河北省秦皇島市撫寧區(qū)2025?2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題（滿分120分時(shí)間120分鐘）一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題意）1.下面的四幅簡筆畫是從長鼓舞、武術(shù)、舉重、摔跤等文化活動(dòng)中抽象出來的，其中可近似看作中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.2.下列是描述小明和小穎在同一盞路燈下影子的圖片，其中合理的是（）A. B.C. D.3.一元二次方程的一般形式是（）A. B.C. D.4.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.5.已知反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限內(nèi)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.6.在一張縮印出來的紙上，一個(gè)三角形的一條邊由原圖中的6cm變成了2cm，則縮印出的三角形的周長是原圖中三角形周長的（）A B. C. D.7.如圖，在Rt△ABC中，，，，作∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)E，則陰影部分的面積為()A. B. C. D.8.如圖，小明為了測量圓形鼓面的直徑，將直角三角板角的頂點(diǎn)落在鼓面圓上任意一點(diǎn)，三角板的兩邊分別交圓于點(diǎn)、，若測量得到弦的長為，則鼓面圓的直徑為()A. B. C. D.9.反比例函數(shù)與二次函數(shù)在同一坐標(biāo)軸中圖象大致是（）A. B. C. D.10.快畢業(yè)了，九（1）班同學(xué)決定互贈(zèng)一張賀卡留念，全班送出的賀卡總共2256張，如果設(shè)這個(gè)班有x名學(xué)生，則可列方程為（）A. B.C. D.11.二次函數(shù)的圖像如圖所示，下列結(jié)論：①；②方程的兩個(gè)根是；③不等式的解集是；④若拋物線經(jīng)過三點(diǎn)，則；其中正確的有（）A.①② B.①②③ C.①③ D.①③④12.如圖，已知A，B是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，軸，交x軸于點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C勻速運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為C，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)Q．設(shè)的面積為S，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題有4小題，每小題各3分，共12分）13.的值為___________．14.如圖，是斜邊上的高．若，，則________．15.如圖是某幾何體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm），則該幾何體的側(cè)面積為______cm216.如圖，線段是直線的一部分，點(diǎn)是直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，曲線是雙曲線的一部分，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由點(diǎn)開始不斷重復(fù)“”的過程，形成一組波浪線．點(diǎn)與均在該波浪線上，分別過，兩點(diǎn)向軸作垂線段，垂足分別為點(diǎn)和，連接，則四邊形的面積是___________．三、解答題（本大題共8小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.解方程：18.已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）設(shè)該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，當(dāng)時(shí)，求的值．19.有三張正面分別標(biāo)有數(shù)字：-1，1，2的卡片，它們除數(shù)字不同外其余全部相同，現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從中隨機(jī)抽出一張記下數(shù)字，放回洗勻后再從中隨機(jī)抽出一張記下數(shù)字．(1)請(qǐng)用列表或畫樹形圖的方法（只選其中一種），表示兩次抽出卡片上的數(shù)字的所有結(jié)果；(2)將第一次抽出的數(shù)字作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，第二次抽出的數(shù)字作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)y，求點(diǎn)（x，y）落在雙曲線上的概率．20.如圖，直線過x軸上點(diǎn)，與y軸交于D點(diǎn)，與拋物線交于B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）連結(jié)，求出的面積．（3）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)觀察圖象直接寫出x的取值范圍．21.已知：如圖，中，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與，點(diǎn)重合），．（1）求證：；（2）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)為何值時(shí)，取最小值，最小值是多少？22.如圖，在中，，平分線交邊于點(diǎn)．以上一點(diǎn)為圓心作，使經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．（2）若，．①求的半徑；②設(shè)與邊另一個(gè)交點(diǎn)為，求線段，與劣弧所圍成的陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號(hào)和）23.如圖1是工人用升降機(jī)維修路燈的實(shí)物圖，圖2是升降機(jī)工作示意圖．學(xué)習(xí)興趣小組計(jì)劃通過此示意圖計(jì)算路燈的高度．他們通過測量和咨詢工人師傅了解到如下信息：路燈垂直于地面，機(jī)械臂米，米，路燈頂部到工作臺(tái)的距離米，車廂上部到地面距離為米，，．根據(jù)上述信息，請(qǐng)你求出路燈的高度．（結(jié)果精確到米．參考數(shù)值：，，，）24.如圖，已知拋物線與一直線相交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．其頂點(diǎn)為．（1）求拋物線及直線的函數(shù)解析式；（2）若是拋物線上位于直線上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的面積的最大值；（3）若拋物線的對(duì)稱軸與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，以點(diǎn)B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

河北省秦皇島市撫寧區(qū)2025?2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題（滿分120分時(shí)間120分鐘）一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題意）1.下面的四幅簡筆畫是從長鼓舞、武術(shù)、舉重、摔跤等文化活動(dòng)中抽象出來的，其中可近似看作中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，識(shí)別中心對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與自身重合即可．根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：選項(xiàng)A、B、C不能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)度后與原來的圖形重合，所以不是中心對(duì)稱圖形，選項(xiàng)D能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)度后與原來的圖形重合，所以是中心對(duì)稱圖形．故選：D

．2.下列是描述小明和小穎在同一盞路燈下影子的圖片，其中合理的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用“在同一時(shí)刻同一地點(diǎn)陽光下的影子的方向應(yīng)該一致，人與影子的比相等”對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：小明和小穎在同一盞路燈下影子與身高比例相等且影子方向相反．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查中心投影的特點(diǎn)是：①等高的物體垂直地面放置時(shí)，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長．②等長的物體平行于地面放置時(shí)，在燈光下，離點(diǎn)光源越近，影子越長；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長度還短．3.一元二次方程的一般形式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式的定義是解題的關(guān)鍵，一元二次方程的一般形式是：（，，是常數(shù)且），其中叫做二次項(xiàng)，為二次項(xiàng)系數(shù)，叫做一次項(xiàng)，為一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)．根據(jù)一元二次方程的一般形式的定義直接解答即可．【詳解】解：一元二次方程一般形式為．故選：C．4.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握頂點(diǎn)式的特征．該拋物線解析式已給出頂點(diǎn)形式，直接讀取頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：拋物線為，其頂點(diǎn)形式為，其中頂點(diǎn)坐標(biāo)為，這里，，故頂點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：B．5.已知反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限內(nèi)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的圖象位置取決于系數(shù)符號(hào)，當(dāng)系數(shù)小于時(shí)，圖象在第二、四象限．根據(jù)反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)得到，解不等式即可．【詳解】解：反比例函數(shù)圖象位于第二、四象限，，．故選：B．6.在一張縮印出來的紙上，一個(gè)三角形的一條邊由原圖中的6cm變成了2cm，則縮印出的三角形的周長是原圖中三角形周長的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵三角形的一條邊由原圖中的6cm變成了2cm，∴原三角形與縮印出的三角形是相似比為3：1，∴原三角形與縮印出的三角形的周長比為3：1，∴縮印出的三角形的周長是原圖中三角形周長的，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長比等于相似比是解題的關(guān)鍵．7.如圖，在Rt△ABC中，，，，作∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)E，則陰影部分的面積為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意和圖形，利用勾股定理可以得到AC、CD、AD的長，由圖可以得到陰影部分的面積．【詳解】解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=，∴AC=BC=3，∠CBA=60°，∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠EBD=30°，∴CD=BC=1，∴AD=3-1=2，∴S陰影部分=，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算、含30度角的直角三角形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答本題的關(guān)鍵．8.如圖，小明為了測量圓形鼓面的直徑，將直角三角板角的頂點(diǎn)落在鼓面圓上任意一點(diǎn)，三角板的兩邊分別交圓于點(diǎn)、，若測量得到弦的長為，則鼓面圓的直徑為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；設(shè)鼓面圓的圓心為，連接、，則，因?yàn)?，所以是等邊三角形，則，所以的直徑為，于是得到問題的答案．【詳解】解：設(shè)鼓面圓的圓心為，連接、，則，，，，是等邊三角形，，的半徑為，的直徑為，故選：C．9.反比例函數(shù)與二次函數(shù)在同一坐標(biāo)軸中的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象，以及二次函數(shù)的圖象，熟練掌握二次函數(shù)、反比例函數(shù)中系數(shù)與圖象位置之間關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)、反比例函數(shù)中系數(shù)與圖象位置之間關(guān)系解答即可．【詳解】解：A、拋物線開口方向向下，則，對(duì)稱軸，反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，故本選項(xiàng)正確，符合題意；B、拋物線開口方向向上，則，對(duì)稱軸，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、拋物線開口方向向上，則，對(duì)稱軸，與反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限矛盾，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、拋物線應(yīng)該經(jīng)過原點(diǎn)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．10.快畢業(yè)了，九（1）班同學(xué)決定互贈(zèng)一張賀卡留念，全班送出的賀卡總共2256張，如果設(shè)這個(gè)班有x名學(xué)生，則可列方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．一名學(xué)生要送張賀卡，x名學(xué)生要送張賀卡，根據(jù)賀卡總共2256張列方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意，，故選：B．11.二次函數(shù)的圖像如圖所示，下列結(jié)論：①；②方程的兩個(gè)根是；③不等式的解集是；④若拋物線經(jīng)過三點(diǎn)，則；其中正確的有（）A.①② B.①②③ C.①③ D.①③④【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，二次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，根據(jù)開口方向，對(duì)稱軸和與y軸的交點(diǎn)的位置可判斷①；根據(jù)對(duì)稱性求出二次函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)可判斷②；根據(jù)函數(shù)圖象可判斷③；離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，據(jù)此可判斷④．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象開口向下，與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸，∴，∵對(duì)稱軸為直線，∴，∴，∴，故①正確；∵二次函數(shù)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴由對(duì)稱性可得二次函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴方程的兩個(gè)根是，故②正確；由函數(shù)圖象可知，不等式的解集是，故③正確；∵二次函數(shù)的圖象開口向下，∴離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，∵∴，故④錯(cuò)誤；故選：B．12.如圖，已知A，B是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，軸，交x軸于點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C勻速運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為C，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)Q．設(shè)的面積為S，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義和動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的移動(dòng)確定函數(shù)的種類，從而確定其圖象．分別判斷當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)的圖像變化趨勢(shì)，即可作出選擇．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)的面積（），保持不變；當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)路線的總路程為l，點(diǎn)P的速度為b，∴，∵l，，b均是常數(shù)，所以S與t成一次函數(shù)關(guān)系．綜上所述，S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為A選項(xiàng)，故選：A．二、填空題（本大題有4小題，每小題各3分，共12分）13.的值為___________．【答案】##【解析】【分析】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，銳角三角函數(shù)值的計(jì)算，絕對(duì)值的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．先計(jì)算特殊銳角三角函數(shù)值，絕對(duì)值，再算加減法即可．【詳解】解：．故答案為：．14.如圖，是斜邊上的高．若，，則________．【答案】【解析】【分析】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，，∴，故答案為：．15.如圖是某幾何體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm），則該幾何體的側(cè)面積為______cm2【答案】【解析】【分析】先根據(jù)三視圖得到該幾何體為圓錐，且圓錐的底面圓直徑為2，母線長為2，再利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算圓錐的側(cè)面積，即可.【詳解】解：根據(jù)三視圖易得此幾何體為圓錐，由題意得底面直徑為2，母線長為2，∴圓錐的側(cè)面積=．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖判斷物體形狀以及求圓錐的側(cè)面積，掌握扇形的面積公式是關(guān)鍵.16.如圖，線段是直線的一部分，點(diǎn)是直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，曲線是雙曲線的一部分，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由點(diǎn)開始不斷重復(fù)“”的過程，形成一組波浪線．點(diǎn)與均在該波浪線上，分別過，兩點(diǎn)向軸作垂線段，垂足分別為點(diǎn)和，連接，則四邊形的面積是___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律探索，一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)變化規(guī)律求出點(diǎn)，的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)可求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，進(jìn)而確定反比例函數(shù)的關(guān)系式，利用平移所引起的坐標(biāo)變化規(guī)律，可求出點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)梯形的面積公式可求出答案．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，即，，，又點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，反比例函數(shù)的關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，，依題意由點(diǎn)開始不斷重復(fù)“”的過程，形成一組波浪線，如圖所示：由圖象的平移可得，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，依題意，．故答案為：．三、解答題（本大題共8小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.解方程：【答案】【解析】【分析】本題主要考查了解一元二次方程，先移項(xiàng)，再利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：∵，∴，即，∴，∴或，解得．18.已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）設(shè)該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】（1）（2）7【解析】【分析】本題考查根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根，得到，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合完全平方公式變形計(jì)算即可．【小問1詳解】解：∵關(guān)于一元二次方程有實(shí)數(shù)根，；【小問2詳解】解：∵當(dāng)時(shí)，方程為19.有三張正面分別標(biāo)有數(shù)字：-1，1，2的卡片，它們除數(shù)字不同外其余全部相同，現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從中隨機(jī)抽出一張記下數(shù)字，放回洗勻后再從中隨機(jī)抽出一張記下數(shù)字．(1)請(qǐng)用列表或畫樹形圖的方法（只選其中一種），表示兩次抽出卡片上的數(shù)字的所有結(jié)果；(2)將第一次抽出的數(shù)字作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，第二次抽出的數(shù)字作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)y，求點(diǎn)（x，y）落在雙曲線上的概率．【答案】（1）所有結(jié)果：（-1，-1），（-1，1），（-1，2），（1，-1）（1，1），（1，2），（2，-1），（2，1），（2，2）；（2）.【解析】【分析】（1）畫出樹狀圖即可得解；（2）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷出在雙曲線上y=上的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式列式計(jì)算即可得解．【詳解】（1）根據(jù)題意畫出樹狀圖如下：結(jié)果為：（-1，-1），（-1，1），（-1，2），（1，-1）（1，1），（1，2），（2，-1），（2，1），（2，2）；（2）當(dāng)x=-1時(shí)，y==-2，當(dāng)x=1時(shí)，y==2，當(dāng)x=2時(shí)，y==1，一共有9種等可能的情況，點(diǎn)（x，y）落在雙曲線上y=上的有2種情況，所以，P=．考點(diǎn)：1.列表法與樹狀圖法；2.反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．20.如圖，直線過x軸上的點(diǎn)，與y軸交于D點(diǎn)，與拋物線交于B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）連結(jié)，求出的面積．（3）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)觀察圖象直接寫出x的取值范圍．【答案】（1）（2）3（3）【解析】【分析】（1）把點(diǎn)代入拋物線解析式，即可求解；（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為，再求出D點(diǎn)坐標(biāo)．然后根據(jù)，即可求解；（3）直接觀察圖象可得當(dāng)時(shí)，直線在拋物線的上方，即可求解．【小問1詳解】解：∵點(diǎn)拋物線上，∴，∴拋物線的解析式為；【小問2詳解】解：由題可知，直線的解析式為．聯(lián)立得：，，解得：或，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，∴D點(diǎn)坐標(biāo)．∴；【小問3詳解】解：由圖象得：當(dāng)時(shí)，直線在拋物線的上方，∴當(dāng)時(shí)，x的取值范圍．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及三角形的面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．21.已知：如圖，中，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與，點(diǎn)重合），．（1）求證：；（2）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)為何值時(shí)，取最小值，最小值是多少？【答案】（1）見解析（2）函數(shù)關(guān)系式：，當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值是【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)．熟悉相似三角形的判定定理：兩個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形相似，相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，，根據(jù)角的相等關(guān)系得到，繼而得到．（2）根據(jù)，得到對(duì)應(yīng)線段成比例，繼而得到關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到的最小值．【小問1詳解】解：，，，，，又，，，；【小問2詳解】解：，，，，，，，，∴拋物線開口向上，當(dāng)時(shí)，取最小值，即.當(dāng)為時(shí)，取最小值，最小值是.22.如圖，在中，，的平分線交邊于點(diǎn)．以上一點(diǎn)為圓心作，使經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．（2）若，．①求的半徑；②設(shè)與邊的另一個(gè)交點(diǎn)為，求線段，與劣弧所圍成的陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號(hào)和）【答案】（1）相切，理由見解析；（2）①2；②【解析】【分析】（1）連接OD，根據(jù)平行線判定推出OD∥AC，證明OD⊥BC，根據(jù)切線的判定即可證明；（2）①根據(jù)含有30°角直角三角形的性質(zhì)得出OB=2OD=2r，從而求得半徑r的值；②根據(jù)S陰影=S△BOD-S扇形ODE求出即可.【詳解】解：（1）相切，理由如下：如圖，連接，平分，，，，，，∵，，與相切；（2）①在和中，，，，，∵，，，解得，即的半徑是；②在Rt△ACB中，∠B=30°，∴∠BOD=60°，∴S扇形ODE=，∵∠B=30°，OD⊥BC，∴OB=2OD，∴AB=3OD，∵AB=2AC=6，∴，，S△BOD=，S陰影=S△BOD-S扇形ODE.【點(diǎn)睛】本題是對(duì)圓知識(shí)的考查，熟練掌握?qǐng)A的切線，扇形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵.23.如圖1是工人用升降機(jī)維修路燈的實(shí)物圖，圖2是升降機(jī)工作示意圖．學(xué)習(xí)興趣小組計(jì)劃通過此