/安徽省宣城市寧國(guó)市2025?2026學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)第三次月考卷一、單選題1．下列三角函數(shù)值是有理數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．若雙曲線在每個(gè)象限內(nèi)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，則（

）A． B． C． D．3．二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為，則p的值為（

）A．3 B．2 C．1 D．4．如圖，已知直線，直線m和直線n分別交，，于點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，直線m和直線n交于點(diǎn)P，若，，，，則等于（

）A．1 B． C． D．5．鸚鵡螺的貝殼呈現(xiàn)出等角螺線，其相鄰半徑之比是一個(gè)常數(shù)，展現(xiàn)了自然界精妙的數(shù)學(xué)規(guī)律．如圖，已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)（），若的長(zhǎng)為8，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．6．在如圖的正方形方格紙中，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格點(diǎn)處，與相交于O，則的值等于（）A． B． C．3 D．27．如圖，中，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，若．則等于（

）A． B． C． D．8．如圖，在等腰中，是上一點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C． D．29．已知二次函數(shù)（為常數(shù)，且）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．若點(diǎn)、都在該二次函數(shù)的圖象上，則D．關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根10．如圖，在中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接，，現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②；③為等邊三角形；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．二、填空題11．若，，，則由小到大的順序?yàn)椋?2．如果將拋物線先向左平移3個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位，那么平移后所得拋物線的表達(dá)式為．13．反比例函數(shù)的圖象如圖，在中，，邊軸，邊軸且與函數(shù)圖象交于E點(diǎn)，邊AC與此函數(shù)圖象交于C、D兩點(diǎn)，且，，則k的值為．14．如圖，已知，點(diǎn)D在線段上運(yùn)動(dòng)．（1）；（2）點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，連接，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)取得最小值時(shí)，．三、解答題15．計(jì)算：16．已知線段，，滿足．（1）求的值；（2）當(dāng)線段是，的比例中項(xiàng)且時(shí)，求的值．17．在邊長(zhǎng)為1的正方形的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．（1）以點(diǎn)為位似中心，在網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)將放大2倍得到；A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是）；（2）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺在邊上畫(huà)出點(diǎn)，使（保留作圖痕跡）．18．如圖，在中，是高，矩形的頂點(diǎn)、分別在、上，在邊上．若，，求矩形的面積最大時(shí)，的長(zhǎng)度．19．如圖，在中，是邊上的高，點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C，點(diǎn)D重合），連接，作與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)G，連接．（1）求證：；（2）求證：．20．如圖，海上有一座小島，一艘游艇在海中自東向西航行，游艇在A處測(cè)得小島在北偏西方向，半小時(shí)后游艇到達(dá)離小島處60海里的處，測(cè)得小島在西北方向．（參考數(shù)據(jù)：，，）（1）求游艇每小時(shí)航行多少海里？（結(jié)果保留整數(shù)）（2）由于游艇在處突發(fā)故障，只能減速前行，于是立即以每小時(shí)30海里的速度沿北偏西方向航行，此航線記為，與此同時(shí)，在航線上處的救援船立即以每小時(shí)40海里的速度沿北偏東方向前往小島取維修材料（救援船取維修材料的時(shí)間忽略不計(jì)），當(dāng)游艇在航線上航行到離小島最近的處時(shí)停下來(lái)等待，救援船取到維修材料后立即以原速沿最近的路線前往處．游艇到達(dá)處后，再過(guò)多少小時(shí)救援船能到達(dá)處？（結(jié)果精確到0.01）21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，連接，，，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，且為中點(diǎn)．（1）求的值；（2）求的面積；（3）在反比例函數(shù)的圖象是否存在一點(diǎn)，使得是以為底的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．如圖，在矩形中，，，連接，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，連接，，分別交于點(diǎn)M，N，若．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)．23．已知拋物線過(guò)點(diǎn)．（1）求的值和拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．（2）將拋物線進(jìn)行平移得到拋物線，若點(diǎn)，分別在拋物線，上，①若，且直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，求直線的表達(dá)式．②若，求的最大值．

答案1．【正確答案】A【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，有理數(shù)．熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，有理數(shù)是解題的關(guān)鍵；分別求出各選項(xiàng)中特殊角的三角函數(shù)值，然后進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、，是有理數(shù)，故符合題意；B、，是無(wú)理數(shù)，故不符合題意；C、，是無(wú)理數(shù)，故不符合題意；D、，是無(wú)理數(shù)，故不符合題意；故選A2．【正確答案】B【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì).根據(jù)反比例函數(shù)的增減性得到，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵雙曲線在每個(gè)象限內(nèi)的函數(shù)值隨的增大而減小，∴，∴.故選B．3．【正確答案】B【分析】本題主要考查二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．通過(guò)二次函數(shù)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)公式，比較給定頂點(diǎn)式中的橫坐標(biāo)值，直接求出p即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，頂點(diǎn)式為，即頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，∴，故選B．4．【正確答案】C【分析】本題考查平行線分線段成比例．由題意得：，解得；即可求解【詳解】解：∵，∴，∴，解得；∵，∴；故選C5．【正確答案】D【分析】本題主要考查了黃金分割比例，熟知黃金分割比例是解題的關(guān)鍵．根據(jù)黃金分割的定義可得據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵P是的黃金分割點(diǎn)，，∴；故選D．6．【正確答案】C【分析】本題主要考查了解直角三角形，能根據(jù)題意構(gòu)造出合適的直角三角形及熟知正切的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，利用平行線的性質(zhì)將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再結(jié)合正切的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：連接，如圖所示，由網(wǎng)格可知，，，則，不妨令小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1，則由勾股定理得，，，在中，，所以．故選C．7．【正確答案】C【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．利用平行四邊形的性質(zhì)得到相似三角形，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出線段比即可．【詳解】四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，．故選．8．【正確答案】D【分析】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．作于E，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，則，在中，利用的正切得到，然后由可計(jì)算出，再利用進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：作于E，如圖，∵是等腰直角三角形，∴，，∴是等腰直角三角形，設(shè)，則，∵在中，，，解得．故選D．9．【正確答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟知二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及巧妙利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．根據(jù)所給函數(shù)圖象可得出、的正負(fù)，從而可判斷A選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，從而可判斷B選項(xiàng)；易得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，且拋物線開(kāi)口向下，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性及增減性，從而可判斷C選項(xiàng)；由圖可知：與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，從而可判斷D選項(xiàng)．【詳解】解：，由圖象可知：拋物線開(kāi)口向下，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸，，，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；由圖象知，當(dāng)時(shí)，，即，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，拋物線開(kāi)口向下，，，∴點(diǎn)較點(diǎn)更靠近對(duì)稱(chēng)軸，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；由圖可知：與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)D正確，符合題意．故選D．10．【正確答案】C【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算；設(shè)，，，根據(jù)得到，，則，，，，再證明得到，再中由得到，整理得，即可判斷①②正確；再由為中點(diǎn)結(jié)合斜邊中線性質(zhì)得到，得到為等邊三角形，③正確；當(dāng)時(shí)，得到，即，整理得，最后根據(jù)判斷④結(jié)論錯(cuò)誤．【詳解】解：設(shè)，，，∵，于點(diǎn)，于點(diǎn)，∴，∴，，∴，，，，，故②正確；∵，，∴，∴，∴∵中，∴，整理得，∴∵，∴，故①說(shuō)法正確；∵為中點(diǎn)，，，∴，∴為等邊三角形，故③正確；當(dāng)時(shí)，，∴，∴，整理得，∴，故④結(jié)論錯(cuò)誤，綜上所述，正確的有①②③，共3個(gè)．故選C．11．【正確答案】【分析】本題考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的性質(zhì)及特殊的銳角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．根據(jù)銳角三角函數(shù)的性質(zhì)及正弦值與余弦值的關(guān)系解答即可．【詳解】解：，，．12．【正確答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)左右平移改變自變量的值：左加右減；上下平移改變因變量的值：上加下減，進(jìn)行解答即可．【詳解】解：拋物線，平移后所得新拋物線的表達(dá)式是：，即.13．【正確答案】3【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，巧設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為則，，，根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為則，，，，，，，，解得.14．【正確答案】90；【分析】（1）利用，，判定出，通過(guò)相似三角形的性質(zhì)可得到即可；（2）由為線段的中點(diǎn)推出，得到當(dāng)最小時(shí)，最小，再利用相似三角形的比值關(guān)系得到最小時(shí)，最小，垂線段最短得到時(shí)，最小，求出此時(shí)的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴.（2）由（1）知：∵為線段的中點(diǎn)，∴，∴當(dāng)最小時(shí)最小，∵∴，∴，∵與都為定值，∴最小時(shí)，最小，∴當(dāng)時(shí)，為邊上的高，最小，此時(shí)最小，在中，，，則：，∵，即：，解得：，∴，∴，由（1）知：，∴，∴，∴.15．【正確答案】【分析】本題考查了含特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，正確記憶特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．代入特殊角的三角函數(shù)值，計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算即可．【詳解】解：．16．【正確答案】（1）（2）【分析】本題主要考查了比例線段，能根據(jù)題中所給等式，用表示出進(jìn)而代入計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，用表示出，再進(jìn)行計(jì)算，即可求解；（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由題知，故，∴．（2）解：∵，，故，∵線段是，的比例中項(xiàng)，∴，故（負(fù)值舍去）．17．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）見(jiàn)詳解【分析】本題考查了位似基本作圖，勾股定理，平行線的性質(zhì)，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)位似比，利用勾股定理計(jì)算長(zhǎng)度，后畫(huà)圖即可；（2）利用平行線分線段成比例和網(wǎng)格，構(gòu)造平行線與交于點(diǎn)D，點(diǎn)D即為所求．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：如圖，點(diǎn)D即為所求．18．【正確答案】【分析】本題考相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，設(shè)，，根據(jù)相似三角形的高的比等于相似比求出，再表示出矩形的面積，最后根據(jù)二次函數(shù)求最大值即可．【詳解】解：交于，設(shè)，，∵矩形，∴，∵在中，是高，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴矩形的面積，∴當(dāng)時(shí)，矩形的面積最大，此時(shí)．19．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）見(jiàn)詳解【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．（1）由及即可證明；（2）由得到，又由即可證明，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，又∵，；（2）證明：，，，又∵，，∴，即．20．【正確答案】（1）62海里（2）0.08小時(shí)【分析】本題主要考查了解直角三角形，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作的垂線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由題意可知，．根據(jù)三角函數(shù)的定義可求出和的長(zhǎng)，進(jìn)而可得S的長(zhǎng)，再除以時(shí)間，即可求出的速度．（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意可知，．根據(jù)三角函數(shù)的定義可求出,,的長(zhǎng)，再分別求出潛艇和救援船到達(dá)M點(diǎn)所用的時(shí)間，再求出它們的差即可．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作的垂線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由題意可知：，，在中，，，，

在中，，，

，

（海里）．

答：游艇每小時(shí)航行62海里．（2）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．由題意可知：，，在中，，，，

在中，，

，

，，

（小時(shí)）．

答：游艇到達(dá)處，再過(guò)0.08小時(shí)救援船就能到達(dá)處．21．【正確答案】（1）（2）（3）存在，點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形綜合，勾股定理求兩點(diǎn)距離，等腰三角形的性質(zhì)，解一元二次方程；（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式先求出點(diǎn)坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)求；（2）由（1）已得：，求出點(diǎn)坐標(biāo)，最后用面積公式得出，根據(jù)為中點(diǎn)，即可求解；（3）根據(jù)，利用等腰三角形性質(zhì)和反比例函數(shù)解析式求點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合勾股定理，即可求解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴將點(diǎn)代入得：；（2）解：由（1）已得：∵軸，垂足為點(diǎn)，∴，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，，將代入得：∴∴∴又∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴的面積為（3）解：存在點(diǎn)，使得是以為底的等腰三角形當(dāng)時(shí)，設(shè)，，則，解方程，解得：或（時(shí)與重合舍去）或（舍去）或（舍去），此時(shí)．22．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）【分析】本題考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．（1）先證明，可得，在證，即可求解，（2）通過(guò)證明，可求，由等腰直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求，的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：在中，根據(jù)勾股定理得，∵，∴，∴，∴，由（1）得，∵，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．23．【正確答案】（1）；（2）①；②．【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)解析式求解，一次函數(shù)解析式的求解，一次函數(shù)與二次函數(shù)方程聯(lián)立，求出a的值，即可知拋物線與的解析式，聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)，將點(diǎn)代入拋物線方程中即可求解a的值，再令即可求解拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①設(shè)出直線方程，將點(diǎn)和點(diǎn)代入直線方程結(jié)合可求解k的值，再