３.１平面立體的投影３.１.１棱柱體１.棱柱體的三視圖圖３-１(a)所示為一個三棱柱的投影情況.它的三角形頂面及底面為水平面,三個側(cè)棱面(均為矩形)中,后面是正平面,其余兩側(cè)面為鉛垂面,三條側(cè)棱線為鉛垂線.畫三視圖時,先畫頂面和底面的投影;水平投影中,頂面和底面均反映實形(三角形)且重影,正面和側(cè)面投影都有積聚性,分別為平行于OX軸和OYW軸的直線;三條側(cè)棱線的水平投影有積聚性,為三角形的三個頂點(diǎn),它們的正面和側(cè)面投影,均平行于OZ軸且反映了棱柱的高.在畫完上述面和棱線的投影后,即得該三棱柱的三視圖,如圖３-１(b)所示.下一頁返回３.１平面立體的投影通過繪制三棱柱的三視圖,可歸納出畫三視圖的步驟.(１)分析物體的形狀及各表面的相對位置.(２)確定主視圖的投射方向,為方便畫圖,常將物體放得使其主要平面與投影面平行.(３)先畫物體形狀特征明顯的視圖.(４)按“三等”規(guī)律完成其他兩視圖.(５)檢查.畫完三視圖還應(yīng)仔細(xì)進(jìn)行檢查,看是否已準(zhǔn)確地把物體的形狀反映出來,如有錯誤應(yīng)予以改正.２.屬于棱柱體表面的點(diǎn)上一頁下一頁返回３.１平面立體的投影當(dāng)點(diǎn)屬于幾何體的某個表面時,則該點(diǎn)的投影必在它所從屬表面的各同面投影范圍內(nèi).若該表面的投影為可見,則該點(diǎn)的同面投影也可見;反之為不可見.因此在求平面體表面上點(diǎn)的投影時,應(yīng)首先分析點(diǎn)所在平面的投影特性,然后再根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律求得.如圖３-１(b)所示,已知屬于三棱柱右側(cè)面上一點(diǎn)M的正面投影,求該點(diǎn)的其他兩面投影.３.１.２棱錐體１.棱錐體的三視圖圖３-２所示為正三棱錐的三面投影情況.上一頁下一頁返回３.１平面立體的投影它由底面△ABC和三個相等的側(cè)棱面△SAB、△SBC、△SAC所組成.△ABC為水平面,其水平投影反映實形,正面和側(cè)面投影積聚為一條直線.△SAC為側(cè)垂面,因此側(cè)面投影積聚為一直線,水平投影和正面投影都是類似形.△SAB和△SBC為一般位置平面,它們的三面投影均為類似形.棱線SB為側(cè)平線,棱線SA、SC為一般位置直線,棱線AC為側(cè)垂線,棱線AB、BC為水平線.它們的投影特性讀者可自行分析.畫正三棱錐的三視圖時,先畫出底面△ABC的各面投影,再畫出錐頂S的各面投影,連接各頂點(diǎn)的同面投影,即為正三棱錐的三視圖,如圖３-２(b)所示.上一頁下一頁返回３.１平面立體的投影２.屬于棱錐體表面的點(diǎn)正三棱錐的表面有特殊位置平面,也有一般位置平面.屬于特殊位置平面的點(diǎn)的投影,可利用該平面投影的積聚性來作圖.屬于一般位置平面的點(diǎn)的投影,可通過在平面上作輔助線的方法求得.上一頁返回３.２回轉(zhuǎn)體的投影３.２.１圓柱體１.圓柱體的三視圖及分析如圖３-３所示,圓柱體表面由圓柱面和上、下兩個圓平面所組成,它可看成由一條直線AB繞著與其平行的軸線等距旋轉(zhuǎn)一周而構(gòu)成的形體.直線AB稱為母線,圓柱面上任意一條平行于軸線的直線稱為圓柱面素線.如圖３-４所示,圓柱體的三視圖為:俯視圖是一個圓線框;主視圖、左視圖是兩個相等的矩形線框.俯視圖的圓線框,表示圓柱面積聚性的水平投影,同時也是頂、底面反映實形的水平投影.下一頁返回３.２回轉(zhuǎn)體的投影主視圖的矩形線框,表示圓柱面的投影(前半圓柱面和后半圓柱面投影重合),矩形的上、下兩邊分別為頂、底面的積聚性投影;左、右兩邊(a′a′１、b′b′１)分別是圓柱最左、最右素線的投影,其水平投影積聚成點(diǎn),在圓周與前后對稱中心線的交點(diǎn)處,這兩素線的側(cè)面投影與圓柱軸線的側(cè)面投影重合.這兩條素線(AA１、BB１)是圓柱面由前向后的轉(zhuǎn)向線,它們把圓柱面分為前、后兩半,因此它是主視圖上圓柱面的可見與不可見的分界線.左視圖的矩形線框,讀者可作類似分析.圓柱體三視圖的作圖步驟(見圖３-５):(１)畫出圓投影的中心線和軸線各面投影.(２)畫反映兩底面圓的水平投影和另外兩面投影.上一頁下一頁返回３.２回轉(zhuǎn)體的投影(３)畫圓柱對另外兩面投影的轉(zhuǎn)向輪廓線.３.２.２圓錐體圓錐體由圓錐面、底面所圍成.圓錐面可看作直線SA繞著與其相交的軸線旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成的形體.其中SA稱為圓錐母線,圓錐面上任一條與軸線相交的直線稱為圓錐素線,如圖３-７所示.１.圓錐體的三視圖及其分析如圖３-８所示,圓錐體的俯視圖是一個圓線框,主視圖、左視圖是兩個全等的等腰三角形線框.俯視圖的圓線框,反映圓錐底面的實形,同時也表示圓錐面的投影.上一頁下一頁返回３.２回轉(zhuǎn)體的投影主視圖、左視圖的等腰三角形線框,其下邊為圓錐底面的積聚性投影.主視圖中三角形的左、右兩邊,分別表示圓錐面最左、最右素線SA、SB的投影(反映實長),它們是圓錐面在主視圖上可見與不可見部分的分界線;左視圖中的三角形的兩邊,分別表示圓錐面最前、最后素線SC、SD的投影(反映實長),它們是圓錐面在左視圖上可見與不可見部分的分界線.上述４條線的其他兩面投影,請讀者自行分析.２.屬于圓錐表面上的點(diǎn)如圖３-９(a)所示,已知屬于圓錐面的點(diǎn)K的正面投影k′,求水平投影k和側(cè)面投影k″,可采用以下兩種方法求解.上一頁下一頁返回３.２回轉(zhuǎn)體的投影(１)輔助素線法.如圖３-９(b)所示,過錐頂S和點(diǎn)K作一輔助素線SK,即連接s′k′并延長與底面圓的正面投影相交于a′,求得sa和s″a″;再由k′根據(jù)投影規(guī)律作出k和k″.(２)輔助圓法.如圖３-９(c)所示,過點(diǎn)K在圓錐面上作垂直于圓錐軸線的水平圓(該圓的正面投影積聚為一直線),即過k′所作的１′２′,它的水平投影為一直徑等于１′２′的圓,圓心為s,由s作OX軸的垂線,與輔助圓的交點(diǎn)即為k,再由k′和k求出k″.３.２.３球體如圖３-１０所示,球體可以看作由一半圓弧(母線)圍繞它的直徑回轉(zhuǎn)一周而構(gòu)成的形體.上一頁下一頁返回３.２回轉(zhuǎn)體的投影１.球體的三視圖及其分析球體的三個視圖,都是與球體直徑相等的圓線框,它們均表示圓球的投影,如圖３-１１(a)所示.在圖３-１１(b)中,球體的各個投影圖形雖然都是圓,但各個圓的意義不同:正面投影的圓是平行于V面的圓素線A的投影;水平投影的圓是平行于H面的圓素線B的投影;側(cè)面投影的圓是平行于W面的圓素線C的投影.A、B、C３個圓素線分別是圓球前后、上下和左右的轉(zhuǎn)向輪廓線圓,即在視圖中可見與不可見的分界線,它們的投影為圓,其他投影都與圓的相應(yīng)中心線重合.２.球體表面取點(diǎn)上一頁下一頁返回３.２回轉(zhuǎn)體的投影在球體表面上取點(diǎn)的作圖,只能作緯線輔助圓.如圖３-１２(a)中,已知屬于球體表面的點(diǎn)Ⅰ的正面投影１′,求其他兩面投影.過Ⅰ點(diǎn)作水平輔助緯圓,為此,過１′作與輪廓圓相交的水平線段即為緯圓的正面投影,緯圓的水平投影是反映實際大小的圓;側(cè)面投影積聚為一條水平線,Ⅰ點(diǎn)的水平投影和側(cè)面投影就在緯圓的相應(yīng)投影上.根據(jù)點(diǎn)Ⅰ的位置和可見性,可判定點(diǎn)Ⅰ在前半球的左上部分,故點(diǎn)Ⅰ的三面投影均可見.根據(jù)點(diǎn)M的位置和可見性,可斷定點(diǎn)M在前半球的左上部分,故點(diǎn)M的三面投影均為可見.也可通過在球體表面上作正平輔助緯圓求點(diǎn)Ⅰ的其他投影,具體作法如圖３-１２(b)所示.也可以作側(cè)平輔助緯圓,請讀者自行分析.上一頁返回圖３-１三棱柱的三視圖及屬于表面的點(diǎn)返回圖３-２正三棱錐的三視圖及屬于表面的