】令橢圓半焦距為c，依題意，，解得，所以橢圓E的方程為.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，橢圓E左焦點(diǎn)為，設(shè)過(guò)橢圓E左焦點(diǎn)的直線為(存在且不為0)，由消去x得，，設(shè)，則，線段的中點(diǎn)為，因此線段的垂直平分線為，由得的縱坐標(biāo)為，依題意，且，解得，由(1)知，，，令，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，所以面積的取值范圍.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過(guò)定點(diǎn)的直線l：y=kx+b交圓錐曲線于點(diǎn)，，則面積；過(guò)定點(diǎn)直線l：x=ty+a交圓錐曲線于點(diǎn)，，則面積21、（1）；（2）點(diǎn)P在定直線x=9上.理由見(jiàn)解析.【解析】(1)設(shè)點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式和等比數(shù)列的等比中項(xiàng)的應(yīng)用列出方程，整理方程即可；(2)設(shè)直線MN方程為：，點(diǎn)，聯(lián)立雙曲線方程消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理寫(xiě)出，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)和直線的點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出直線PA、PB，聯(lián)立方程組，解方程組即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，則，又，所以，整理，得，即軌跡M的方程C為：；【小問(wèn)2詳解】點(diǎn)P在定直線上.由(1)知，曲線C方程為：，直線MN過(guò)點(diǎn)D(1,0)若直線MN斜率不存在，則，得，不符合題意；設(shè)直線MN方程為：，點(diǎn)，則，消去x，得，有，，，，所以直線PA方程為：，直線PB方程為：，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為方程組的解，有，即，整理，得，解得，即點(diǎn)P在定直線上.22、（1）；（2）（?。?；（ⅱ）.【解析】（1）求出后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）（?。┰O(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式可求面積表達(dá)式，利用基本不等式可求面積的最大值.（ⅱ）利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可得，從而可得的軌跡為圓，故可證存在定點(diǎn)，使得為定值.【詳解】（1）由題意知：，，又，則以為圓心且過(guò)的圓的半徑為，故，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）（?。┰O(shè)直線的方程為：，將代入得：，所以且，故.又，點(diǎn)到直線的距離，所以，等號(hào)當(dāng)僅當(dāng)時(shí)取，即當(dāng)時(shí)，的面積取最大值為.（ⅱ）顯然直線的斜率一