/河南省平頂山市2025?2026學年上學期九年級數(shù)學期中試卷一、單選題1．將一元二次方程化成一般式后，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為A．4，3 B．4，7 C．4， D．，2．已知，，，是成比例線段，其中，，，則等于（

）A． B． C． D．3．來鄭州，一定要打卡“非遺里的河南”．朵朵和果果在假期來到“只有河南”體驗有聲、有色、有趣、有滋味的河南非遺．他們分別從以下三項非遺里選一項進行體驗，則兩人選擇的非遺體驗相同的概率為（

）A． B． C． D．4．如圖，在中，對角線AC與BD交于點O，若增加一個條件，使成為菱形，下列給出的條件不正確的是(

)A．AB=AD B．AC⊥BD C．∠BAC=∠DAC D．AC=BD5．如圖，公園原有一塊正方形空地，后來從這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種鮮花，原空地一邊減少了，另一邊減少了，剩余空地面積為，設原正方形空地的邊長是，根據(jù)題意，可列方程為（）A． B．C． D．6．如圖，，若，，則的長為（

）A．15 B．14 C．13 D．127．如圖，點D在的邊AC上，要判定與相似，添加一個條件，不正確的是（）A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABCC．＝ D．＝8．關于一元二次方程根的情況，下列說法正確的是A．有一個實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根9．如圖，E、F、G、H分別是四邊形的四條邊的中點，要使四邊形為矩形，四邊形應具備的條件是（

）A．有一個角是直角 B．對角線相等C．對角線互相垂直 D．對角線互相平分10．如圖1，矩形中，點為的中點，點沿從點運動到點，設，兩點間的距離為，，圖2是點運動時隨變化的關系圖象，則的長為（

）A． B． C． D．二、填空題11．方程的解為．12．若，則分式．13．在某實驗中，已知事件A發(fā)生的概率為，那么進行1000次這種實驗，事件A發(fā)生的次數(shù)約為次．14．如圖，為銳角三角形，是邊上的高，正方形的一邊在上，頂點H，E分別在上．已知，，則這個正方形的邊長是．15．已知，如圖，在矩形ABCD中，，，點E為線段AB上一動點不與點A、點B重合，先將矩形ABCD沿CE折疊，使點B落在點F處，CF交AD于點H，若折疊后，點B的對應點F落在矩形ABCD的對稱軸上，則AE的長是．三、解答題16．解方程：（1）；（2）．17．如圖，在正方形中，點為邊上一點，連接，將繞點順時針旋轉，點的對應點為．（1）補全圖形，點_______（填“在”或“不在”）的延長線上；（2）判斷與的位置關系，并說明理由；（3）若，當點為的中點時，直接寫出的面積．18．關于x的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程有一個根小于1，求k的取值范圍．19．為響應市政府關于“垃圾不落地市區(qū)更美麗”的主題宣傳活動，鄭州外國語中學隨機調查了部分學生對垃圾分類知識的掌握情況，調查選項分為“A：非常了解；B：比較了解；C：了解較少；D：不了解”四種，并將調查結果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題；（1）求______，并補全條形統(tǒng)計圖；（2）若我校學生人數(shù)為1000名，根據(jù)調查結果，估計該?！胺浅Ａ私狻迸c“比較了解”的學生共有______名；（3）已知“非常了解”的是3名男生和1名女生，從中隨機抽取2名向全校做垃圾分類的知識交流，請畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到1男1女的概率．20．如圖，在中，，動點P從點A開始沿邊運動，速度為，動點Q從B開始沿邊運動，速度為，如果P，Q兩動點同時運動，那么何時與相似？21．如圖，平行四邊形中，點G是的中點，點E是邊上的動點，的延長線與的延長線交于點F，連接．（1）求證：四邊形為平行四邊形．（2）若，，．①當____________時，四邊形是矩形．②當____________時，四邊形是菱形．22．現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術的廣泛應用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展，據(jù)調查，長沙某家小型“大學生自主創(chuàng)業(yè)”的快遞公司，今年三月份與五月份完成投遞總件數(shù)分別為10萬件和14.4萬件，現(xiàn)假定該公司每月投遞總件數(shù)的增長率相同．（1）求該快遞公司投遞總件數(shù)的月平均增長率；（2）如果平均每人每月最多可投0.5萬件，那么該公司現(xiàn)有的29名快遞投遞員能否完成今年6月份的快遞投遞任務？如果不能，請問需要至少增加幾名業(yè)務員？23．類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學學習和研究中經(jīng)常用到，如下是一個案例，請補充完整．原題：如圖1，在平行四邊形中，點是的中點，點是線段上一點，的延長線交射線于點．若，求的值．（1）嘗試探究在圖1中，過點作交于點，則和的數(shù)量關系是_________，和的數(shù)量關系是_________，的值是_________．（2）類比延伸如圖2，在原題的條件下，若，則的值是_________（用含有的代數(shù)式表示），試寫出解答過程．（3）拓展遷移如圖3，梯形中，，點是的延長線上的一點，和相交于點．若，，，則的值是________（用含、的代數(shù)式表示）．

答案1．【正確答案】C【分析】一元二次方程的一般形式是，先化成一般形式，再求出二次項系數(shù)和一次項系數(shù)即可.【詳解】，，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為、故選.2．【正確答案】B【分析】本題考查了比例線段的定義：若四條線段，，，有，那么就說這四條線段成比例．根據(jù)比例線段的定義得到，然后把，，，代入進行計算即可．【詳解】∵，，，是成比例線段，∴，∵，，，∴，∴.故選B3．【正確答案】B【分析】本題主要考查了利用表格求概率．設三項非遺分別用A，B，C表示，根據(jù)題意，列出表格，可得一共有9種等可能結果，其中兩人選擇的非遺體驗相同的有3種，再由概率公式計算，即可解答．【詳解】解：設三項非遺分別用A，B，C表示，根據(jù)題意，列出表格如下：ABCA（A，A）（B，A）（C，A）B（A，B）（B，B）（C，B）C（A，C）（B，C）（C，C）一共有9種等可能結果，其中兩人選擇的非遺體驗相同的有3種，所以兩人選擇的非遺體驗相同的概率為．故選B4．【正確答案】D【分析】根據(jù)菱形的性質以及判定即可得出結果．【詳解】解：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，，所以A項正確，對角線互相垂直的平行四邊形的菱形，，所以B項正確，菱形對角線平分每組對角，∠∠，所以C項正確，對角線相等的平行四邊形是矩形，所以D項錯誤．故選D5．【正確答案】C【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程的知識，應熟記長方形的面積公式．另外求得剩余的空地的長和寬是解決本題的關鍵．可設原正方形的邊長為，則剩余的空地長為，寬為．根據(jù)長方形的面積公式方程可列出．【詳解】解：設原正方形的邊長為，依題意有，故選C．6．【正確答案】D【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題關鍵．先根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，則可得的長，再根據(jù)求解即可得．【詳解】解：∵，∴，∵，，，∴，解得，∴，故選D．7．【正確答案】C【分析】由∠A是公共角，利用有兩角對應相等的三角形相似，即可得A與B正確；又由兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，即可得D正確，繼而求得答案，注意排除法在解選擇題中的應用．【詳解】解：∵∠A是公共角，∴當∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC時，△ADB∽△ABC（有兩角對應相等的三角形相似），故A與B正確，不符合題意要求；當＝時，△ADB∽△ABC（兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似），故D正確，不符合題意要求；當＝時，∠A不是夾角，故不能判定△ADB與△ABC相似，故C錯誤，符合題意要求，故選C．8．【正確答案】C【分析】根據(jù)根的判別式進行求解即可得答案.【詳解】，，，，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選C．9．【正確答案】C【分析】本題考查了中點四邊形，三角形的中位線定理，根據(jù)三角形的中位線定理得到四邊形一定是平行四邊形，再推出一個角是直角，由矩形的判定定理可求解．【詳解】解：要是四邊形是矩形，應添加條件是對角線互相垂直，理由是：連接、，兩線交于O，根據(jù)三角形的中位線定理得：，，，，∴，，∴四邊形一定是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴，∴四邊形一定是矩形，故選C．10．【正確答案】C【分析】先利用圖2得出當P點位于B點時和當P點位于E點時的情況，得到AB和BE之間的關系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中點定義得到BC的值．【詳解】解：由圖2可知，當P點位于B點時，，即，當P點位于E點時，，即，則，∵,∴,即,∵∴,∵點為的中點，∴,故選C．11．【正確答案】或【分析】本題主要考查解一元二次方程，將方程化為一般形式后因式分解，利用零乘積性質求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴或，解得：或．12．【正確答案】【分析】本題考查等式性質、分式求值，根據(jù)已知可得，然后將代入式子中進行計算即可解答．【詳解】解：，，.13．【正確答案】【分析】本題考查了概率的意義，解題的關鍵是明確概率的意義，在大量重復試驗下，事件發(fā)生的頻率會趨近于某個數(shù)附近，這個數(shù)即概率．根據(jù)概率的意義，事件發(fā)生的可能次數(shù)等于概率乘以實驗次數(shù)，求解即可．【詳解】解：事件發(fā)生的概率為，進行1000次獨立重復實驗，事件發(fā)生的次數(shù)約為.14．【正確答案】12【分析】根據(jù)得出，利用相似三角形的性質，列出方程即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∴．∵，∴四邊形是矩形，∴，設正方形的邊長為x，∵，∴，∴，∴，∴正方形的邊長為12.15．【正確答案】或【分析】依據(jù)點B的對應點F落在矩形ABCD的對稱軸上，分兩種情況討論：F在橫對稱軸上與F在豎對稱軸上，分別求出BF的長即可．【詳解】解：分兩種情況：當F在橫對稱軸MN上，如圖所示，此時，，，，由折疊得，，，，即，，；當F在豎對稱軸MN上時，如圖所示，此時，，，，，由折疊的性質得，，，，，，是等邊三角形，，，，．綜上所述，點B的對應F落在矩形ABCD的對稱軸上，此時AE的長是或．故答案為或．16．【正確答案】（1），（2）【分析】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關鍵．（1）移項，配方、開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；（2）分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【詳解】（1）解：（1），，，，，；（2），，或，．17．【正確答案】（1）在（2）；理由見詳解;（3）2【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質補全圖形，再結合正方形的性質得到點共線即可求解；（2）延長交于點，利用正方形的性質和旋轉的性質易得，根據(jù)全等三角形的性質求解；（3）連接，根據(jù)正方形的性質和旋轉的性質求出三角形的底和高即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)旋轉的性質補全圖形如下，四邊形為正方形，.將繞點順時針旋轉，點共線，點在的延長線上.（2）證明：．理由如下：延長交于點．四邊形為正方形，.繞點順時針旋轉90°，，．，．，．，，．（3）解：連接，如下圖在正方形中，，點為的中點，.由旋轉的性質可知，，.【點晴】本題考查了正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，三角形面積計算，理解相關知識是解答關鍵.18．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】本題考查了根的判別式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解題的關鍵是掌握根的判別式；（1）根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式，可得，由此可證出方程總有兩個實數(shù)根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根據(jù)方程有一根小于1，即可得出關于的一元一次不等式，即可得出的取值范圍．【詳解】（1）證明：在方程中，，方程總有兩個實數(shù)根．（2）解：，，．方程有一根小于1，，解得：，的取值范圍為．19．【正確答案】（1）20；（2）500；（3）．【分析】（1）先利用A選項的人數(shù)和它所占百分比計算出調查的總人數(shù)為50，再計算出B選項所占的百分比為，從而得到m%，即m=20，然后計算出C、D選項的人數(shù)，最后補全條形統(tǒng)計圖；（2）用1000乘以可估計該?！胺浅Ａ私狻迸c“比較了解”的學生數(shù)；（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果數(shù)，找出抽到1男1女的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】（1）調查的總人數(shù)為，B選項所占的百分比為，所以m%，即m=20，C選項的人數(shù)為人，D選項的人數(shù)為人，條形統(tǒng)計圖為：故答案為20；（2），所以估計該?！胺浅Ａ私狻迸c“比較了解”的學生共有500名.（3）畫樹狀圖為：共有12種等可能的結果數(shù)，其中抽到1男1女的結果數(shù)為6，所以恰好抽到1男1女的概率20．【正確答案】經(jīng)過或秒時，與相似，【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，設經(jīng)過秒時，與相似，則，利用兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似進行分類討論：當時，,即，當時，，即,然后解方程即可求出答案，準確分析題意列出方程求解是解答本題的關鍵.【詳解】解：設經(jīng)過秒時，與相似，，,當時，,,解得：,當時，，,解得：,綜上所述：經(jīng)過或秒時，與相似，21．【正確答案】（1）見詳解（2）①7.5；②5【分析】（1）證，推出，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；（2）①證明，推出，即可得出答案；②證明是等邊三角形，推出，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形∴，∴，∵G是的中點，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，（2）解：①當時，四邊形是矩形；理由如下：作于P，如圖所示：∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴平行四邊形是矩形.②當時，四邊形是菱形，理由如下：∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴平行四邊形是菱形.22．【正確答案】（1）20%；（2）不能，需要至少增加6名業(yè)務