吉林省長春實驗中學2026屆高二數(shù)學第一學期期末監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．命題“，都有”的否定為（）A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得2．已知拋物線的方程為，則此拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.3．已知雙曲線的實軸長為10，則該雙曲線的漸近線的斜率為（）A. B.C. D.4．已知點，，直線與線段相交，則實數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.5．若且，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.6．如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點是底面圓周上的一點，且，點是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.7．已知方程表示雙曲線，則實數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.C. D.8．拋物線準線方程為()A. B.C. D.9．已知等比數(shù)列中，，，則首項（）A. B.C. D.010．我國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“一百八十九里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關.”其大意為：“有一個人共行走了189里的路程，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達目的地.”則該人第一天行走的路程為（）A.108里 B.96里C.64里 D.48里11．設點是點，，關于平面的對稱點，則（）A.10 B.C. D.3812．若關于x的方程有解，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某市有30000人參加階段性學業(yè)水平檢測，檢測結束后的數(shù)學成績X服從正態(tài)分布，若，則成績在140分以上的大約為______人14．若命題P：對于任意，使不等式為真命題，則實數(shù)的取值范圍是___________.15．在等比數(shù)列中，已知，則________16．數(shù)列滿足，，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系內，已知的三個頂點坐標分別為（1）求邊垂直平分線所在的直線的方程；（2）若的面積為5，求點的坐標18．（12分）已知，（1）當時，求函數(shù)的單調遞減區(qū)間；（2）當時，，求實數(shù)a的取值范圍19．（12分）已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2）若有兩個零點，求實數(shù)a取值范圍.20．（12分）已知點關于直線的對稱點為Q，以Q為圓心的圓與直線相交于A，B兩點，且（1）求圓Q的方程；（2）過坐標原點O任作一直線交圓Q于C，D兩點，求證：為定值21．（12分）已知橢圓過點，且離心率，為坐標原點.（1）求橢圓的方程；（2）判斷是否存在直線，使得直線與橢圓相交于兩點，直線與軸相交于點，且滿足，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.22．（10分）某中學共有名學生，其中高一年級有名學生，為了解學生的睡眠情況，用分層抽樣的方法，在三個年級中抽取了名學生，依據(jù)每名學生的睡眠時間（單位：小時），繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求樣本中高一年級學生的人數(shù)及圖中的值；（2）估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）；（3）估計全校睡眠時間超過個小時的學生人數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)命題的否定的定義判斷【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，命題“，都有”的否定為：，使得故選：A2、A【解析】由拋物線的方程直接寫出其準線方程即可.【詳解】由拋物線的方程為，則其準線方程為：故選：A3、B【解析】利用雙曲線的實軸長為，求出，即可求出該雙曲線的漸近線的斜率.【詳解】由題意，，所以，，所以雙曲線的漸近線的斜率為.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線的方程與性質，考查學生的計算能力，屬于基礎題.4、B【解析】由可求出直線過定點，作出圖象，求出和，數(shù)形結合可得或，即可求解.【詳解】由可得：，由可得，所以直線：過定點，作出圖象如圖所示：，，若直線與線段相交，則或，所以實數(shù)的取值范圍是或，故選：B5、D【解析】根據(jù)不等式的性質即可判斷.【詳解】對于A，若，則不等式不成立；對于B，若，則不等式不成立；對于C，若均為負值，則不等式不成立；對于D，不等號的兩邊同乘負值，不等號的方向改變，故正確；故選：D【點睛】本題主要考查不等式的性質，需熟練掌握性質，屬于基礎題.6、C【解析】建立空間直角坐標系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計算即可.【詳解】以過點且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設異面直線與所成角為，則.故選：C.7、A【解析】根據(jù)雙曲線標準方程的性質，列出關于不等式，求解即可得到答案【詳解】由雙曲線的性質：，解的或，故選：A8、D【解析】由拋物線的準線方程即可求解【詳解】由拋物線方程得：．所以，拋物線的準線方程為故選D【點睛】本題主要考查了拋物線的準線方程，屬于基礎題9、B【解析】設等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，列出方程組，即可求得，進而可求得答案.【詳解】設等比數(shù)列公比為q，則，解得，所以.故選：B10、B【解析】根據(jù)題意，記該人每天走的路程里數(shù)為，分析可得每天走的路程里數(shù)構成以的為公比的等比數(shù)列，由求得首項即可【詳解】解：根據(jù)題意，記該人每天走的路程里數(shù)為，則數(shù)列是以的為公比的等比數(shù)列，又由這個人走了6天后到達目的地，即，則有，解可得：，故選：B.【點睛】本題考查數(shù)列的應用，涉及等比數(shù)列的通項公式以及前項和公式的運用，注意等比數(shù)列的性質的合理運用.11、A【解析】寫出點坐標，由對稱性易得線段長【詳解】點是點，，關于平面的對稱點，的橫標和縱標與相同，而豎標與相反，，，，直線與軸平行，，故選：A12、C【解析】將方程有解，轉化為方程有解求解.【詳解】解：因為方程有解，所以方程有解，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以實數(shù)a的取值范圍為，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、150【解析】根據(jù)考試的成績X服從正態(tài)分布．得到考試的成績X的正太密度曲線關于對稱，根據(jù)，得到，根據(jù)頻率乘以樣本容量得到這個分數(shù)段上的人數(shù)【詳解】由題意，考試的成績X服從正態(tài)分布考試的成績X的正太密度曲線關于對稱，，，，該市成績在140分以上的人數(shù)為故答案為：15014、【解析】根據(jù)題意，結合指數(shù)函數(shù)不等式，將原問題轉化為關于的不等式，對于任意恒成立，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，知對于任意，恒成立，即，化簡得，令，，則恒成立，即，解得，故.故答案為：.15、2【解析】由等比數(shù)列的相關性質進行求解.【詳解】由等比數(shù)列的相關性質得：故答案為：216、【解析】根據(jù)題中所給的遞推式得到數(shù)列具有周期性，進而得到結果.【詳解】根據(jù)題中遞推式知，可知數(shù)列具有周期性，周期為3，因為故故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解析】（1）由題意直線的斜率公式，兩直線垂直的性質，求出的斜率，再用點斜式求直線的方程（2）根據(jù)的面積為5，求得點到直線的距離，再利用點到直線的距離公式，求得的值【詳解】解：（1），，的中點的坐標為，又設邊的垂直平分線所在的直線的斜率為則，可得的方程為，即邊的垂直平分線所在的直線的方程（2）邊所在的直線方程為設邊上的高為即點到直線的距離為且解得解得或，點的坐標為或18、（1）（2）【解析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，再解導函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調遞減區(qū)間；（2）依題意可得當時，當時，顯然成立，當時只需，參變分離得到，令，，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，即可求出參數(shù)的取值范圍；【小問1詳解】解：當時定義域為，所以，令，解得或，令，解得，所以的單調遞減區(qū)間為；【小問2詳解】解：由，即，即，當時顯然成立，當時，只需，即，令，，則，所以在上單調遞減，所以，所以，故實數(shù)的取值范圍為.19、（1）極小值為，無極大值（2）【解析】(1)利用導數(shù)求出，分別令、，進而得到函數(shù)的單調區(qū)間，即可求出極值；(2)利用導數(shù)討論、0時函數(shù)的單調性，進而得出函數(shù)的最小值小于0，解不等式即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，時，.令，解得，∵在上，，在上，，∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴的極小值為，無極大值.【小問2詳解】，當時，，∴在上單調遞增，此時不可能有2個零點.當0時.令，得，∵在上，，在上，），∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴的最小值為.∵有兩個零點，∴，即，∴.經驗證，若，則，且，又，∴有兩個零點.綜上，a的取值范圍是.20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）先求出點坐標，然后根據(jù)圓心到直線的距離公式及的值求出半徑即可求得圓的方程.（2）設出直線方程，聯(lián)立圓和直線方程利用韋達定理來求解.【小問1詳解】解：點關于直線的對稱點Q為由Q到直線的距離，所以所以圓的方程為【小問2詳解】當直線CD斜率不存在時，，所以.當直線CD斜率存在時，設為k，則直線為，記，聯(lián)立，得所以，綜上，為定值521、（1）；（2）存在，方程為和.【解析】（1）根據(jù)橢圓上的點、離心率和關系可構造方程求得，由此可得橢圓方程；（2）設，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理形式，根據(jù)共線向量可得，代入韋達定理中可構造關于的方程，解方程可求得，進而得到直線方程.【小問1詳解】由題意得：，解得：，橢圓的方程為；【小問2詳解】由題意知：直線斜率存在且不為零，可設，，，由得：，則；，，，，，解得：，，滿足條件的直線存在，方程為和.22、（1）樣本中高一年級學生的人數(shù)為，；（2）；（3）【解析】（1）利用分層抽樣可求得樣本中高一年級學