數(shù)理統(tǒng)計考試卷及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.設總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則樣本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)服從（）A.\(N(\mu,\sigma^2)\)B.\(N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)C.\(N(n\mu,\sigma^2)\)D.\(N(n\mu,n\sigma^2)\)2.設總體\(X\)的概率密度為\(f(x;\theta)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的一個估計量，若\(E(\hat{\theta})=\theta\)，則稱\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的（）A.無偏估計量B.有效估計量C.一致估計量D.極大似然估計量3.樣本方差\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)的自由度是（）A.\(n\)B.\(n-1\)C.\(n-2\)D.\(n+1\)4.設總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\)已知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，檢驗假設\(H_0:\mu=\mu_0\)，\(H_1:\mu\neq\mu_0\)，采用的檢驗統(tǒng)計量是（）A.\(Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\)B.\(t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\)C.\(\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\)D.\(F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\)5.在假設檢驗中，顯著性水平\(\alpha\)的意義是（）A.原假設\(H_0\)成立，經(jīng)檢驗被拒絕的概率B.原假設\(H_0\)成立，經(jīng)檢驗不能被拒絕的概率C.原假設\(H_0\)不成立，經(jīng)檢驗被拒絕的概率D.原假設\(H_0\)不成立，經(jīng)檢驗不能被拒絕的概率6.設總體\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^2)\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_{n_1}\)是來自總體\(X\)的樣本，\(Y_1,Y_2,\cdots,Y_{n_2}\)是來自總體\(Y\)的樣本，且兩個樣本相互獨立，當\(\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2\)未知時，檢驗假設\(H_0:\mu_1=\mu_2\)，\(H_1:\mu_1\neq\mu_2\)，采用的檢驗統(tǒng)計量是（）A.\(Z=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\)B.\(t=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\)C.\(\chi^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{\sigma^2}\)D.\(F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\)7.設總體\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x;\theta)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\theta\)的極大似然估計量一定是（）A.無偏估計量B.有效估計量C.似然函數(shù)的駐點D.以上都不對8.設總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\overline{X}\)和\(S^2\)分別是樣本均值和樣本方差，則\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\)（）A.\(N(0,1)\)B.\(t(n-1)\)C.\(\chi^2(n-1)\)D.\(F(n-1,n)\)9.設總體\(X\)的數(shù)學期望為\(\mu\)，方差為\(\sigma^2\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則樣本均值\(\overline{X}\)的數(shù)學期望\(E(\overline{X})\)為（）A.\(\mu\)B.\(\frac{\mu}{n}\)C.\(n\mu\)D.\(\mu^2\)10.設總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\)未知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，檢驗假設\(H_0:\mu=\mu_0\)，\(H_1:\mu\gt\mu_0\)，采用的檢驗統(tǒng)計量是（）A.\(Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\)B.\(t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\)C.\(\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\)D.\(F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\)答案：1.B2.A3.B4.A5.A6.B7.C8.C9.A10.B二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.以下哪些是總體參數(shù)的常用估計方法（）A.矩估計法B.極大似然估計法C.最小二乘法D.順序統(tǒng)計量法2.設總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則（）A.\(\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)B.\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)C.\(\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\simt(n-1)\)D.\(\overline{X}\)與\(S^2\)相互獨立3.在假設檢驗中，可能犯的錯誤有（）A.第一類錯誤B.第二類錯誤C.第三類錯誤D.第四類錯誤4.以下關于樣本均值\(\overline{X}\)和樣本方差\(S^2\)的性質正確的有（）A.\(E(\overline{X})=E(X)\)B.\(D(\overline{X})=\frac{D(X)}{n}\)C.\(E(S^2)=D(X)\)D.\(S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)5.設總體\(X\)的分布函數(shù)\(F(x)\)含有未知參數(shù)\(\theta\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的估計量，若\(\hat{\theta}\)滿足（），則稱\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的無偏估計量。A.\(E(\hat{\theta})=\theta\)B.\(\lim_{n\to\infty}E(\hat{\theta})=\theta\)C.\(D(\hat{\theta})\ltD(\hat{\theta}_1)\)（\(\hat{\theta}_1\)是\(\theta\)的另一個估計量）D.\(\lim_{n\to\infty}P\{|\hat{\theta}-\theta|\lt\varepsilon\}=1\)（\(\forall\varepsilon\gt0\)）6.對于正態(tài)總體\(N(\mu,\sigma^2)\)的參數(shù)檢驗，以下說法正確的是（）A.當\(\sigma^2\)已知時，檢驗\(\mu\)用\(Z\)檢驗B.當\(\sigma^2\)未知時，檢驗\(\mu\)用\(t\)檢驗C.檢驗\(\sigma^2\)用\(\chi^2\)檢驗D.兩正態(tài)總體均值差的檢驗，當方差未知但相等時用\(t\)檢驗7.以下哪些屬于統(tǒng)計量（）A.\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)B.\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)C.\(X_{(1)}=\min\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}\)D.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\)（\(\mu\)，\(\sigma\)未知）8.設總體\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^2)\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^2)\)，兩個樣本相互獨立，樣本容量分別為\(n_1\)，\(n_2\)，樣本均值分別為\(\overline{X}\)，\(\overline{Y}\)，樣本方差分別為\(S_1^2\)，\(S_2^2\)，則（）A.\(E(\overline{X}-\overline{Y})=\mu_1-\mu_2\)B.\(D(\overline{X}-\overline{Y})=\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}\)C.當\(\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2\)時，\(S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}\)D.\(\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\simF(n_1-1,n_2-1)\)9.以下關于點估計和區(qū)間估計的說法正確的是（）A.點估計是用一個數(shù)值估計總體參數(shù)B.區(qū)間估計是用一個區(qū)間估計總體參數(shù)C.區(qū)間估計能給出估計的精度和可靠性D.點估計比區(qū)間估計更準確10.設總體\(X\)的概率密度\(f(x;\theta)\)關于\(\theta\)可微，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的極大似然估計量，則\(\hat{\theta}\)滿足（）A.\(\frac{\partial\lnL(\theta)}{\partial\theta}=0\)（\(L(\theta)\)是似然函數(shù)）B.\(L(\hat{\theta})\geqL(\theta)\)（\(\forall\theta\)）C.一定是無偏估計量D.一定是有效估計量答案：1.AB2.ABCD3.AB4.ABC5.A6.ABCD7.ABC8.ABCD9.ABC10.AB三、判斷題（每題2分，共20分）1.樣本均值\(\overline{X}\)是總體均值\(\mu\)的無偏估計量。（）2.若\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的無偏估計量，則\(D(\hat{\theta})\)越小，\(\hat{\theta}\)越有效。（）3.假設檢驗中，顯著性水平\(\alpha\)越大，犯第一類錯誤的概率越小。（）4.總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\)已知，樣本容量\(n\)固定，當置信水平\(1-\alpha\)提高時，總體均值\(\mu\)的置信區(qū)間長度變小。（）5.樣本方差\(S^2\)是總體方差\(\sigma^2\)的無偏估計量。（）6.在參數(shù)估計中，極大似然估計一定是無偏估計。（）7.設總體\(X\)和\(Y\)相互獨立，\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^2)\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^2)\)，則\(X+Y\simN(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)\)。（）8.檢驗假設\(H_0:\mu=\mu_0\)，\(H_1:\mu