【小初高+大學(xué)+考研考證公考免費資源公眾號：學(xué)霸點睛資料】第04講函數(shù)的單調(diào)性與最值【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算【課標(biāo)解讀】1．理解函數(shù)的單調(diào)性，會判斷函數(shù)的單調(diào)性.2．理解函數(shù)的最大（?。┲档暮x，會求函數(shù)的最大（?。┲?【備考策略】1.確定函數(shù)的最值（值域）2.以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)單調(diào)性的判定、函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（解不等式、確定參數(shù)的取值范圍、比較函數(shù)值大?。?、研究函數(shù)的最值等，常與奇偶性、周期性結(jié)合，有時與導(dǎo)數(shù)綜合考查.【核心知識】知識點一函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．知識點二函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值【特別提醒】1.函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,f（x）)的單調(diào)性相反.2.“對勾函數(shù)”y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－eq\r(a))，(eq\r(a)，＋∞)；單調(diào)減區(qū)間是[－eq\r(a)，0)，(0，eq\r(a)].【高頻考點】高頻考點一確定不含參函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)例1.（2020·新課標(biāo)Ⅱ）設(shè)函數(shù)，則f(x)（）A.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【方法技巧】確定函數(shù)單調(diào)性的方法(1)定義法．利用定義判斷．(2)導(dǎo)數(shù)法．適用于初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等可以求導(dǎo)的函數(shù)．(3)圖象法．由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點：一是單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集；二是圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．(4)性質(zhì)法．利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，尤其是利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則時，需先確定簡單函數(shù)的單調(diào)性．【舉一反三】（2025·陜西省咸陽中學(xué)模擬）求函數(shù)f(x)＝－x2＋2|x|＋1的單調(diào)區(qū)間．【變式探究】（2025·四川省遂寧中學(xué)模擬）函數(shù)f(x)＝|x2－3x＋2|的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))和[2，＋∞)C．(－∞，1]和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))和[2，＋∞)高頻考點二確定含參函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)例2.（2025·廣東省肇慶中學(xué)模擬）試討論函數(shù)f(x)＝eq\f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的單調(diào)性．【方法技巧】判斷函數(shù)單調(diào)性常用以下幾種方法：(1)定義法：一般步驟為設(shè)元→作差→變形→判斷符號→得出結(jié)論．(2)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，則可由圖象的上升或下降確定單調(diào)性．(3)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(4)性質(zhì)法：①對于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù)，根據(jù)各初等函數(shù)的增減性及f(x)±g(x)增減性質(zhì)進(jìn)行判斷；【變式探究】（2025·安徽蚌埠模擬）判斷并證明函數(shù)f(x)＝ax2＋eq\f(1,x)(其中1<a<3)在[1,2]上的單調(diào)性．高頻考點三解函數(shù)不等式例3.（2025·河北承德模擬）定義在[－2,2]上的函數(shù)f(x)滿足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，則實數(shù)a的取值范圍為()A．[－1,2) B．[0,2)C．[0,1) D．[－1,1)【方法技巧】求解函數(shù)不等式問題，主要是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解．此時應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域以及函數(shù)奇偶性質(zhì)的應(yīng)用．【舉一反三】（2025·湖南省婁底市二中模擬）已知函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，若f(a2－a)>f(a＋3)，則實數(shù)a的取值范圍為________．【變式探究】（2025·湖北省黃岡模擬）已知函數(shù)f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)<2，則實數(shù)x的取值范圍是________．高頻考點四利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍例4.（2025·河南省許昌模擬）函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)))x＋2，x≤1，))滿足對任意的實數(shù)x1≠x2都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．【方法技巧】利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的方法(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)．(2)需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的．【舉一反三】（2025·山東省日照模擬）若f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax，x>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)))x＋2，x≤1))是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________．【變式探究】（2025·江西省吉安三中模擬）若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．高頻考點五函數(shù)的最值（值域）例5.(2018·全國Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]上是減函數(shù)，則a的最大值是()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)C.eq\f(3π,4)D．π【方法技巧】求函數(shù)最值(值域)的常用方法(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求出最值.【變式探究】（2025·河南新鄉(xiāng)模擬）當(dāng)－3≤x≤－1時，函數(shù)y＝eq\f(5x－1,4x＋2)的最小值為________．【舉一